Centres étrangers juin 2004

Classes de Terminales 9 et 10

Jeudi 1er octobre 2009 Devoir de spé maths n°1

Exercice 1 : vrai ou faux (on justifiera sa réponse, 8 points) Dans tout l’exercice, 𝑎 et 𝑏 désignent des entiers relatifs, 𝑛 un entier naturel 1. Si 8 divise 𝑎, alors 4 divise a. 2. Si 6 divise 𝑎𝑏, alors 6 divise 𝑎 ou 𝑏. 3. 6𝑛 et 8𝑛 ont le même nombre de diviseurs. 4. Si 𝑎 et 𝑏 ont le même reste dans la division par 𝑛, alors 𝑛 divise 𝑎 − 𝑏 Exercice 2 : d’après Liban juin 1999, 4 points Le nombre n est un entier relatif. On pose : a = 4n +3, b = 5n +2, d est un diviseur commun à a et b. 1. Calculer 5a −4b et en déduire les valeurs possibles de d. 2. Trouver une valeur de 𝑛 telle que 7 ne divise ni 𝑎 ni 𝑏. 3. Montrer que si le reste de la division euclidienne de 𝑛 par 7 est 1, alors 7 divise 𝑎 et 𝑏. Exercice 3 : d’après Centres étrangers, juin 2004, 8 points On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant : « Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? » Pour tout entier naturel 𝑝 ≥ 2, on pose 𝑁𝑝 = 1 … 1 où le chiffre 1 apparaît p fois. On rappelle dès lors que 𝑁𝑝 = 10𝑝−1 + 10𝑝−2 + ⋯ + 101 + 1. On pourra utiliser, dans tout l’exercice, l’identité valable pour tout réel 𝑥 et tout entier 𝑛 : 𝑥 𝑛 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑥 + 1) 1. Les nombres 𝑁2 = 11, 𝑁3 = 111, 𝑁4 = 1111 sont-ils premiers ? 10𝑝 −1

2. Prouver que 𝑁𝑝 = 9 . Peut-on être certain que 10𝑝 − 1 est divisible par 9 ? 3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors Np n’est pas premier. a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q, où q est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que 10𝑝 − 1 = (102 − 1)(102(𝑞−1) + 102(𝑞−2) + ⋯ + 1). En déduire que 𝑁𝑝 est divisible par 𝑁2 = 11. Les questions suivantes sont hors barème. b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q, où q est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que 𝑁𝑝 est divisible par 𝑁3 = 111. c. On suppose p non premier et on pose 𝑝 = 𝑘𝑞 où k et q sont des entiers naturels plus grands que 1. En déduire que 𝑁𝑝 est divisible par 𝑁𝑘 . 4. Énoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier. Cette condition est-elle suffisante ?