CÁLCULO I

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Apuntes, Apuntes Universitarios, Matemáticas, Cálculo Numérico
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CÁLCULO I D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

Indice

Contenido

VIRGINIO GOMEZ

Departamento de Ciencias Básicas

Página

Unidad Nº1: Números Reales Números reales Intervalos reales Inecuaciones a) simples b) con paréntesis c) con denominador numérico d) Inecuaciones con denominador algebraico Valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto

$ % * * "! "$ #! ##

Unidad Nº2: Geometría Analítica Sistema de Coordenadas en el plano Distancia entre dos puntos del plano ‘2 División de un trazo en una razón dada Pendiente entre dos puntos Línea recta Formas de la ecuación de la recta Tipos de rectas Distancia de un punto a una recta Cónicas Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

#) #* $" $$ $' %! %' &! &( &* '% (& )(

Unidad Nº3: Límites y Continuidad Concepto de límites de una función Teorema sobre límites Resolución algebraica de límites Límites laterales Límites infinitos Límites al infinito Asíntotas Continuidad de funciones reales

95 97 98 "05 "12 117 "2! "26

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Unidad Nº4: Derivadas Derivada Interpretación de la derivada Reglas de derivación Regla de la cadena 52rivación implícita Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas Derivación logarítmica Derivada de funciones trigonométricas Derivada de funciones trigonométricas inversas Derivada de orden superior Aplicación de la derivada: a) Gráficos de funciones continuas b) Gráficos de funciones discontinuas - Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos - Problemas de variaciones relacionadas - Formas indeterminadas Autoevaluación por unidad

" 3( "39 "40 "56 "52 "56 "58 163 167 171

176 186 197 #03 #10 #1 (

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UNIDAD N0 1 Números Reales

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Números Reales

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Es el conjunto formado por todos los números cuya naturaleza sea natural ab, entera a™b, racional ab e irracional aˆb. El conjunto de los números reales está provisto de dos operaciones directas: adición y multiplicación y dos operciones inversas: sustracción y división. Propiedades de la adición en ‘ a +ß ,ß - − ‘ se cumple: 1) Clausura:

a +ß , − ‘ ß +  , − ‘

2) Conmutativa:

a +ß , − ‘ , +  , œ ,  +

3) Asociativa:

a +ß ,ß - − ‘ ß a+  , b  - œ +  a,  - b

4) Elemento Neutro:

bx 0 − ‘ tal que a + − ‘ :+  ! œ !  + œ +

5) Elemento Inverso Aditivo:

bx a  +b − ‘ tal que +  a  +b œ a  +b  + œ !

Propiedades de la multiplicación en ‘ a +ß ,ß - − ‘ se cumple 1) Clausura:

a +ß , − ‘ ß + † , − ‘

2) Conmutativa:

a +ß , − ‘ , + † , œ , † +

3) Asociativa:

a +ß ,ß - − ‘ ß a+ † , b † - œ + † a, † - b

4) Elemento Neutro:

bx " − ‘ tal que a + − ‘ :+ † " œ " † + œ +

5) Elemento Inverso Aditivo:

a + − ‘ß + Á ! bx +" œ + " † + œ + † +" œ "

" − ‘ tal que +

Existe otra propiedad que integra a ambas operaciones: la propiedad distributiva a +ß ,ß - − ‘ a+  , b † - œ a+ † - b  a, † - b + † a,  - b œ a+ † , b  a+ † - b

Las operaciones inversa de los números reales se definen de la siguiente forma: Sustracción:

+  , œ +  a  ,b

División:

+ œ + † , " ,

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1) Tricotomía: a +ß ,ß - − ‘ se cumple una, y sólo una de las siguientes relaciones: +,

ß

+œ,

ß

,+

2) Transitividad: a +ß ,ß - − ‘ ; +  , • ,  - Ê +  3) Adición: a +ß ,ß - − ‘ ; +  , Ê +  -  ,  4) Multiplicación: a +ß ,ß - − ‘ ; +  , • -  ! Ê + † -  , † Otras relaciones de orden son: Mayor o igual que :

+  , Í+ ,”+ œ,

Menor que :

+, Í,+

Menor o igual que :

+Ÿ,Í, +

Los símbolos  ß  ß   ß Ÿ denotan la existencia de desigualdades Propiedades de las desigualdades 1) Transitiva: Si +  , • ,  -ß entonces +  2) Aditiva: Si +  , • -  . , entonces +  -  ,  . 3) Si +  , • - − ‘, entonces +  -  ,  4) Si +  , • - − ‘, entonces +  -  ,  5) Si +  , • -  !, entonces + † -  , † 6) Si +  , • -  !, entonces + † -  , † 7) Si +  , y - está entre + y , , entonces +  - • -  , , es decir, +  -  , 8) Si +  , , entonces +"  , " Intervalos Reales Es un conjunto infinito de números reales Tipos de intervalos 1) Intervalo abierto:

a+ß , b œ Ó+ß ,Ò œ ÖB − ‘Î +  B  ,×

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El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, pues existe la relación de orden mayor que a  b que cumple con los siguientes axiomas denominados Axiomas de Orden.

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2) Intervalo semiabierto: Ò+ß ,Ñ œ Ò+ß ,Ò œ ÖB − ‘Î + Ÿ B  ,×

Ð+ß ,Ó œ Ó+ß ,Ó œ ÖB − ‘Î +  B Ÿ ,×

3) Intervalo cerrado Ò+ß ,Ó œ ÖB − ‘Î + Ÿ B Ÿ ,×

4) Otros intervalos reales infinitos Ð  _ß +Ó œ Ó  _ß +Ó œ ÖB − ‘Î B Ÿ +×

Ð  _ß +Ñ œ Ó  _ß +Ò œ ÖB − ‘Î B  +×

Ò,ß  _Ñ œ Ò,ß  _Ò œ ÖB − ‘Î B   ,×

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Ð,ß  _Ñ œ Ó,ß  _Ò œ ÖB − ‘Î B  ,×

a  _ß  _b œ Ó  _ß  _Ò œ ÖBÎB es un número real} Así, ‘ œ Ó!ß  _Ò œ ÖB − ‘Î B  !×

‘  Ö!× œ Ò!ß  _Ò œ ÖB − ‘Î B   !×

‘ œ Ó  _ß !Ò œ ÖB − ‘Î B  !×

‘  Ö!× œ Ó  _ß !Ó œ ÖB − ‘Î B Ÿ !×

Ò+ß +Ó œ Ö+× a+ß +b œ g

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Ejemplos 1) Dibuje el intervalo que representa la expresión dada +Ñ B  &

,Ñ $ Ÿ B  (

-Ñ B Ÿ  %

.Ñ B   $



B#

2) Escriba la desigualdad que representa el intervalo dado +Ñ

 ' Ÿ B Ÿ "%



B  "$Î&

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B Ÿ  "'Î*



B Ÿ  "#



B  #

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Inecuaciones

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Son desigualdades con una incógnita que se verifican para ciertos números reales. La solución de una inecuación corresponde a un intervalo. Para resolver una inecuación se procede en forma similar a los procedimientos usados en la resolución de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades. a) Inecuaciones simples "Ñ $B  %  &  "#B "&B  %  & "&B  * * B "& B

Î  "#B Î% Î À "&

$ &

Sol:œB − ‘ÎB 

$  &

$ Sol: • ß  _” &

#Ñ #,  *  "  $, &,  *  " &,  "! ,#

Sol:Ö, − ‘Î,  #×

Î  $, Î* ÎÀ&

Sol: Ó  _ß #Ò

b) Inecuaciones con paréntesis $Ñ $B  Ð%B  &Ñ Ÿ  %B  (  Ð#  &BÑ Îse elimina paréntesis $B  %B  & Ÿ  %B  (  #  &B Îse reducen términos semejantes  B  & Ÿ  *B  & Î  *B )B  & Ÿ  & Î& )B Ÿ  "! ÎÀ) "! BŸ  ) BŸ 

& %

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& Sol:œB − ‘ÎB Ÿ   %

& Sol: •  _ß  • %

%Ñ a'C  &b#  %a&C  "!b  a'C  "!ba'C  "!b  & $'C#  '!C  #&  #!C  %!  $'C #  "!!  & %!C  '&   *& %!C   "'! C  %

Sol:ÖC − ‘ÎC   %×

Îse resuelven los productos Îse reducen términos semejantes Î  '& Î À %!

Sol:Ó  _ß  %Ò

c) Inecuaciones con denominador numérico # " $ " &Ñ a+  "b  a+  #b   a+  #b  a+  "b $ & # "& #!a+  "b  'a+  #b   %&a+  #b  #a+  "b #!+  #!  '+  "#   %&+  *!  #+  # #'+  )   %(+  *#  #"+  )    *#  #"+    "!! #"+ Ÿ "!! "!! +Ÿ #"

Sol:œ+ − ‘Î+ Ÿ

"!!  #"

Sol: •  _ß

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ÎMCM œ $! Îse resuelven los productos Îse reducen términos semejantes Î  %(+ Î) Î † a  "b Î À #"

"!! • #"

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#B  ( $B  & )  (B "  *B    'B % ) & "!

ÎMCM œ %!

"!a#B  (b  &a$B  &b  )a)  (Bb  %a"  *Bb  #%!  %!B #!B  (!  "&B  #&  '%  &'B  %  $'B  #%!  %!B #&B  #(&  %!B  "&B   #(& "&B  #(& #(& B "& B

Îse resuelven los productos Îse reducen términos semejantes Î  %!B Î † a  "b Î À "&

&& $

Sol:œB − ‘ÎB 

&&  $

Sol: •

&& ß  _” $

Ejercicios Propuestos

"Ñ *B  '   )  #B



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B $ & (B    & "! % #

$Ñ Ð&B  'Ñ Ð$  BÑ Ÿ ( Ð#  %BÑ  &B# %Ñ Ð%  $BÑ Ð%  $BÑ  Ð#B  "Ñ   Ð*B  "Ñ Ð#  BÑ &Ñ Ð&  %BÑ#  Ð(  'BÑ Ÿ "'B#  $ Ð#  BÑ 'Ñ ÐB  &Ñ#  Ð#B  $Ñ#  ÐB  "Ñ Ð$  BÑ  'B#

(Ñ Ð&B  $Ñ Ð&B  $Ñ  Ð"  #BÑ   &B Ð'  #BÑ  $B Ð"  &BÑ



D  $ $Ð"  DÑ &ÐD  %Ñ    # ( "%



" # ÐC  "Ñ  Ð&  CÑ  % $

"!Ñ

ÐD  &Ñ# &ÐD  #Ñ# D" "$ÐD  "Ñ#    % ' ) "#

& ( Ð#C  $Ñ  Ð"  $CÑ ) "#

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Solución À





# ""

Sol = ”



B

"* (%

Sol œ •  _ß



BŸ 





"$ "*

Sol œ •  _ß





#% $(

Sol = ”



B

$" %

Sol œ •  _ß



B Ÿ







C  

"!Ñ

D



"* ” (%

Sol =•  _ß 

% $(

"! #*

% • $(

"$ • "*

#% ß  _” $( $" ” %

Sol = •  _ß 

"! • #*

& Sol œ ” ß  _” )

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# ß  _” ""

""( &!

Sol = •  Sol œ •  _ß

""( ß  _” &!

'( ” #&

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d) Inecuaciones con denominador algebraico

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Para resolver este tipo de inecuaciones se empleará el método denominado Tabla Francesa .Este método consiste en confeccionar una tabla que resume la información de la inecuación a resolver. Para ello se deben realizar los siguientes pasos: 1) Dejar todas las expresiones algebraicas de la inecuación al lado izquierdo del símbolo de la desigualdad, de modo que al lado derecho sólo quede cero. 2) Reducir a una sola fracción las expresiones del lado izquierdo de la desigualdad 3) Por separado, igualar a cero la expresión resultante del numerador y la del denominador. 4) Con los valores encontrados en (3) se construye una tabla de la siguiente forma  _ß valor1

valor1

expresión del numerador expresión del denominador fracción

valor1,valor2

valor2

valor2,  _

5) Llenar la tabla sólo con signos más Ð  Ñ o menos Ð  Ño ceros a!b. El proceso consiste en colocar cero en el casillero del valor que anula la expresión del numerador como también colocar cero en el casillero del valor que anula la expresión del denominador, el resto de los casilleros se rellenarán con signos más o signos menos. Para la línea correspondiente a la expresión del numerador se elige un número a la izquierda o a la derecha del valor que anula la expresión del numerador y se reemplaza en esta expresión. Si el número elegido da una evaluación positiva y está a la derecha(izquierda) del valor que anula al numerador, entonces en la tabla todos los casilleros a la derecha(izquierda) del valor que anula al numerador se rellenarán con signo más y los que están a la izquierda(derecha) se rellenarán con signo menos. Se repite el mismo proceso para la línea que corresponde a la expresión del denominador. Luego para la línea que corresponde a la fracción se usa la ley de los signos referente al signo del numerador con el signo del denominador, en esta línea está la solución de la inecuación. Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores que cero, entonces habrá que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores que cero, entonces habrá que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores o iguales a cero, entonces habrá que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos cerrados) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores o iguales a cero, entonces habrá que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos cerrados) En el caso de los intervalos cerrados habrá que considerar si los extremos de cada intervalo no indeterminan la inecuación. Ejemplos À "Ñ

% # $ ( B B

Î

# ( B

# %! B #  %B ! B #  %B œ ! Bœ!

Ê

Bœ 

" #

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 _ß  #  %B B #  %B B

 

" #



 ! 

" #

"  ß! #  

!



!

!ß  _

 !

 

38.



" Sol: Œ  _ß    ˆ !ß  _‰ #



&B  ( 'Ÿ" B$

Î"

&B  ( (Ÿ! B$ &B  (  (B  #" Ÿ! B$  #B  #) Ÿ! B$  #B  #) œ !

Ê

B$œ!

 #B  #) B$  #B  #) B$

B œ  "% Ê

Bœ $

 _ß  "%  

 "% ! 

 "%ß  $  

$  !

 $ß  _  



!



38.



Sol: ˆ  _ß  "%Ó  ˆ  $ß  _‰

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$B  $ B(

Î$

$B $ ! B( $  B  $B  #"  ! B(  %B  #%  ! B(  %B  #% œ ! B(œ!

 %B  #% B(  4B  #% B(

Ê Ê

Bœ' Bœ(

 _ß '  

' ! 

'ß (  

(  !

(ß  _  



!



38.



Sol œ Ò 'ß ( Ò



B$ # Ÿ B" $

B$ #  Ÿ! B" $ $B  *  #B  # Ÿ! $B  $ B  "" Ÿ! $B  $ B  "" œ !

Ê

B œ ""

$B  $ œ !

Ê

Bœ "

B  "" $B  $ B  "" $B  $

 _ß  "  

"  !

 "ß ""  

"" ! 

""ß  _  



38.



!



Sol: Ó  "ß ""Ó

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Otros casos donde es posible aplicar la tabla francesa "Ñ B#  #B Ÿ '$ B#  #B  '$ Ÿ ! aB  (baB  *b Ÿ !

Î  '$

B(œ! B*œ!

Bœ ( Bœ*

B( B* (B  (Ñ ÐB  *Ñ

Ê Ê

Îfactorizando

 _ß  (   

( !  !

 (ß *   

*  ! !

*ß  _   

Sol: Ò  (ß * Ó

#Ñ aB  #ba%  BbaB  'b  ! B#œ! %Bœ! B'œ!

Ê Ê Ê

B# %B B' aB  #ba%  BbaB  'b

Bœ# Bœ% Bœ '  _ß  '    

'   ! !

 'ß #    

Sol: ]  _ß  ' Ò  Ó #ß % Ò



aB  "ba#B  $b Ÿ! a$B  "ba#  Bb

B"œ!

Ê

Bœ"

#B  $ œ !

Ê

Bœ 

$B  " œ !

Ê



#Bœ!

Ê

Bœ#

$ #

" $

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# !   !

#ß %    

%  !  !

%ß  _    

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   

 !  

$ "  ß # $    



!



 _ß  B" #B  $ $B  " #B aB  "ba#B  $b a$B  "ba#  Bb

$ #



$ #

" $   ! 

" ß" $    

38.



$ " Sol:•  _ß  •  • ß "•  Ó#ß  _Ò # $

Ejercicios Propuestos



$ & B



&B  " %  ( $B



#B  $ "  %  &B &



B#  "$B    %#



ÐB  #Ñ# Ÿ "'



Ð#B  "Ñ#  "



B$  $B#  "!B



ÐB  "Ñ ÐB  "Ñ ÐB  #Ñ ÐB  $Ñ  !



ÐB  "Ñ Ð$  BÑ Ÿ ! ÐB  #Ñ

Ÿ

" % B

18

"

"ß #

#

!   

   

   !

!



38.

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#ß  _    



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Ð#B  "Ñ Ð%  BÑ  ! ÐB  $Ñ Ð"  $BÑ

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"!Ñ

11) En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre $!ºC y $&ºC; es decir, $! Ÿ C Ÿ $&. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la fórmula de conversión Celsius/Fahrenheit es C œ &* ÐF  $#Ñ?

12)

Un rollo fotográfico se va a mantener entre ')ºF y ((ºF; es decir, ')  F  ((. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Celsius si la fórmula de conversión Celsius/Fahrenheit es F œ *& C+$#?

13)

En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura a "B" kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por X œ $!  #&ÐB  $Ñ $ Ÿ B Ÿ "& donde X es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre #!! y $!!ºC en total?

14)

Una compañía electrónica está planeando comercializar una nueva calculadora gráfica. Los costos fijos son de $'&!Þ!!! y los variables de $%( por calculadora. El precio de la calculadora al mayoreo será de $'$. Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos deben ser superiores a los costos. a) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? b) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio?

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Solución À "Ñ

Sol = ” 

# ß !” *



Sol =•  _ß



Sol = •



Sol = •  _ß  (•  ”  'ß  _”



Sol = •  #ß '”



Sol =•  _ß  " ”  •! ß  _”



Sol =•  &ß !”  •# ß  _”



Sol =•  _ß  $ ”  •  " ß "”  •# ß  _”



Sol =”  "ß # ”  ”$ ß  _ ”

"!Ñ

" " Sol = •  ß ”  •$ ß %” # $

11)

El rango de la temperatura es de )'ºJ a *&ºJ en total.

12)

El rango de la temperatura es de #!ºG a #&ºG en total.

13)

A una profundidad entre *Þ) Km y "$Þ) Km.

14)

a) La compañía debe vender más de %!Þ'#& calculadoras para tener utilidades.

& ”  •$ ß  _” %

% "* ß ” & "&

b) Para llegar al punto de equilibrio, la compañía debe vender %!Þ'#& calculadoras.

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Valor Absoluto

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Es una función que determina de cada número sólo su valor como cantidad. Su Símbolo es ¸ ¸. Se define de la siguiente forma: 0 aB b œ œ

si B   ! si B  !

Bß  Bß

Geométricamente, el valor absoluto mide distancias. El valor absoluto de un número cualquiera mide la cantidad de unidades de este número con respecto a cero. El valor absoluto entre dos números mide la cantidad de unidades entre estos dos números.

Propiedades del valor absoluto Sean Bß C − ‘, entonces "Ñ ¸ B † C ¸ œ ¸B¸ † ¸C ¸ ¸B¸ B #Ñ º º œ ¸C ¸ C

con C Á !

$Ñ ¸B  C ¸ Ÿ ¸B¸  ¸C ¸

%Ñ ¸B¸  ¸C ¸ Ÿ ¸B  C ¸ &Ñ ¸B¸  +

Í

B +



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B+

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'Ñ ¸B¸  +

Í

B +



B+

(Ñ ¸B¸   +

Í

BŸ +



B +

)Ñ ¸B¸ Ÿ +

Í

B  +



BŸ+

*Ñ ¸B¸ œ +

Í

Bœ +



Bœ+

Ejemplos de ecuaciones "Ñ ¸#B  "¸ œ %

Í

#B  " œ  % Í

Bœ 

” & #

#B  " œ % ”



$ #

& $ Sol:œ  ß  # # #Ñ º

$B  " ºœ' Í B#

Sol:œ

$B  " œ ' B#



$B  " œ' B#

Í

$B  " œ  'B  "#



Í

*B œ "$



 $B œ  ""

Í







"$ *

"$ "" ß  * $

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$B  " œ 'B  "#

"" $

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Ejemplos de inecuaciones "Ñ ¸#B  $¸  %

Í

#B  $   % Í #B   " Í

B 

• •

" #

#B  $  % #B  (



B

En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos. Así,

" ( Sol œ •  ß ” # #

#Ñ ¸$B  (¸   $ Í

$B  ( Ÿ  $ Í $B Ÿ  "! Í

BŸ 

” ”

"! $

$Ñ º



B  

"! % ß ” $ $

#  $B ºŸ#Í &B  $

#  $B   # &B  $

#  $B Ÿ# &B  $



Í

#  $B # ! &B  $



#  $B #Ÿ! &B  $

Í

#  $B  "!B  '  ! &B  $



#  $B  "!B  ' Ÿ! &B  $

Í

(B  %  ! &B  $

Í

(B  % œ !à &B  $ œ !

Í



% $ à Bœ ( &



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24

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& $

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Ejercicios Propuestos



¹$B  %¹ œ ¹#B  "¹



¹&B  #¹  $



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La producción diaria T en una planta ensambladora de automóviles está dentro de #! unidades de &!! unidades. Exprese la producción diaria como una desigualdad de valores absolutos.

"!Ñ

En un proceso químico, la temperatura X se conserva entre los "!ºC y los #!!ºC. Exprese esta restricción como una desigualdad de valores absolutos.

27

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Solución À "Ñ

$ Sol œ š ß &› &



Sol = • 



Sol =•  _ß



$ Sol =•  _ß  •  #

" ” ß  _” #



Sol = •  _ß  "” 

•



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% • ß  _” $



Sol = •  _ß !” 

•! ß



Sol =” 



9)

¸T  &!!¸ Ÿ #!

10)

¸X  "!&¸ Ÿ *&

" , "” & "% "' ß  _” •  ” $* $"

1 # ß ”  % &

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UNIDAD N0 2 Geometría Analítica

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Sistema de coordenadas en el planoa‘ ‚ ‘b

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Está formado por dos ejes perpendiculares, con origenes comunes y graduados con la misma unidad de longitud. Estos ejes perpendiculares vividen al plano ‘2 en cuatro regiones iguales denominadas cuadrantes. El eje horizontal se denomina eje de las abscisas a X b y el eje vertical recibe el nombre de eje de las ordenadasaY b

Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados. Cada par ordenado tiene un orden establecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es una ordenada, es decir, aBß C b. Propiedades 1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir, Eje X œ ÖaBß C b − ‘# ÎC œ !× 2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir, Eje Y œ ÖaBß C b − ‘# ÎB œ !×

3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes À

30

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C1 œ ÖaBß C b − ‘# Î B  ! / C  !× C# œ ÖaBß C b − ‘# Î B  ! / C  !× C$ œ ÖaBß C b − ‘# Î B  ! / C  !× C% œ ÖaBß C b − ‘# Î B  ! / C  !×

Distancia entre dos puntos del plano ‘2 Sean AaB" ß C" b y BaB# ß C# b dos puntos del plano.

AC œ B#  B"

BC œ C#  C"

Por Teorema de Pitágoras À . œ aB#  B" b#  aC#  C" b#

aABb# œ aACb#  aBCb#

. œ ÉaB#  B" b#  aC#  C" b#

AB œ .

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Así, si AaB" ß C" b y BaB# ß C# b son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotada por . aAß Bb es À . aA,Bb œ É aB#  B" b#  aC#  C" b#

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Ejemplos À "Ñ Calcular la distancia entre el punto Aa#ß &b y Ba  %ß  $b

. aA,Bb œ Éa  %  #b#  a  $  &b# œ È$'  '% œ È"!! œ "!

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#Ñ Los vértices de un cuadrilátero son Aa%ß &bß Ba  #ß %bß Ca  $ß  #b y Da#ß  $bÞ Calcular su perímetro. P œ . aA,Bb  . aB,Cb  . aC,Db  . aD,Ab

. aA,Bb œ Éa  #  %b#  a%  &b# œ È$'  " œ È$(

. aB,Cb œ Éa  $  #b#  a  #  %b# œ È"  $' œ È$( . aC,Db œ Éa#  $b#  a  $  #b# œ È#&  " œ È#' . aD,Ab œ Éa%  #b#  a&  $b# œ È%  '% œ È')

P œ . aA,Bb  . aB,Cb  . aC,Db  . aD,Ab œ È$(  È$(  È#'  È') œ #È$(  È#'  #È"(

$Ñ Determine el valor de B en AaBß $b de modo que . aA,Bb œ & con Ba$ß  #b . aA,Bb œ ÉaB#  B" b#  aC#  C" b# & œ É a$  B b #  a  #  $ b # & œ Éa$  Bb#  #&

#& œ a$  Bb  #& ! œ a$  Bb# Ê B œ $ #

Îab#

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División de un trazo en una razón dada

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Sea PaBß C b un punto del plano que divide al trazo P1 P2 en una cierta razón k, es decir, P1 P œk PP2 Se obtendrán las coordenadas del punto PaBß C b en función de los puntos dados P1 y P2 . ˜ P1 SP µ ˜ PRP2 P1 S P1 P œ PR PP2

Ê

B  B" B#  B Ê Ê Ê Ê

œ5 B  B" œ 5B#  5B B  5B œ 5B#  B" Ba"  5 b œ B"  5B# B"  5B# Bœ "5

con 5 Á  "

De igual forma À SP P1 P œ RP# PP2

Ê

C  C" C#  C Ê Ê Ê Ê

œ5 C  C" œ 5C#  5C C  5C œ 5C#  C" Ca"  5 b œ C"  5C# C"  5C# Cœ "5 PŒ

Por lo tanto, las coordenadas del punto P son:

Si P es el punto medio del trazo P1 P2 , entonces PŒ

Luego, Si

P

es

un

con 5 Á  "

B"  5B# C"  5C# ,  "5 "5

P1 P œ 1, así k œ " PP2

B"  B# C"  C# ,  2 2 punto

que

queda

fuera

33

del

trazo

P1 P2 ,

entonces

k

es

negativo.

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Ejemplos À

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1) El punto medio de un trazo es a$ß (b y uno de los extremos es a"!ß %bÞ Determinar el otro extremo Œ

B "  B # C"  C # ,  œ a$ß (b 2 2

Œ

"!  B# %  C# ß  œ a$ß (b # #

El otro punto es a  %ß "!b

"!  B# œ$ • #

%  C# œ( #

Ê "!  B# œ ' •

%  C# œ "%

Ê B# œ  %



Ê

C# œ "!

2) Los extremos de un trazo son los puntos Aa(ß %b y Ba  "ß  #b. Hallar la razón k en que el punto Ca"ß  #b divide al trazo. Œ

B"  5B# C"  5C# ,  œ a"ß  #b "5 "5

Œ

(  5 %  #5 ß  œ a"ß  #b "5 "5

Ê

(5 œ" "5



%  #5 œ # "5

Ê(5 œ"5



%  #5 œ "  5

Ê ' œ #5



$ œ $5

Ê5œ$



"œ5

Luego, no existe el valor de 5 , por lo tanto el punto C no divide al trazo.

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Pendiente entre dos puntos Sean AaB" ß C" b y BaB# ß C# b dos puntos del plano

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CB C#  C" se denomina pendiente, se simboliza por 7 y representa el grado de œ AC B#  B " inclinación del trazo AB con el eje X. El ángulo se mide desde el eje X al trazoa!b La razón

Así, si AaB" ß C" b y BaB# ß C# b son dos puntos del plano, entonces la pendiente entre A y B es À 7œ

C#  C" B#  B "

La pendiente es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo !, es decir, 7 œ >1 ! Propiedades de la pendiente 1) Si 7  !, entonces ! es un ángulo agudo.

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#) Si 7  !, entonces ! es un ángulo obtuso

$) Si 7 œ !, entonces ! es un ángulo nulo

Y

X

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%) Si 7 no está definida, entonces ! es un ángulo recto

Ejemplo À "Ñ Determine la pendiente entre los puntos A y B, B y C, C y D, D y E si Aa  $ß 'b; Ba  $ß #b; Ca  "ß "b; Da#ß "b y Ea&ß &b 7AB œ

#' % œ œ_ $$ !

! es un ángulo recto

7BC œ

"# " œ  "$ #

! es un ángulo obtuso

7 CD œ

"" ! œ œ! #" $

! es un ángulo nulo

7DE œ

&" % œ &# $

! es un ángulo agudo

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Línea recta

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Una recta en ‘2 es un conjunto de pares ordenados que tienen la característica que cualquier pareja de puntos distintos tienen la misma pendiente. Para determinar la ecuación de una recta existen dos formas À a) Se conocen dos puntos de ella de ella

Sean AaB" ß C" b y BaB# ß C# b dos puntos conocidos de una recta y sea PaBß C b un punto cualquiera Y

B(x2,y2) P(x,y)

A(x1,y1) X P œ ÖaBß C b − ‘# Î7AP œ 7AB × 7AP œ

C  C" B  B"

7AP œ 7AB Ê

7AB œ

C#  C " B#  B"

C  C" C#  C " C#  C " œ Ê C  C" œ Œ aB  B" b B  B" B#  B" B#  B"

Luego, si AaB" ß C" b y BaB# ß C# b dos puntos conocidos de una recta , entonces su ecuación es À C  C" œ Œ

C#  C"  aB  B " b B#  B "

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b) Si se conoce un punto y su pendiente

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Sea AaB" ß C" b un punto conocido de la recta, PaBß C b un punto cualquiera y 7 su pendiente 7AP œ 7 Ê

es À

C  C" œ 7 Ê C  C" œ 7aB  B" b B  B"

Luego, si AaB" ß C" b es un punto conocido de una recta y 7 su pendiente, entonces su ecuación C  C" œ 7aB  B" b

Ejemplos À 1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos Aa"ß  #b y Ba  $ß  %b C#œŒ

%# " aB  "b Ê C  # œ aB  "b $" #

2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto Aa  #ß  (b y tiene pendiente  #Î$ # C  ( œ  aB  #b $

Ejercicios Propuestos En cada uno de los ejercicios propuestos grafíque cada caso: 1)

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos : a) EÐ  $ß &Ñ C FÐ  %ß "Ñ

b) GÐ  "ß $Ñ C HÐ  &ß #Ñ

c) IÐ&ß (Ñ C J Ð!ß  %Ñ 2)

Determine la ecuación de la recta que pasa por: a) El punto EÐ  #ß  (Ñ y tiene pendiente c) El punto EÐ%ß (Ñ y tiene pendiente 

2 5

& $

39

b) El punto EÐ&ß  "Ñ y pendiente 

% (

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Solución: 1) a) C  & œ %ÐB  $Ñ

b) C  $ œ

" ÐB  "Ñ %

c) C  ( œ

"" ÐB  &Ñ &

2) a) C  ( œ

# ÐB  #Ñ &

b) C  " œ 

% ÐB  &Ñ (

40

c) C  ( œ 

& ÐB  %Ñ $

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Propiedades a) Toda recta paralela al eje X tiene por ecuación C œ +. a7 œ !b

Y

y=a

a

X

b) Toda recta paralela al eje Y tiene por ecuación B œ +. a7 œ _b

Y

x=a

a

X

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Formas de la ecuación de la recta À a) Forma general De C  C" œ Œ

C#  C" aB  B" b se tiene B#  B "

aC  C" baB#  B" b œ aC#  C" baB  B" b

C aB#  B" b  C" aB#  B" b œ aC#  C" bB  aC#  C" bB"

BaC"  C# b  C aB#  B" b  ÒB" aC#  C" b  C" aB#  B" bÓ œ !

Si A œ C"  C# à B œ B#  B" y C œ B" aC#  C" b  C" aB#  B" b, entonces AB  BC  C œ !

es la Ecuación General de la recta con A Á 0 ” B Á 0

b) Forma principal À

De C  C" œ 7aB  B" b se tiene C  C" œ 7B  7B" C œ 7B  7B"  C" Si , œ  7B"  C" , entonces À C œ 7B  ,

es la Ecuación Principal de la recta.

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b se denomina coeficiente de posición y equivale a la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y ww ww

Y

b

X

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c) Ecuación de segmento

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Sea Aa+ß !b y Ba0ß , b los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, entonces À C!œ Cœ 

,! aB  +b !+

, aB  +b +

+C œ  ,B  +, ,B  +C œ +, B C  œ" + ,

Î À +, es la Ecuación de Segmento de la recta

Ejemplos À Determinar en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si À a) pasa por Aa$ß "b y Ba  (ß %b Ecuación general:

Ecuación principal:

C"œŒ

%" aB  $b ($

C"œ 

C"œ 

$ aB  $b "!

Cœ 

$ * B " "! "!

"!C  "! œ  $B  *

Cœ 

$ "* B "! "!

$B  "!C  "* œ !

Ecuación de segmento: $B  "!C  "* œ ! $B  "!C œ "*

Î À "*

$ "! B C œ" "* "* B C  œ" "* "* $ "!

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$ aB  $b "!

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b) Tiene pendiente  (Î& y pasa por el punto Aa  "ß  #b Ecuación principal:

Ecuación general: ( C  # œ  aB  "b &

( C  # œ  aB  "b &

&C  "! œ  (B  (

( ( C œ  B # & &

(B  &C  "( œ !

( "( C œ  B & &

Ecuación de segmento: (B  &C  "( œ ! (B  &C œ  "( 

Î À  "(

( & B C œ" "( "(

B C  œ" "( "(   ( &

c) corta al eje X en 2 y al eje Y en 3 Ecuación general:

Ecuación de segmento:

B C  œ" # $

B C  œ" # $

Î'

$B  #C œ ' $B  #C  ' œ ! Ecuación principal: B C  œ" # $ C B œ  " $ # $ C œ  B$ #

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Ejercicios Propuestos

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1) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si pasa por los puntos: a) EÐ2, &Ñ C FÐ  3ß  ""Ñ b) GÐ2ß 0Ñ C HÐ0ß 4Ñ c) IÐ-1ß 3Ñ C J Ð5ß 1Ñ

2)

Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si: a) Pasa por el punto EÐ'ß (Ñ y tiene pendiente

" &

b) Pasa por el punto FÐ  %ß "Ñ y tiene pendiente  c) Pasa por el punto GÐ#ß  &Ñ y tiene pendiente '

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$ #

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Solución: 1)

46

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2)

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Tipos de Rectas Sean

L1 : C œ 7" B  8"

y

L2 À C œ 7# B  8#

, entonces,

aÑ L1 es secante a L2 si , y sólo siß L1  L2

L1 es paralela a L2 aL1 m L2 b si, y sólo siß 7" œ 7#

b)

Y

L1 : y = m1 x+ n1

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L2 : y = m2 x+ n2

X

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L1 es perpendicular a L2 a L1 ¼ L2 b si, y sólo siß 7" † 7# œ  "

c)

Ejemplos 1) Determine el punto de intersección de las rectas #B  C œ & à $B  #C œ  (

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Para determinar el punto de intersección de las dos rectas, sólo se debe resolver un sistema de ecuaciones. /†#

#B  C œ & $B  #C œ  ( %B  #C œ "! $B  #C œ  (  (B œ $ Ê B œ

$ (

$ ' #* #Œ   C œ & Ê C œ &  Ê C œ ( ( (

$ #* Luego el punto de intersección de las rectas #B  C œ & à $B  #C œ  ( es el punto Œ ß  ( ( 2) Decida si las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares +Ñ

L1 À #B  $C œ ( L# À #B  $C œ  )

En L1 , se tiene, #B  $C œ ( Ê #B  ( œ $C Ê

# ( # B  œ C Luego, 7L" œ $ $ $

En L# , se tiene, #B  $C œ  ) Ê #B  ) œ $C Ê

# ) B œC $ $

Como 7L" œ 7L# , entonces L1 m L2

49

Luego, 7L# œ

# $

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L1 À %B  &C œ # L# À &B  %C œ  "

En L1 , se tiene, %B  &C œ # Ê %B  # œ &C Ê Luego, 7L" œ

% # B œC & &

% &

& " En L# , se tiene, &B  %C œ  " Ê %C œ  &B  " Ê C œ  B  % % & Luego, 7L# œ  % Como 7L" † 7L# œ

% & † Œ   œ  ", entonces L1 ¼ L2 & %

3) Determine la ecuación de la recta que pasa por a"ß  #b y es a) paralela con la recta L" À &B  #C  & œ ! b) perpendicular con la recta L# À $B  %C œ (

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a) Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L1 . Además, como la recta buscada debe ser paralela con L1 , entonces sus pendientes son las mismas. &B  #C  & œ ! Ê &B  & œ #C Ê Luego la pendiente de L1 œ

& & B œC # #

& & . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es # #

Su ecuación es: C#œ

& aB  "b Ê #C  % œ &B  & Ê &B  #C  * œ ! #

Así, la recta &B  #C  * œ ! es paralela con L1 .

,Ñ Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L# . Además, como la recta buscada debe ser perpendicular con L2 , entonces el producto de sus pendientes debe ser igual a  ". $ ( $B  %C œ ( Ê %C œ  $B  ( Ê C œ  B  % % Luego la pendiente de L1 œ 

$ % . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es % $

Su ecuación es: C#œ

% aB  "b Ê $C  ' œ %B  % Ê %B  $C  "! œ ! $

Así, la recta %B  $C  "! œ ! es perpendicular con L2 .

50

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4) Determine el valor de 5 en 5B  a5  "bC  $ œ ! para que la recta À

a) pase por el punto a#ß  $bÞ b) sea paralela a la recta L À #B  C  & œ ! c) sea perpendicular a la recta L À  B  C  ) œ !

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a) Para que el punto a#ß  $b pertenezca a la recta 5B  a5  "bC  $ œ ! se debe reemplazar en la recta B por # e C por  $ y resolver la ecuación resultante para 5Þ Si la ecuación tiene solución, entonces el punto pertenece a la recta, de lo contrario, si la ecuación no tiene solución, entonces el punto no pertenece a la recta. 5Ð#Ñ  Ð5  "ÑÐ  $Ñ  $ œ ! #5  $5  $  $ œ ! &5 œ  ' 5œ 

' &

Luego, la recta es ' '  B  Œ   "C  $ œ ! & & ' "  B C$œ! & &  'B  C  "& œ !

b) Para que la recta 5B  a5  "bC  $ œ ! sea paralela con L À #B  C  & œ ! sus pendientes deben ser iguales. 5B  a5  "bC  $ œ ! Ê 5B  $ œ a5  "bC Ê la pendiente de esta recta es

5 5"

#B  C  & œ ! Ê #B  & œ C la pendiente de la recta L es # así,

5 œ # Ê 5 œ #5  # Ê 5 œ  # 5"

Luego, la recta es  #B  a  #  "bC  $ œ !  #B  C  $ œ !

51

5 $  œC 5" 5"

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c) Para que la recta 5B  a5  "bC  $ œ ! sea perpendicular con L À  B  C  ) œ ! el producto de sus pendientes debe ser igual a  ". 5B  a5  "bC  $ œ ! Ê 5B  $ œ a5  "bC Ê la pendiente de esta recta es

5 5"

5 $  œC 5" 5"

BC)œ!ÊC œB) la pendiente de la recta L es " así,

5 " † Ð"Ñ œ  " Ê 5 œ  5  " Ê 5 œ  5" #

Luego, la recta es: " "  B  Œ   "C  $ œ ! # # " "  B C$œ! # # BC'œ!

Distancia de un punto a una recta Sea L1 : EB  FC  G œ !

y PaB! ß C! b un punto que no pertenece a la recta

la distancia . , desde T a la línea recta y denotada por . aT ß Pb es : . aT ß P b œ

¸EB  FC  G ¸ È E#  F #

52

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Ejemplos: 1) Determinar la distancia que existe desde el punto Ea  $ß %b a la recta L À $B œ %C  & L À $B  %C  & œ ! Ê E œ $ ß F œ  % ß G œ & . aEß Lb œ . aEß Lb œ

¸ $ a  $ b  a  % b%  & ¸ ¸  #!¸

. aEß Lb œ %

È*  "'

&

2) Determinar la distancia que existe entre las rectas L1 À C œ #B  $ L# À C œ #B  &

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Como L1 es paralela con L2 ,aL1 m L2 b, basta elegir un punto en la recta L1 o en la recta L2 y calcular la distancia de este punto a la otra recta. Para este ejemplo se elegirá un punto de la recta L1 ,Aa"ß  "b y se calculará la distancia de este punto a la recta L2 L2 À #B  C  & Ê E œ # ß F œ  " ß G œ & . aEß L# b œ . aEß L# b œ . aEß L# b œ

¸#a"b  a  "ba  "b  &¸ ¸)¸

È%  "

È&

)È & &

Luego la distancia entre las rectas L1 y L2 es

)È & unidades &

53

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Ejercicios Propuestos 1)

Los vértices de un triángulo son: Ea  "ß #bà

F a$ß &bà

G a"ß (b

Determinar y graficar: a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC 2)

Determinar el valor del parámetro k:

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a) para que el triángulo de vértices Aa%ß #  5 bà F a#ß #5  $bà G a  &ß # b sea rectángulo en C. b) Para que la recta que pasa por los puntos Aa#ß  "b y F a"ß 5 b sea perpendicular a la recta que pasa por Ca  $ß  #b y D a5ß $b c) Para que la recta L1 À $B  #C œ * sea paralela L2 À 5B  a5  "bC  & œ ! $Ñ

Hallar el valor de k para que la recta 5 # B  a5  "bC  $ œ ! sea: a) paralela a la recta $B  #C  % œ ! bÑ perpendicular a la recta $B  #C  "" œ ! c) pase por el punto a"ß  #b



Hallar la distancia del punto Pa#ß 'b a la recta L À %B  $C œ "#

5)

Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta $B  %C œ ( y que distan % de ella.

6)

Un departamento de policía ha averiguado que el número de crímenes o delitos graves que ocurren por semana es una función del número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva. La función matemática es: - œ 0 Ð:Ñ œ "#&!  #Þ&: ß donde - es el número de crímenes por semana y : indica el número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva. a) ¿Cuál es el número esperado de crímenes si 250 oficiales son asignados a la vigilancia preventiva? b) ¿Cuántos oficiales habría que asignar si se quisiera reducir a 500 el nivel semanal de crímenes? c) ¿Cuántos oficiales habría que asignar para reducir a cero el nivel semanal de crímenes?

54

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La utilidad total de plantar B4 acres en la granja 4 se expresa en la función: T ÐB" ß B# Ñ œ %!!B"  &&!B#  #)&Þ!!!

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a) ¿Cuál es la utilidad total si en la granja " se plantan #!! acres y en la granja # se plantan )&! acres? b) Si en la granja " se plantaron '!! acres ¿Cúal debe ser la mínima cantidad de acres plantados en la granja # para que exista utilidad? c) Identifique una combinación de plantaciones que produzcan una utilidad de cero. 8)

Hallar los valores de 5 tales que la distancia de Ð  #ß $Ñ a la recta (B  #%C œ 5 es $

9)

Hallar los valores de 5 tales que la recta $B  %C œ 5 determine, con los ejes coordenados, un triángulo de área 6.

10)

Hallar el punto de la recta $B  C œ  % que equidista de Ð  &ß 'Ñ y Ð$ß #Ñ

55

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Solución: 1)

b) Perímetro = .ÐEß FÑ  .ÐFß GÑ  .ÐEß GÑ œ &  # È#  È#*

c) Ecuación de las transversales de gravedad

56

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d) Ecuación de las alturas

e) Ecuación de las medianas:

f) Area ? ABC œ



a) 5 œ ( à 5 œ 

3)

a) 5 œ b) 5 œ

$  È$$ à % "  È( $

à

14

* #

b) 5 œ 

" # 5œ



c) 5 œ " 4)

Distancia =

14 5

57

c) 5 œ $  È$$ %

"  È( $

$ &

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6)

a) - œ '#& crímenesÞ b) : œ $!! oficiales c) : œ &!! oficiales

7)

a) Y œ $#'#Þ&!! b) )# acres c) Granja " À $!! acres Granja # À $!! acres.

8)

5œœ

 "'"  ""

9)

5œœ

 "#  "#

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5)

10)

58

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Cónicas Lugar Geométrico:

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El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Las secciones cónicas se llaman así porque todas ellas son secciones planas de un cono circular recto. Una circunferencia puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, una elipse se produce cuando el corte del cono es oblicuo al eje y a la superficie, se produce una hipérbola cuando el cono es intersectado por un plano paralelo al eje, y resulta una parábola cuando el plano de intersección es paralelo a un elemento de la superficie. Es decir, a la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se les llama frecuentemente secciones cónicas porque todas ellas pueden obtenerse como secciones de un cono recto circular al ser cortados por planos. Se entenderá que el cono se extiende indefinidamente a ambos lados de su vértice. Cada cono situado a un lado del vértice se denomina hoja de cono.

Cuando la curva producida cortando el cono se refiere a un sistema de coordenadas se definirá una sección cónica como:

"Una sección cónica es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distancia desde un punto fijo es una relación constante respecto de su distancia a una línea fija. El punto fijo se denomina foco y la línea fija se llama directriz."

y

Recta L2 Generatriz

Recta L1 Recta L2

Manto superior

Vértice α

Hojas de cono

z

x

Manto Inferior

Recta L2 Generatriz

59

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Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

60

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Circunferencia

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Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama centro y la distancia fija radio.

Sea GÐ2ß 5Ñ el centro de la circunferencia, T ÐBß CÑ un punto de la circunferencia y < el radio, entonces À .ÐT ß GÑ œ < ÉÐB  2Ñ#  ÐC  5Ñ# œ < ÐB  2Ñ#  ÐC  5Ñ# œ de una moneda que se deja caer es =a>b œ  "'>#  "$&! con = medida en pies y > medido en segundos. Hallar À a) velocidad media en el intervalo Ò "ß # Ó =a"b œ  "'a"b  "$&! œ "$$% =a#b œ  "'a%b  "$&! œ "#)' ?= "#)'  "$$% œ œ  %) ?> #" la velocidad media es de  %) pies/seg. b) velocidad instantánea en > œ " y > œ # @a>b œ

.= œ  $#> .>

@a"b œ  $#

@a#b œ  '%

la velocidad instantánea en > œ " es  $# pies/seg. y en > œ # es  '% pies/seg.

146

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c)¿cuánto tarda en llegar al suelo? =a>b œ ! Ê

 "'>#  "$&! œ ! "$&! œ "'># Ê

"$&! œ> "'

*ß "* µ > en llegar al suelo tarda aproximadanemte *ß "* segundosÞ 2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es @a>b œ tras : a) 5 segundos. b) 10 segundos c) 15 segundos

+a>b œ + a& b œ

"!!> , @ en m/seg. Hallar la aceleración #>  "&

.@ "!!a#>  "&b  "!!>a#b "&!! œ œ # .> a#>  "&b a#>  "&b# "&!!

a"!  "&b#

œ #ß %

la aceleración a los & segundos es de #ß % m/seg2 Þ +a"!b œ

"&!!

a#!  "&b

#

œ

'! µ "ß ## %*

la aceleración a los "! segundos es aproximadamente de "ß ## m/seg2 Þ +a"&b œ

"&!!

a$!  "&b

#

œ

#! µ !ß (% #(

la aceleración a los "& segundos es aproximadamente de !ß (% m/seg2 Þ

Ejercicios Propuestos I) Obtener

.C en À .B



0 aBb œ $B&  %B$  B#  B  (

2)

0 ÐBÑ œ ÐB$  #B  $Ñ ÐB#  &Ñ

3)

0 ÐBÑ œ

B#  #B  " B$  $

4)

0 ÐBÑ œ

ÐB  "Ñ ÐB$  %B  #Ñ ÐB#  &Ñ

147

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0 ÐBÑ œ Ð#B#  $BÑ ÐB$  %B# Ñ Ð$B#  &BÑ

II)

Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.



0 aBb œ $B$  %B

T a#ß "b

2)

0 aB b œ

III)

1)La posición de un cuerpo está dada por =a>b œ $>#  &> con = medida en metros y > medido en minutos. Hallar À

$B  # %B

T a  $ß  &b

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5)

a) velocidad media en el intervalo Ò 2ß 3 Ó b) velocidad instantánea en > œ 3 y > œ 5 c)¿en qué tiempo el cuerpo vuelve a pasar por el origen? 2) La velocidad de un tren que parte del reposo es @a>b œ

aceleración tras : a) # horas. b) 3 horas. c) 90 minutos.

148

>  #& , @ en km/hr. Hallar la #>

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Solución :

I)

1)

.C œ "&B%  "#B#  #B  " .B

2)

.C œ &B%  *B#  'B  "! .B

3)

.C  B%  %B$  $B#  'B  ' œ .B ÐB$  #Ñ#

4)

.C #B&  B%  #!B$  #"B#  %%B  $! œ .B ÐB#  &Ñ#

5)

.C œ a%B  $b ˆB$  %B# ‰ ˆ$B#  &B‰  .B

a#B#  $Bb a$B#  )Bb a$B#  &Bb  a#B#  $Bb aB$  %B# b a'B  &b

II)

1) Recta tangente: Recta normal: C œ 

2) Recta tangente: Recta normal: C œ 

III)

C œ %!B  (* " #" B %! #!



# #* B ( (

( $" B # #

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1)

a) Veloc media: "! 7>Î738 b) Veloc instantanea: > œ $ => "$ 7>Î738 à > œ & => #& 7>Î738 c) El cuerpo vuelve a pasar por el origen después de "ß '( 738Þ

2)

a) La aceleración a las 2 horas es de $ß "#& 57Î21 ? ß con ? œ aBb, entonces .C .? œ =/- # ? † .B .B 4) Si C œ -9>1 ? ß con ? œ aBb, entonces .C .? œ  -9=/- # ? † .B .B

5) Si C œ =/- ? ß con ? œ aBb, entonces .C .? œ =/- ? † >1 ? † .B .B

6) Si C œ -9=/- ? ß con ? œ aBb, entonces .C .? œ  -9=/- ? † -9>1 ? † .B .B

Ejemplos À Determine

.C en À .B

"Ñ C œ =/8#B  -9=$B  >1B#

#Ñ C œ -9>1a$B  &b%

Ê

.C œ a-9=#Bb#  a=/8$Bb$  ˆ=/- # B# ‰#B .B Ê

.C œ #-9=#B  $=/8$B  #B =/- # B# .B

Ê

.C œ  Š-9=/- # a$B  &b% ‹%a$B  &b$ $ .B

Ê

.C œ  "#a$B  &b$ -9=/- # a$B  &b% .B

167

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$Ñ C œ =/8 ÈB  B#  -9=$ ÈB  B# Ê C œ =/8ÈB  B#  Š-9=ÈB  B# ‹

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$

# .C "  #B "  #B œ Š-9=ÈB  B# ‹  $Š-9=ŠÈB  B# ‹‹ =/8ŠÈB  B# ‹   .B #È B  B # #È B  B#

%Ñ C œ È>1 (B  =/8& aB  "b .C ( =/- # (B œ  &=/8% aB  "b-9=aB  "b .B #È>1 (B &Ñ C œ 68a=/8B  -9=Bb  /=/-B

#

# .C -9=B  =/8B œ  #B =/-B# >1B# /=/-B .B =/8B  -9=B

'Ñ C œ

=/8#B  =/8ˆ>1ˆ/B ‰‰ "  -9=#B

.C #-9=#Ba"  -9=#Bb  #=/8# #B œ  /B -9=ˆ>1ˆ/B ‰‰=/- # ˆ/B ‰ .B a"  -9=#Bb# .C # œ   /B -9=ˆ>1ˆ/B ‰‰=/- # ˆ/B ‰ .B a"  -9=#Bb (Ñ =/8aB  C b œ B  -9=aB  C b  C -9=aB  C bŒ" 

.C .C .C  œ "  =/8aB  C bŒ"   .B .B .B

.C -9=aB  C b  =/8aB  C b  " œ .B -9=aB  C b  =/8aB  C b  "

)Ñ a=/8Bb-9=C œ a-9=C b=/8B

Î 68

68 a=/8Bb-9=C œ 68 a-9=C b=/8B

-9=C 68 a=/8Bb œ =/8B 68a-9=C b  =/8C

.C -9=C =/8B .C 68a=/8Bb  -9=B œ -9=B 68a-9=C b  =/8C .B =/8B -9=C .B

.C -9=B 68a-9=C b  -9=C -9>1 B œ .B  =/8C 68 a=/8Bb  =/8 B >1 C

168

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Ejercicios Propuestos

Determine

.C en À .B



C œ =/8 &B  -9=# $B  -9>1 B#

2)

C œ =/- a$B#  "b

3)

C œ >1 È"  B  =/8& ÈB$  B

4)

C œ 68 a=/8# #Bb  È-9= )B

5)



>1# B "  =/8 B

6)



=/8$ B#  -9>1 B È-9=/- $B

7)

-9= B  =/8 C œ >1 BC

8)

>1 ÐB  CÑ#  -9=/- $ C œ =/8Ð68 BCÑ

9)

a=/8 BbC œ a>1 C bB

10)

a-9>1 aB  C bbB œ a=/- BbC

&

169

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Solución :

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1)

.C œ & -9= &B  ' -9= $B =/8 $B  #B -9=/- # B# .B

2)

.C & & % œ $! B =/- ˆ$B#  "‰ >1ˆ$B#  "‰ ˆ$B#  "‰ .B

3)

Î Š& =/8% ÈB$  B ‹ Š-9=ÈB$  B‹ a$B#  "b Ñ .C =/- # È"  B Ð Ó œ   È B$  B .B # È"  B # Ï Ò

4)

.C % =/8 #B -9= #B % =/8 )B œ Œ   È  # .B =/8 #B -9= )B

5)

.C a# >1 B =/- # Bba"  =/8 Bb  >1# B -9=B œ .B a"  =/8 Bb#

6)

.C œ .B

7)

.C C =/- # aBC b  =/8 B œ .B  -9= C  B =/- # aBC b

8)

.C œ .B

9)

.C œ .B

 $ -9=/- $B -9>1 $B Šˆ'B =/8# B# -9=B#  -9=/- # B‰ŠÈ-9=/- $B‹‹  ˆ=/8$ B#  -9>1B‰  # È-9=/- $B -9=/- $B

10)

.C œ .B

-9Ba68 BC b  a#B  #C bˆ=/- # aB  C b# ‰ B -9=a68 BC b a#B  #C bˆ=/- # aB  C b# ‰  $a-9=/- $ C ba-9>1 C b  C 68 a>1 C b 

C -9= B =/8 B B =/- # C 68 a=/8 Bb  >1 C C >1B  68a-9>1aB  C bb  

B -9=/- # aB  C b -9>1aB  C b

B -9=/- # aB  C b  68a=/- Bb -9>1aB  C b

170

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Derivada de funciones trigonométricas inversas 1) Si C œ E1 B# œ  .B "  =/- # B# B È"  68# B

5)

.C /B 68$ œ   È"  /#B È$#B  " .B

6)

.C & B% -9= B& ' œ ( ˆE1ˆ=/8 B& ‰‰ Œ  .B "  =/8# B&

7)

C È .C "  B# œ B .B E "!!1

Ê

.2 " œ .> 1

La altura del montón cónico crece a razón de

1 pies/min. 1

209

.2 œ? .>

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2) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pies3 /min. Hallar la razón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 10 pies. aSuponga que el radio del cono es igual a su alturab.

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.B km œ "#! .> hr

;

.C km œ "&! .> hr

"#! km Ò '! minutos B km Ò " minuto Ê

B œ # km

"&! km Ò '! minutos C km Ò " minuto

Ê



& km #

un minuto después À

210

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3) Un automóvil que se desplaza a razón de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a 1km. de la intersección, un camión que viaja a 150 km/hr. cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 1 minuto después que el camión pasa el cruce?.

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B#  C # œ D #

#B

derivando implicitamente con respecto al tiempo

.B .C .D  #C œ #D .> .> .>

.B .C B C .D .> œ .> .> D

Como B œ "ß C œ

È#* & , entonces D œ # #

& "a"#!b  a"&!b **! È # Luego . w œ œ #* È#* #* #

El auto y el camión se separan a una velocidad de

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**! È #* km/hr después que el camión pasa por el cruce. #*

211

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Ejercicios Propuestos

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1) La razón de cambio del radio de un círculo es de 5 mt/mín. ¿Cuál es la velocidad de cambio del perímetro? 2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razón de 7 mt/mín ¿Cuál es la velocidad de cambio del perímetro de la parcela si su ancho permanece constante?

3) Se infla un globo a razón de 1.800 cm3 /sg. Determinar la velocidad de aumento de radio del globo cuando este mide 15 cm?. 4) Se deposita agua en un tambor cilíndrico a razón de 400 cm3 /sg. Si el radio del tambor es 10 cm, determinar la razón de cambio de la altura del tambor.

5) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio < del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pie/sg. Cuando el radio es 4 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área E de la región circular? 6) Un avión vuela a una altura de ' millas por una trayectoria que le llevará a la vertical de una estación de radar. Si la distancia del avión al radar decrece a una razón de %!! millas/hr cuando dicha distancia es "! millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?. 7) El radio de una esfera está creciendo a razón de # pulg/mín. calcular la razón de cambio del área de la esfera cuando el radio es ' pulg. 8) Una cámara de televisión , situada a ras del suelo, está filmando el despegue de un cohete espacial, que se mueve verticalmente de acuerdo con la ecuación = œ &!># ß donde = se mide en pies y > en segundos. La cámara dista 2.000 pies del punto de lanzamiento. Calcular la variación de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.

9) Un cono circular recto, tiene una altura de 12 cm y un diámetro de base de 8 cm. Si se invierte el cono y se vacia agua por la base del mismo, haciendo que el radio en el nivel del agua varíe ‰ con una velocidad de 13 ˆ cm m . ¿Con qué velocidad cambiará el volumen de agua cuando el radio es 2 cm ? 10) Un globo asciende verticalmente sobre un punto E del suelo a razón de 15 pies/sg. Un punto F del suelo dista 30 pies de E. Cuando el globo está a 40 pies de E, ¿a qué razón está cambiando la distancia desde el globo al punto F ?

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Solución:

1) El perímetro del círculo crece a razón de 10 1 mt/mín. 2) La velocidad de cambio del perímetro de la parcela es de 14 mt/mín.

3) El radio del círculo crece a razón de

2 cm/sg. 1

4) La altura del tambor aumenta a razón de

4 cm/sg. 1

5) El área del círculo crece a una razón de )1 pies# ÎsgÞ 6) La velocidad del avión es &!! millas/hr. 7) El área de la esfera aumenta a una razón de *'1 pulg# Îmín.

8) El ángulo de elevación de la cámara crece a una razón de

# rad/sg. #*

9) El volumen de agua aumenta a razón de %1 cm$ /min. 10) La distancia desde el globo al punto F aumenta a razón de "# pies/sg.

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Formas Indeterminadas 1) Si lim 0 aBb œ ! y BÄ+ la forma indeterminada

! Þ !

2) Si lim 0 aBb œ _ y BÄ+ la forma indeterminada

0 aB b lim 1aBb œ ! , entonces lim adquiere BÄ+ B Ä + 1 aB b

0 aB b lim 1aBb œ _ , entonces lim adquiere BÄ+ B Ä + 1 aB b

_ Þ _

Regla de L'Hopital

1) Suponga que

entonces

0 aB b 0 w aB b lim œ lim œP B Ä + 1 aB b B Ä + 1 w aB b

2) Suponga que

entonces

0 w aB b lim 1aBb œ ! y lim œP ß BÄ+ B Ä + 1 w aB b

lim 0 aBb œ ! ß BÄ+

0 w aB b lim 0 aBb œ _ ß lim 1aBb œ _ y lim œP ß BÄ+ BÄ+ B Ä + 1 w aB b

0 aB b 0 w aB b lim œ lim œP B Ä + 1 aB b B Ä + 1 w aB b

La Regla de L'Hopital también es válida si B È  _ ” B È  _ , es decir a) Si

0 aB b _ lim œ B Ä  _ 1 aB b _

y

0 aB b _ lim œ _ B Ä  _ 1 aB b

y si

0 aB b lim œP B Ä  _ 1 aB b b) Si

0 aB b lim œP B Ä  _ 1 aB b

si

0 w aB b lim œ P , entonces B Ä  _ 1 w aB b

0 w aB b lim œ P , entonces B Ä  _ 1 w aB b

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Ejemplos:



lim BÄ!

$B  #B ! œ B !

Pw L lim BÄ!

$B 68$  #B 68# "

$ œ 68$  68# œ 68 Œ  # Por lo tanto, lim BÄ!



lim 2Ä!

a#  2 b #  % ! œ 2 !

Pw L lim 2Ä!

# a#  2 b œ % "

Por lo tanto,



lim BÄ!

$B  #B $ œ 68Œ  B #

lim 2Ä!

a#  2 b #  % œ% 2

È$  B  È$ B

œ

! !

" a$  Bb"Î# # P L lim " BÄ! w

œ

" lim B Ä ! # È$  B

œ

" È # $

Por lo tanto,

lim BÄ!

È$  B  È$ B

œ

" È # $

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B#  È#(B ! lim œ È ! B Ä $ B  $B

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" #B  a#(Bb"Î# a27b # Pw L lim B Ä $ "  " a$Bb"Î# a3b # #( # È#(B œ lim BÄ$ " $ # È$B #B 

#( ") œ $ " ' '

œ

)" *

œ*



BÈ B  + È + ! œ lim B Ä + ÈB  È+ !

" "Î# ÈB  B # Pw L lim " "Î# BÄ+ B # $È B # " # ÈB

œ

lim BÄ+

œ

lim $B BÄ+

œ $+

Por lo tanto,

BÈ B  + È + lim œ $+ B Ä + ÈB  È+

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Otras formas indeterminadas: a) ! † _ ß _  _ En estos casos se transforma la expresión a

! _ o y luego se aplica la regla de L'Hopital. ! _

Ejemplos: "Ñ

1 lim B † =/8Š ‹ œ _ † ! BÄ_ B lim BÄ_

Pw L

1 =/8Š ‹ B " B

lim BÄ_



œ

! !

1 1 -9=Š ‹ # B B "  # B

1 1 -9=Š ‹ B lim BÄ_ " œ1 Por lo tanto,

#)

1 lim B † =/8Š ‹ œ 1 BÄ_ B

lim a=/- B  >1 Bb œ _  _ 1 BÄ # " =/8 B lim Œ   1 -9= B -9= B BÄ # œ lim 1 BÄ #

"  =/8 B ! œ -9= B !

 -9=B Pw L lim 1  =/8B BÄ # œ! Por lo tanto, lim a=/- B  >1 Bb œ ! 1 BÄ #

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b) !! à _! à !_ à "_

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Para estos casos primero se debe hacer uso de la función logaritmo natural y recordar la propiedad 68 +8 œ 8 † 68 + Ejemplo " B "Ñ lim a"  Bb œ "_ BÄ! " B Sea C œ a"  Bb , entonces " B lim C œ lim a"  Bb BÄ! BÄ! " B C œ lim a"  Bb BÄ!

" B Por otro lado, si C œ a"  Bb , entonces aplicando la función logaritmo natural se tiene À " C œ a"  Bb B

Î 68

" 68 C œ 68 a"  Bb B 68 C œ 68C œ

" † 68a"  Bb B

68a"  Bb B

Ahora, se puede aplicar la función límite À lim 68 C œ lim BÄ! BÄ!

68 C œ Pw L lim BÄ!

68a"  Bb B

Ê

68C œ

" "B "

68 C œ " Pero, si 68 C œ " , entonces C œ / " B Por lo tanto, lim a"  Bb œ / BÄ!

218

! !

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Ejercicios Propuestos



lim BÄ!

(B  &B B



lim CÄ!

*  aC  $ b # C



lim BÄ!



È)B  B# lim B Ä # È#B  B



&È &  BÈ B lim B Ä & È&  ÈB

')

È&  ÈB  & B

lim a-9=/- B  -9>1 Bb BÄ1



1 lim B † >1Š ‹ BÄ_ B



" lim aB  "b ÐB  #Ñ BÄ#



$8 " % "  lim 8Ä_Œ 8

10Ñ

$8 #8  $ # lim 8 Ä _ Œ #8  " 

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lim BÄ!

7B  5B ( œ 68Œ  B &



lim CÄ!

*  aC  $ b # œ ' C



lim BÄ!



È)B  B# lim œ' B Ä # È#B  B



&È &  BÈ B lim œ "& B Ä & È&  ÈB



lim a-9=/- B  -9>1 Bb œ ! BÄ1



1 lim B † >1Š ‹ œ 1 BÄ_ B



" lim aB  "b ÐB  #Ñ œ / BÄ#



$8 " % % "  œ È/$ lim 8Ä_Œ 8

10Ñ

$8 #8  $ # œ / È/ lim 8 Ä _ Œ #8  " 

È&  ÈB  & B

œ 

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Solución:

" È # &

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Unidad Nº1:

Números Reales

1)

$B  "%  (B  #

2)

$B  % 

3)

'aB  "b#  a#B  %b a$B  #b  $a&B  #"b

4)

a#B  $b#  %B# aB  (b Ÿ %aB  #b$

5)

B" B&  B# B$

6)

B& B$ #B  "  Ÿ # B" B" B "

7)

a#B  $b a$B  &b  ! a"  %Bb

8)

¹

&B  " ¹( $

9)

¹

$B  % ¹Ÿ# &  *B

10)

¸#B  &¸  ¸(  "!B¸

B &B Ÿ # % #

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Unidad Nº2:

Geometría Analítica

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1)

Los vértices de un cuadrilátero son EÐ  %ß $Ñß FÐ"ß  "Ñß GÐ  #ß  $Ñ y HÐ%ß #Ñ. Calcular su perímetro.

2)

Determine el valor de B en EÐ"ß BÑ de modo que .ÐEß FÑ œ &, con FÐ  $ß "Ñ

3)

Determine la ecuación de la recta en su forma general, principal y de segmento que pasa por los puntos EÐ  &ß %Ñ y FÐ#ß  $Ñ

4)

Determine la ecuación de la recta que pasa por Ð"ß $Ñ y es: a) paralela con la recta P À B  %C  ( œ ! b) perpendicular con la recta &B  #C  " œ !

5)

Determine el valor de 5 en Ð5  "ÑB  #5C  " œ ! para que la recta: a) pase por el punto Ð"ß  "Ñ b) sea paralela a la recta P À %B  C  # œ ! c) sea perpendicular a la recta P À #B  $C  & œ !

6)

Los vértices de un triángulo son Ea#ß "bà F a  $ß $bà G a  "ß  %b Determinar: a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC

7)

Identifique la cónica, determine sus puntos representativos y gráfica de: a) #&B#  %C #  "&!B  )C  "#* œ ! b) C#  )B  'C  %* œ ! c) B#  C #  #B  'C  #' œ ! d) #&C#  "'B# œ %!!

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Unidad Nº3: 1)

Determine si existen, los siguientes límites: ' È'  B ÈB È'  ÈB

a)

lim BÄ'

b)

B$  ) lim B Ä # B#  %

c)

B" lim BÄ $ B$

d)

lim BÄ(

B#  &B  "% B(

e)

lim BÄ$

ÈB  È$ B$

f)

&  %B# lim B Ä  _ #B#  $

g)

2)

Límites y Continuidad

lim 0 ÐBÑ y lim 0 ÐBÑ si: BÄ( BÄ(

ÚB  "

ß B( 0 ÐBÑ œ Û ##  #B ß ( Ÿ B Ÿ "! Ü $B  " ß B  "!

Determine las asíntotas de:

a) 0 ÐBÑ œ

B& "B

b) 0 ÐBÑ œ

B#  B  " B#

c) 0 ÐBÑ œ

B$ B#  #B  $

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Analice la continuidad en:

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3)

Ú # Ý Ý B  &B  % ß B Á " "B a) 0 ÐBÑ œ Û Ý Ý $ ß Bœ" Ü Ú &  $B ß b) 0 ÐBÑ œ Û Ü %B  * ß Ú #B  "

c) 0 ÐBÑ œ Û "'  $B Ü &  %B

4)

BŸ# B#

ß !ŸBŸ$ ß $BŸ) ß )  B Ÿ "!

Determine el valor de 5 , + y , , según corresponda para que la función sea continua en todo su dominio: Ú Ý5  " ß B œ $ a) 0 ÐBÑ œ Û ÝB& Ü*B ß BÁ$ Ú #B  $5 ß B  & b) 0 ÐBÑ œ Û Ü B#  %5 ß B Ÿ & Ú +B  $

ß c) 0 ÐBÑ œ Û ,B  #+ ß Ü &B  (, ß

B % %ŸBŸ" B"

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1)

Derivadas

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Unidad Nº4:

Obtener la primera derivada de: " " a) 0 ÐBÑ œ B%  B$  B#  &B % $

b) 0 Ð>Ñ œ

a>#  $>b a(>  #>& b >$  #

& B#  #B c) C œ Ê B" d) 0 Ð>Ñ œ ˆ>&  &>%  >#  "‰

'

e) B# C  $B% œ B$  #C ' f) aBC $  $B# b  C œ B$  #C % %

g) C œ $B † 68ŠB$  ÈB#  # ‹ # h) 0 Ð>Ñ œ /Ð>  >Ñ † 691% a>$  >b

i) #BC  B œ 68 C † /%B j) aB  C bB œ C B k) 0 Ð>Ñ œ =/- # a>$  "b † >1a#  ># b l) C œ =/8& ˆ68$ ˆ$B%  %B# ‰‰ m) a-9= Bb=/8 C œ a>1 C b=/- B n) C œ aE1 >$ b  E#  /> b &

o) BE&  &>%  >#  "‰ ˆ&>%  #!>$  #>‰ .>

e)

.C $B#  "#B$  #BC œ .B B#  "#C &

f)

.C $B#  #%BaC $  $B# b œ .B "#C# aC $  $B# b$  "  )C $

g)

.C $B B # œ ˆ$B ‰a68 $bŠ68ŠB$  ÈB#  # ‹‹   $B  È #  $ # È .B B  B # B #

%

$

# Î Š/>  > ‹a691% /b a$>#  "b Ñ # .C Ó h) œ Œ/>  > a#>  "b ˆ691% ˆ>$  >‰‰  Ð $ .> >  > Ï Ò

a%b Š/%B ‹ a68 Cb  a#BC b a68 #b aCb  " .C i) œ .B /%B aBb a#BC b a68#b  C 68 C  68aB  C b 

B BC

j)

.C œ .B

k)

.C œ # =/- # ˆ>$  "‰ >1ˆ>$  "‰ >1ˆ#  ># ‰  =/- # ˆ>$  "‰ =/- # ˆ#  ># ‰ a  #>b .>

B B  BC C

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m)

.C a=/- Bba>1 Bb 68a>1 C b  a=/8 C b a>1 Bb œ .B a=/- Bb a=/- # C b a-9= C b 68a-9= Bb  >1 C

n)

.C $># #>  /> œ & ˆE1 >$ ‰% Œ  ' .> "> É "  a >#  / > b #

o)

2)

.C "#B$  )B œ &ˆ=/8% ˆ68$ ˆ$B%  %B# ‰‰‰ ˆ-9=ˆ68$ ˆ$B%  %B# ‰‰‰ ˆ$ 68# ˆ$B%  %B# ‰‰ Œ %  .B $B  %B#

.C œ .B

68 C E
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