Ch 2 Triangles : construction et inégalité triangulaire Droites

Ch 2 Triangles : construction et inégalité triangulaire Droites remarquables

I/ Construction de triangles 1) Avec 3 longueurs Propriété : Pour qu’un triangle existe, il faut que la somme des longueurs des deux plus petits côtés soit plus grande que la longueur du plus grand côté. Méthode : - On trace d’abord le plus grand côté. Au compas, on trace un arc de cercle dont le centre est une extrémité du segment et dont le rayon correspond à la longueur du côté désiré. - On répète le procédé à l’autre extrémité du segment. - Le dernier sommet du triangle est à l’intersection de ces deux arcs de cercle. Ex : Construire le triangle 𝐷𝐸𝐹 tel que : - 𝐷𝐸 = 4,2cm - 𝐸𝐹 = 6,1cm - 𝐷𝐹 = 3,4cm

Rq : Grâce à cette méthode, on peut aussi reporter un angle à la règle et au compas. Pour cela, il suffit de considérer que cet angle fait partie d’un triangle.

2) Avec 2 longueurs et un angle Propriété : Pour construire un triangle dont on connaît deux longueurs et un angle, il faut que ces longueurs soient celles des côtés qui forment l’angle. Méthode : - On trace le plus grand côté. - On trace la demi-droite qui forme l’angle. - On place le dernier sommet sur cette demi-droite grâce à la deuxième longueur.

̂ = 36° Ex : Construire un triangle 𝐺𝐻𝐼 tel que 𝐺𝐻 = 4,1cm; 𝐺𝐼 = 3,2cm et 𝐻𝐺𝐼

3) Avec une longueur et 2 angles Méthode : - On trace le côté dont on connaît la longueur. - A chaque extrémité, on trace l’angle correspondant. - Le dernier sommet est le point d’intersection des deux demi-droites. Rq : Pour appliquer cette méthode, il faut connaître les mesures des angles aux extrémités du segment. Ex : Construire le triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que : - 𝐴𝐵 = 4,5cm ̂ = 70° - 𝐴𝐵𝐶 ̂ = 50° - 𝐵𝐴𝐶

II/ Triangles particuliers 1) Triangle rectangle Pour construire un triangle rectangle, il faut que l’on connaisse soit les longueurs de deux côtés, soit la longueur d’un des côtés à l’angle droit et la mesure de l’angle qui lui est associé. Ex : Construire un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴 tel que : - 𝐴𝐵 = 4cm - 𝐴𝐶 = 2,5cm

2) Triangle isocèle Pour condtruire un triangle isocèle, il faut connaître soit la base et un des côtés, soit la base et un des angles à la base, soit l’angle au sommet principal et la longueur d’un des côtés qui touchent cet angle. Ex : Construire le triangle 𝑅𝑆𝑇 isocèle en 𝑅 tel que : - 𝑅𝑆 = 4,2cm - 𝑆𝑇 = 5,1cm

3) Triangle équilatéral Pour construire un triangle équilatéral, on doit connaître la longueur d’un des côtés. Ex : Construire le triangle équilatéral 𝑀𝑁𝑃 tel que 𝑀𝑁 = 6cm

III/ Droites remarquables dans un triangle 1) Médiatrices Définition : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Propriété : La médiatrice d’un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Rq : La médiatrice d’un segment est un de ses axes de symétrie. Propriété : Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point 𝑂 appelé centre du cercle circonscrit au triangle. Rq : Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer deux médiatrices.

2) Médianes Définition : Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet (ou relative à un côté) est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

Propriété : Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point 𝐺 appelé centre de gravité du triangle. Rq : Pour construire le centre de gravité d’un triangle, il suffit de tracer deux médianes. 2

Propriété : Dans un triangle, le centre de gravité est situé aux 3 de chaque médiane.

3) Hauteurs Définition : Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Propriété : Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point 𝐻 appelé orthocentre.

Rq : Si le triangle possède un angle obtus, l’orthocentre est situé en-dehors du triangle. Il faudra alors prolonger certains côtés pour pouvoir tracer les hauteurs.

Rq : Pour construire l’orthocentre d’un triangle, il suffit de tracer deux hauteurs.

IV/ Triangles particuliers 1) Triangle rectangle Propriétés : Dans un triangle rectangle, - le sommet à l’angle droit est l’orthocentre. - le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. - La médiane issue du sommet à l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse.

2) Triangle isocèle Propriété : Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la médiane et la hauteur issue du sommet principal. Rq : Un triangle isocèle rectangle cumule les propriétés du triangle rectangle et du triangle isocèle.

3) Triangle équilatéral Propriété : Dans un triangle équilatéral, toute médiatrice est à la fois hauteur et médiane. Par conséquent, le centre du cercle circonscrit est aussi centre de gravité et orthocentre.