Chapitre 1 : Les nombres

~1~ Chapitre 1 : Les nombres A. Les entiers naturels 1. Définition Ce sont tous les nombres non-négatifs n’ayant pas de décimale. L’ensemble de ces nombres est dénoté par la lettre . = 0,1,2,3,...

B. Les entiers relatifs 1. Définition Ce sont tous les nombres n’ayant pas de décimale. Les chiffres peuvent être positifs ou négatifs. L’ensemble de ces nombres est dénoté par la lettre . = ...,3,2,1,0,1,2,3,...

2. L’addition et la soustraction d’entiers relatifs Avant d’additionner ou de soustraire les nombres, on simplifie l’expression afin qu’il n’y ait pas de signes de surplus. Si on voit deux négatifs qui se touchent, ils deviennent un positif. Exemple : 4 – (-2) = 4 + 2 = 6 Quelques trucs pour les additions et les soustractions : Positif + Positif = Positif Exemple : 6 + 3 = 8 Négatif + Négatif = Négatif Truc : on ignore le signe, on additionne, on remet le signe, c’est-à-dire qu’on trouve la somme et la réponse est négative. Exemple : -2 + -5 → 2 + 5 = 7 → -7 Positif + Négatif = Ça dépend Truc : on soustrait le petit du grand et on ajuste le signe en conséquence. Si le négatif est plus petit, la réponse est positive. Si le négatif est plus grand, la réponse est négative. Exemple : -4 + 6 → différence entre 4 et 6 est 2, le 6 est le chiffre le plus grand, il est positif dans le problème alors la réponse est positive Exemple : -9 + 3 → différence entre 9 et 3 est 6, le 9 est le chiffre le plus grand, il est négatif dans le problème alors la réponse est négative

~2~ La soustraction peut être traitée comme une addition puisqu’il existe plusieurs façons d’écrire la même chose. Si on voit le signe + à côté du –, on peut mettre un –. L’inverse est aussi vrai. Exemple : 3 + (-2) s’écrit aussi 3 – 2 3 – (+2) s’écrit 3 – 2 On peut aussi changer les chiffres de place (n’oublie pas d’apporter leurs signes avec eux) Exemple : -5 + 3 donne la même réponse que 3 + (-5) 7 + (-2) donne la même réponse que -2 + 7 6 – 5 donne la même réponse que -5 + 6 3. La multiplication et la division d’entiers relatifs Positif x Positif = Positif Négatif x Négatif = Positif Positif x Négatif = Négatif Négatif x Positif = Négatif Ou simplement, si les signes sont pareils la réponse est positive; si les signes sont différents, la réponse est négative. Les mêmes règles s’appliquent pour la division. Il existe plusieurs façons, en mathématiques, de démontrer la multiplication : - avec un x : 2x3 - avec une étoile : 2*3 - avec un point : 2∙3 - avec des parenthèses : 2(3) ou (2)3 ou (2)(3) souvent utilisé lorsqu’on travaille avec des variables - dans les termes avec variables (voir chapitre des polynômes) : 2m

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~5~ C. Les nombres rationnels 1. Définition Ce sont tous les nombres qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux nombres, en autres mots, une fraction. L’ensemble de ces nombres est dénoté par la lettre . Ils peuvent être positifs ou négatifs. Un nombre décimal qui peut être transformé en fraction est un nombre rationnel, mais un qui ne peut pas ne l’est pas. 1 donc 0,1 est un nombre rationnel 10 π = 3,14159265… n’est pas un nombre rationnel (il est un nombre irrationnel)

Exemple : 0,1 

Exemples de nombres rationnels sont encerclés: 1616

4, 5

3,18

2

25

4 7

2. Les fractions impropres et nombres fractionnaires Une fraction impropre est une fraction qui a une valeur qui est plus grande que 1 qui est sous a la forme où a>b. b Exemple :

4 14 , 3 6

Un nombre fractionnaire est une fraction qui a une valeur qui est plus grande que 1 qui est b sous la forme a . c 1 4 Exemple : 2 10 3 9 On ne peut pas avoir une fraction impropre et fractionnaire en même temps. On peut transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice versa. Exemple : 1 1 6 1 7 2 peut être changé à 2     3 3 3 3 3 ou on utilise le raccourci : 3 x 2 + 1 = 7 et on met cette réponse sur le dénominateur original qui donne

7 3

Exemple : De l’autre sens on divise 7 par 3. On peut mettre celui-ci 2 fois dans 7, donc notre entier est 2. La fraction est le reste de la division sur le dénominateur original.

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3. Les fractions et les décimales Une fraction et un nombre décimal sont deux façons d’écrire le même montant. Exemple : 1  0,5 Ces deux chiffres veulent dire la même chose. 2 Pour transformer une fraction en décimale, on divise le numérateur par le dénominateur. C’est pourquoi on écrit souvent une division sous forme de fraction. Exemple : ⅝ → 5 ÷ 8 = 0,625 Pour transformer un nombre décimal en fraction, on observe jusqu’à quelle place décimale est le chiffre. Le numérateur est les chiffres à la droite des zéros et le dénominateur est la place décimale. Exemple : 0,12  le chiffre se rend jusqu’au centième près, on ignore le premier zéro et on garde le 12. 12 La fraction est donc . 100 0,024  le chiffre se rend jusqu’au millième près, on ignore les deux premiers zéros et on 24 garde 24. La fraction est . 1000 4,9  le chiffre se rend jusqu’au dixième près, il n’y a pas de zéros à ignorer alors on garde 49 49. La fraction est . 10 4. Les fractions équivalentes Une fraction est dite équivalente à une autre si ceux-ci représentent la même valeur. Exemple : 1 2 3   2 4 6 Il faut faire attention aux signes négatifs. 

2 2 2   5 5 5

On sait si on a une fraction équivalente si : - leur nombre décimal est le même - si on peut simplifier une fraction pour qu’elle devienne l’autre Note : simplifier consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un commun multiple.

~7~ 5. Ordonner des nombres rationnels Lorsqu’on veut ordonner des nombres, il est utile d’avoir toute la même forme afin de comparer les nombres. 6. Additionner et soustraire des nombres rationnels Si les dénominateurs sont pareils, on additionne les numérateurs et les dénominateurs ne changent pas. Exemple : 2 + 5 = 7 10 10 10 Si les dénominateurs sont différents, on trouve des fractions équivalentes de façon à avoir des dénominateurs communs avant d’additionner. Exemple : 2 + 5 = 4 + 5 = 9 5 10 10 10

10

7. Multiplier des nombres rationnels On multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Exemple : 2 x 7 = 14 5 9

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8. Diviser des nombres rationnels On prend la réciproque de la deuxième fraction et on multiplie. Réciproque : on inverse le numérateur et le dénominateur. Exemple : 2 ÷ 7 = 2 x 9 = 18 5 9 5 7

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9. L’ordre des opérations On commence par faire toutes les multiplications et divisions. On fait les additions et soustractions en deuxième. PEDMAS – parenthèse, exposant, division, multiplication, addition, soustraction

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D. La racine carrée de nombres rationnels Le carré 32 = 3x3 = 9 Un carré de dimensions 3x3 a une aire de 9.

La racine carrée est l’inverse du carré. On commence avec l’aire et on détermine la longueur des côtés. Exemple :

9 3

Un carré parfait est un nombre qui, lorsqu’on prend la racine carrée, donne un entier. 1. Estimer des racines qui ne sont pas des carrés parfaits Exemple : 20 est entre les carrés parfaits 16 et 25 . En fait, cette racine est presque le point milieu de ces deux racines. On estime donc la racine de 20 à environ 4,5. 2. Les racines carrées de rationnels On peut représenter des carrés de rationnels comme ceci : Ce carré représente le carré de 2/3 2 2 4   3 3 9

4 2  9 3

Par conséquent, Règle :

a  b

a b

Avec des décimales, il est parfois utile de la transformer en fraction premièrement. Exemple :

0,25 

25 5 1   ou 0,5 100 10 2