Chapitre 11 – Loi binomiale Table des matières

TABLE DES MATIÈRES – page -1

Chapitre 11 – Loi binomiale

Chapitre 11 – Loi binomiale

Table des matières I

Exercices

I-1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1

3

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4

II Cours

II-1

1

Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

2

Schéma de Bernoulli, loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

3

Propriété des coefficients binomiaux, triangle de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2

4

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3

III Calculatrices et logiciels

III-1

1

Calcul d’un coefficient binomial à la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1

2

Calcul d’une probabilité ou d’une loi de probabilité à la calculatrice . . . . . . . . . . III-1

3

Utilisation de logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1

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I EXERCICES – page I-1

Chapitre 11 – Loi binomiale

I

Exercices

1 Un commercial sait par expérience que lorqu’il rend visite à un client, la probabilité d’obtenir une commande est p = 0, 4. Il rend successivement visite à 3 clients. On peut considérer ces visites comme indépendantes les unes des autres. Pour une visite, on note les évènements : S (succès) « le client prend une commande » ; S (échec) « le client ne prend pas de commande ». 1. 2. 3. 4.

Tracer un arbre pondéré représentant la situation des 3 visites successives. Calculer la probabilité que le commercial n’obtienne aucune commande. Même question pour 1, puis pour 2, puis pour 3 commandes. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de commandes. Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de X.

Quelques précisions de vocabulaire après ce premier exercice Une visite de ce commercial chez un client, est une expérience aléatoire qui a deux issues : une commande (succès) ou pas de commande (échec). On appelle cela une épreuve de Bernoulli 1 . Quand on répète cette épreuve plusieurs fois de manière identiques et indépendantes (3 fois dans l’exercice précédent), on dit qu’on a un schéma de Bernoulli. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi binomiale. Dans l’exercice précédent, il s’agissait d’une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 4.

2 Un footballeur tire successivement quatre penalties. Lorsqu’il tire un penalty, la probabilité de succès est p = 0, 75. On suppose que les quatre tirs successifs sont indépendants. Répondre aux questions 2, 3, 4 ci-dessous en arrondissant à 10−3 près, et pour la question 6, arrondir à 10−2 près. 1. Tracer un arbre pondéré représentant la sitP (X = k) uation des quatre penalties successifs. 0.4 2. Calculer la probabilité que ce footballeur ait trois succès. 0.3 3. Calculer la probabilité que ce footballeur 0.2 n’ait aucun succès. 4. Calculer la probabilité que ce footballeur ait au moins un succès. 5. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès. Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de X. Détailler les calculs de probabilité manquants.

0.1 0

0

1

2

3

4 X=k

6. Représenter graphiquement cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons. 1. Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse né en 1654, mort en 1705. Il posa les principes du calcul des probabilités.

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I EXERCICES – page I-2

Chapitre 11 – Loi binomiale

3

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Dans l’exercice précédent l’arbre pondéré est assez long à tracer, de plus le comptage du nombre de chemins réalisant par exemple 2 succès pour 4 répétitions a été assez long. Il faut donc en arriver à des formules de calculs. C’est le but de ce qui va suivre. Dans un arbre pondéré qui représente un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli, le nombre de chemins ! de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions s’appelle un coefficient binomial n . et il se note k Le tableau ci-dessous s’appelle triangle de Pascal 2 . 1. Compléter la ligne 1 qui correspond à un « mini-arbre » pour une seule épreuve de Bernoulli (succès / échec). 2. Compléter la ligne 2 qui correspond à un arbre pour deux épreuves successives de Bernoulli, identiques et indépendantes. 3. Compléter les lignes 3 et 4 à l’aide des exercices précédents. ! ! ! ! 5 5 5 5 , sans tracer d’arbre, en réfléchissant , et , , 4. Dans la ligne 5, on peut déterminer 5 4 1 0 un peu. ! 5 , voici des indications : 5. Pour 2 ! 5 est le nombre de chemins réalisant 2 succès pour 5 répétitions. 2 Parmi ces chemins il y a ceux qui commencent par un succès, et les autres qui commencent par un échec. Déterminer le nombre de chemins dans chaque cas et conclure. ! 5 . Indication : s’il y a 3 succès, il y a 2 échecs. 6. Déterminer 3 k n

0

1

2

3

4

5

1

1 = 0

1 = 1

2

2 = 0

2 = 1

2 = 2

3

3 = 0

3 = 1

3 = 2

3 = 3

4

4 = 0

4 = 1

4 = 2

4 = 3

4 = 4

5

5 = 0

5 = 1

5 = 2

5 = 3

5 = 4

! ! ! ! !

! ! ! ! !

! ! ! !

! ! !

! !

5 = 5 !

2. Blaise Pascal, né en 1623, mort en 1662, est un mathématicien, physicien et philosophe français.

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I EXERCICES – page I-3

Chapitre 11 – Loi binomiale

4 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est p = 0, 1. On effectue successivement 5 forages, que l’on peut considérer comme identiques et indépendants. Calculer la probabilité que deux forages conduisent à une nappe de pétrole. Détailler le calcul.

5 Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que 6 % des assiettes fabriquées présentent un défaut. On choisit au hasard 20 assiettes pour vérifier leur état. Calculer la probabilité que 3 assiettes comportent des défauts. Détailler le calcul.

6 Dans un fast-food, on considère que la probabilité d’avoir un steack haché invendable est de 4 %. Dans un lot de 300 steacks hachés, calculer la probabilité que 7 steaks soient invendables. Détailler le calcul.

7 En France, la probabilité qu’une personne ait de l’hypertension est p = 0, 3. On choisit dix personnes au hasard et de manière indépendante et on vérifie si elles ont de l’hypertension. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant de l’hypertension. 1. Compléter le tableau ci-dessous, qui donne la loi de probabilité de X. Arrondir à 10−4 près. 2. (a) Calculer l’espérance E(X). (b) Que signifie-t-elle ? (c) Pouvait-on s’attendre au résultat ? 3. (a) Sur la feuille suivante, tracer le diagramme bâtons qui représente cette loi de probabilité. Arrondir les probabilités à 10−2 près. (b) Où retrouve-t-on l’espérance E(X) sur ce diagramme bâtons ? X =k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P (X = k)

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I EXERCICES – page I-4

Chapitre 11 – Loi binomiale P (X = k) 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 X = k

8 Dans les transports en commun d’une ville il y a 9 % des voyageurs qui fraudent. Dans cette ville on contrôle 200 personnes. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes. On admet que X suit une loi binomiale. 1. Quels sont les paramètres n et p de cette loi binomiale ? 2. Après un grand nombre de jours de contrôles, quelle sera la moyenne de fraudeurs par jours ? 3. Il a 5 000 voyageurs par jour dans cette ville et le prix du ticket est 1,90 e. Quel doit être le prix de l’amende pour que, en moyenne et à long terme, la compagnie de transports ne perde pas d’argent avec les fraudeurs.

9 Un commercial dans un central d’appel contacte 60 clients par jour au téléphone et il sait que la probabilité qu’une personne lui passe une commande est de 2 %. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui lui passent une commande sur ces 60 personnes. 1. Quelle loi suit la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres. 2. Calculer l’espérance de X. 3. Indiquer la signification du résultat précédent. 1re S – Mathématiques

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II COURS – page II-1

Chapitre 11 – Loi binomiale

II

Cours

Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir – reconnaître des situations relevant de la loi binomiale ; – calculer une probabilité dans le ! loi binomiale. ! cadre de la ! n+1 n n ; = + – démontrer que k+1 k+1 k – représenter graphiquement la loi binomiale ; – utiliser l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.

1

Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues, l’une appelée succès S, l’autre échec S. • Si la probabilité de succès est p, la probabilité d’échec est alors 1 − p. • La loi de probabilité associée à cette épreuve, nommée loi de Bernoulli est donnée par le tableau suivant : Issue Succès S Échec S Probabilité p 1−p • On désigne l’épreuve et la loi précédentes par : épreuve de Bernoulli de paramètre p et loi de Bernoulli de paramètre p . Exemples d’épreuves de Bernoulli et leurs lois de Bernoulli Pile Face 1 1 Probabilité 2 2 • Des pièces fabriquées par une usine ont une probabilité d’être en état de marche de 97 %. Le succès est l’état de marche avec une probabilité de 0,97 et l’échec est la présence de défaut avec une probabilité de 0,03. Issue État de marche Défaut Probabilité 0,97 0,03 • On joue à pile ou face et on convient que pile est le succès et face l’échec.

Issue

Exemples d’expériences aléatoires qui ne sont pas des épreuves de Bernoulli Quand une expérience aléatoire a plus de deux issues, ce n’est pas une épreuve de Bernoulli, par exemple : • on lance un dé et on note le numéro obtenu (6 issues) ; • avant une élection, on interroge une personne au hasard et on lui demande si elle souhaite voter pour le candidat A, B, ou C (3 issues).

2

Schéma de Bernoulli, loi binomiale

Définition – Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Définition – Loi binomiale On considère un schéma de Bernoulli : on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre p. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi binomiale de paramètres n et p.

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II COURS – page II-2

Chapitre 11 – Loi binomiale

Définition – Coefficient binomial On représente un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli à l’aide d’un arbre. Pour tout entier k compris entre 0 et n, le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n ! n et est appelé coefficient binomial. répétitions se note k Propriété – Formule générale de la loi binomiale. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de ! paramètres n et p, n k p (1 − p)n−k alors pour tout entier k entre 0 et n, P (X = k) = k

3

Propriété des coefficients binomiaux, triangle de Pascal. !

n d’un schéma de Bernoulli et de sa loi binomiale, Pour déterminer les coefficients binomiaux k lorsque le nombre n de répétitions est 2, 3 ou 4, on trace un arbre et on dénombre le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions. Lorsque n est supérieur ou égal à 5, cette méthode est trop fastidieuse et des propriétés de calcul sont nécessaires, ces propriétés sont énoncées ci-dessous. Propriété !

n =1 0

Pour tout entier naturel n > 1, Démonstration !

n est le nombre de chemins de l’arbre réalisant 0 succès pour n Pour tout entier naturel n > 1, 0 répétitions, ! c’est à dire aucun succès pour n répétitions, or il n’y a qu’un seul chemin qui réalise cela, n =1. donc 0 Propriété – Symétrie des coefficients binomiaux. !

n n = n−k k

Pour tout entier naturel n > 1 et pour tout entier k compris entre 0 et n,

!

Démonstration En effet, le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions est égal au nombre de chemins réalisant k échecs pour n répétitions, or, quand il y k échecs, il y a n − k succès, donc le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions est égal au nombre de chemins réalisant n − k succès pour n répétitions. Propriété Pour tout entier naturel n > 1 et pour tout entier k compris entre 0 et n,

n+1 n n = + k+1 k+1 k !

!

!

Démonstration n+1 est le nombre de chemins réalisant k + 1 Une épreuve de Bernoulli est répétée n + 1 fois et k+1 succès pour n + 1 répétitions. !

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II COURS – page II-3

Chapitre 11 – Loi binomiale

Parmi ces chemins il y a ceux qui commencent par un succès, et les autres qui commencent par un échec. ! n . Ceux qui commencent par un succès sont suivis par k succès pour n répétitions, il y en a donc k Ceux qui ! commencent par un échec sont suivis par k + 1 succès pour n répétitions, il y en a donc n . k+1 n n n+1 + = On a donc bien : k+1 k k+1 !

!

!

k Triangle de Pascal

n

Le triangle de Pascal est le tableau ci-contre, qui donne ! n . Il peut être les valeurs des coefficients binomiaux k agrandi à l’infini pour des valeurs de n supérieures à 4.

4

1 2 3 4

0

1

2

3

4

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6

1 4

1

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale.

Propriété Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale deq paramètres n et p, alors : E(X) = np V (X) = np(1 − p) σ(X) = np(1 − p)

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Chapitre 11 – Loi binomiale

III 1

III CALCULATRICES ET LOGICIELS – page III-1

Calculatrices et logiciels Calcul ! d’un coefficient binomial à la calculatrice

Exemple :

6 = 15 2

Avec la TI 82 :

6 math ← 3 (Combinaison) 2 entrer

Avec la TI 89 :

HOME 2ND [MATH]

Dans les menus, choisir Avec une CASIO :

7:Probability, puis

3:nCr

Affichage :

6 Combinaison 2

Compléter ainsi : nCr(6,2)

OPTN F6 F3 (PROB) 6 F3 (nCr) 2 EXE

✂ ................................................................................................

2

Calcul d’une probabilité ou d’une loi de probabilité à la calculatrice

Avec la TI 82 • Calculer une probabilité, par exemple calculer P(X = 2) pour une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 3. 2nde [distrib] 0 puis compléter ainsi : binomFdp(10,0.3,2) puis entrer • Afficher le tableau d’une loi binomiale, de paramètres n = 10 et p = 0, 3. f (x) puis compléter ainsi \Y1=binomFdp(10,0.3,X) Appuyer sur 2nde [déf table] et vérifier qu’on a bien : DébTable=0 PasTable=1 et Valeurs et Calculs réglés sur Auto Utiliser ensuite 2nde [table] pour lire le tableau. Avec une calculatrice CASIO Ces calculatrices donnent directement la loi de probabilité dans un tableau. MENU choisir STAT, puis appuyer sur F5 (DIST) F5 (BINM) F1 (BPd) Compléter alors l’écran ainsi : devant Numtrial : saisir n, et devant P : saisir p.

3

Utilisation de logiciels

Dans le tableur de LibreOffice : =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;0) (remplacer k par une référence de cellule, remplacer n et p par leurs valeurs). Dans GeoGebra : dans la ligne de saisie Binomiale[n,p] (remplacer n et p par leurs valeurs).

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