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TS AC CALCULATRICE

Interrogation de Mathématiques /16 La fonction exponentielle Probabilités conditionnelles

Nom :

AUTORISEE

Note et observation(s) :

Acquis

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Prénom :

Dérivée de eu Limites, croissance comparée Probabilités conditionnelles Loi des probabilités totales (Bayes) Loi binomiale

Exercice 1

3 points

Théorème :

Il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f ’ = f Cette fonction est appelée la fonction exponentielle. On admet qu’une telle fonction existe. Démontrer qu’elle est unique.

et

f(0) = 1.

(On sait qu’une telle fonction n’est pas nulle et aussi que f(-x) = f(x) )

Exercice 2

 xex    si x  0  f (x)  e x 1  si x  0 1 

10 points



3. a) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 0 et prouver qu’elle est égale à f(0). b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse. 4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1. b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.

Exercice 3

On note les évènements suivants :

7 points.

P : l’huître est étiquetée petite. M : l’huître est étiquetée moyenne. G : l’huître est étiquetée grande. E : l’huître est mal triée.

PARTIE A 4 points. 1) Dresser l’arbre pondéré associée à cette situation et qui vous permettra de répondre aux questions suivantes. Compléter les branches. 2) Quelle est la probabilité qu’une huître prise au hasard soit une petite huître bien triée ? 3) Calculer la probabilité de l’événement E. 4) Quelle est la probabilité qu’une huître soit moyenne sachant qu’elle a été mal triée ?

PARTIE B 3 points. On pioche 6 huîtres au hasard pour faire une assiette et on assimile cette pioche à un tirage avec remise (La grande quantité d’huîtres permet de considérer qu’il y a toujours le même nombre d’huîtres.) on note X la variable aléatoire qui compte le nombre d’huîtres bien triées. 1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ? 2) Quelle est la probabilité que 4 de ces 6 huîtres soient bien triées ? 3) Quelle est la probabilité que les 6 huîtres soient mal triées? 4) Quelle est la probabilité qu’au moins 5 huîtres soient bien triées ?

CORRECTION DS 2h du vendredi 02/12/16

Exercice 1

 xex    si x  0  f (x)  e x 1  si x  0 1 

Exercice 2

1) Limite en -∞ D’après les limites par comparaison de croissance:

  xex lim 0  par quotient, x x  e 1 lim e x 1  1 Et au dénominateur  x x x x x xe xe  x  x xe  x x x(e 1) x x   x  x  x  x  x  x = f(x) 2) a) x x e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 ( au bourillon vous avez sans doute fait le chemin inverse….. il suffit alors de le recopier dans ce sens !)  x xe 1  lim x(1 x ) 2) b) lim x x e 1 x e 1   Or lim x   lim xex  0

x

x





lim e x 1 = +∞

x

d’où

1 0 x    e 1 lim

x

et donc lim 1

x

x 

1 1 e 1 x

xe  +∞ x x  e 1    xex x 1  lim x  x 3. a) lim x = lim x  x x 0 e 1 x 0 x 0 e 1 e 1  x x e 1 1 1  1 par quotient lim x or lim Et donc par somme lim x  x = 0 +1 = 1 1 x0 x 0 e 1 x 0 e 1 x  x x  b) Peut-on dire que la fonction est continue en 0 ? Justifier la réponse. xex   1  f (0) donc f est continue en 0. On a lim x x 0 e 1   4. a) Etudier les variations de la fonction sur IR, h(x) = ex – x – 1. La fonction h est dérivable sur IR, h’(x) = ex – 1 Signe de la dérivée : ex – 1>0  ex > 1  ex > e0  x > 0  La fonction h est donc strictement décroissante sur ]-∞ ;0[ et strictement croissante sur [0 ;+∞[ Tableau de variations de h : x -∞ 0 +∞ h(0) = e0 – 0 – 1= 0 h’(x) + h

 Donc par produit : lim

0 b) En déduire que pour tout réel x : ex ≥ x + 1.

D’après les variations de h, on en déduit que 0 est un minimum de h sur IR, Alors, pour tout x de réel, h(x) ≥ 0  ex – x – 1 ≥ 0  ex ≥ x + 1 (Ce serait une belle démonstration pour prouver par théorème de comparaison que lim e x   ) x

5. La fonction f est définie et dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR, u'v  uv' f‘= . v2 X) ’ = 1eX + xeX = (1 + x)eX. ATTENTION !! xeX est de la forme uv. Sa dérivée est u’v+uv’. ( xe f ’(x)  =

(1 x)e x  (e x 1)  xex  e x e 2x  e x  xexe x  xex  xexe x e 2x  e x  xex e x (e x  x 1) e x g(x)     x (e x 1)2 (e x 1)2 (e x 1)2 (e x 1)2 (e 1)2

avec g(x) = h(x) = ex – x – 1> 0 sur IR. 6. De plus, pour tout réel x, ex > 0 et (ex -1)2 > 0 Alors, pour tout réel x, f ’(x) > 0  Donc, f est une fonction croissante sur IR. x -∞ f ‘ (x) + f

+∞ +∞

0

xex x x x x  x x = x x . x x  x  x e 1 e (e 1) e e  e 1  e e 1 y  yM f (a)  f (a) 1 a a 1  ( a  (a  a ))  b) Le coefficient directeur de MM’ est M ' = a  a 2a e 1 e 1 2 xM '  xM Toutes les droites MM’ sont parallèles car le coefficient directeur est constant et = à ½.   7. a) f(-x) =





Exercice 3 A---1)Arbre de noël : E P 0,13 0,54

M

0,33

G

E E E E E

2) p(PE) = 0,13x0,965= 0,12545 3) P, M et G réalisent une partition de l’univers : E = (PE)  (ME)  (GE) D’après le loi des probabilités totales, Loi de Bayes, p(E )= p(PE) + p(ME) + p(GE) p(E) =0,035x0,13 + 0,06x0,54 + 0,045x0,33 = 0,0518 Donc, 5,18 % des huîtres sont mal triées p(M  E) 0,0324   0,6255 p(E) 0,0518 5) PM(E) =

6)