Chapitre 11

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 11 – Probabilité Conditionnement et indépendance

I.

Probabilité conditionnelle

1- Exemple Dans un lycée contenant N élèves, 45% des élèves sont des filles, 55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70% externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes. On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du lycée, on note le résultat obtenu qui peut être "fille interne", "fille externe", "garçon interne" ou "garçon externe". On peut représenter cette situation par le graphique ci-contre, appelé arbre pondéré. Remarquez que la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1. Ceci est vrai quelque soit l’arbre pondéré. Cette loi est connue sous le nom de loi des nœuds. Le chemin -0.45↔ F −0.7↔ E r ep r é se nt e l ’é vé n e me n t " la f ic h e t ir ée e st cel le d ’u n e fi ll e e x ter ne" . O n l e no te l’ é vé ne me nt F∩E Calculons la probabilité de cet événement : Si N est la population totale des élèves, le nombre de filles est 0.45×N et puisque parmi elles, 70% sont externes, le nombre de filles externes est 0.70×0.45×N. Ainsi, parmi les N élèves, 0.70×0.45×N sont des filles externes donc en supposant l’équiprobabilité (du fait que le tirage se fait au nb de filles externes 0.70×0.45×N = =0.45×0.70 hasard), P( F∩E)= N nb total d′élèves Notons que cette probabilité est le produit des nombres inscrits sur chaque branche du chemin. Interprétons les nombres sur chaque branche : Le nombre inscrit sur la branche -0.45↔ F est la probabilité que la fiche soit celle d’une fille, donc P( F)=0.45 Le nombre inscrit sur la branche F −0.7↔ E est la probabilité d’obtenir la fiche d’un élève externe sachant que c’est une fille.. Cette probabilité se note PF ( E) et se lit "probabilité de E sachant F". P( F∩E) On a donc P( F∩E)=P( F)×PF ( E) et donc PF ( E)= P( F) 2- Probabilité de B sachant A Définition : Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est le nombre noté PA ( B) et défini par PA ( B)=

Conséquences sur la probabilité d’une intersection : Soit A et B deux événements de probabilités non nulles :

P( A∩B) P( A) Illustration sur des arbres pondérés : Le chemin en trait plein représente l’événement A∩B. La probabilité de ce chemin cad de cet événement est le produit de ses branches : P( A∩B)= PA ( B)P( A)

P( A∩B)= PA ( B)P( A)= PB ( A)P( B) Le chemin en trait plein représente aussi l’événement A∩B. La probabilité de ce chemin cad de cet événement est le produit de ses branches : P( A∩B)= PB ( A)P( B)

Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance

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Remarques : Soit A et B deux événements. A de probabilité non nulle. Alors Ò)=1− PA ( B) et P (B Ò )=1− P ( B). • PA (B Ò A

• •

Ò A

PA ( A)=1 Si A et B sont incompatibles alors PA ( B)=0

3- Formule de probabilités totales (a) Cas particulier Soit A un événement de probabilité non nulle. Ò ∩B Alors, pour tout événement B, B étant l’union des événements incompatibles A∩B et A on a : Ò ∩B ) P( B)= P( A∩B)+ P ( A Ò) = PA ( B)P( A)+ PAÒ ( B)P (A

P ( A ∩B )

Ò ∩B ) P(A

(b) Généralisation Définition : Dire que les événements A1, A2, …, An forment un système complet de Ω ou une partition de Ω signifie que les événements Ai sont non vides, incompatibles deux à deux (┐ i, ┐j, Ai ∩Aj =Ø) et que leur réunion est Ω ( A1∟A2∟…∟An =Ω ) . Théorème : Formule des probabilités totales Soit A1, A2, …, An une partition de Ω. Alors pour tout événement B, B étant la réunion des événements incompatibles B∩A1, B∩A2, …, B∩An , P( B)= P (B∩A1)+ P (B∩A2)+…P ( B∩An ) = PA ( B)P (A1)+ PA ( B)P (A2)+…+ PA ( B)P ( An ) 1

II. 1.

2

n

Indépendance Indépendance de deux événements.

Définition : On dit que deux événement A et B sont indépendants lorsque P( A∩B)=P( A)×P( B). Cela revient à dire, si P( A) ý 0, que PA ( B)=P( B) et si P( B)ý0 que PB ( A)=P( A)) Remarque : La seconde formulation rend plus naturelle la définition : il parait normal de considérer comme "indépendants", au sens intuitif du terme, deux événements A et B dès lors que la réalisation de B ne dépend pas de celle de A (et inversement). Ò et B le sont aussi, ainsi que A et B Ò et que A Ò et B Ò. Propriété : Si deux événements A et B sont indépendants alors A 2.

Indépendance de deux variables aléatoires

Définition : Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω. Deux variables aléatoires sur Ω, X et Y sont dites indépendantes lorsque pour toute valeur x prise par X et pour toute valeur y prise par Y : P( X=x et Y=y)=P( X=x)×P( Y=y)

III.

Modélisation d’expériences indépendantes

1- Expériences indépendantes. Il est fréquent qu’une expérience aléatoire E consiste à enchainer plusieurs expériences E1 , E2, …, En . Si chacune d’elles se déroule dans des conditions qui ne dépendent pas des résultats des autres épreuves, on dit en langage courant que ces épreuves Ek sont indépendantes. Dans ce cas, un résultat de E est la donnée d’une n−liste ordonnée donnant les résultats obtenus aux épreuves E1, E2, …, En . En accord avec les règles de fonctionnement des arbres pondérés, on modélise l’expérience aléatoire E en définissant la probabilité d’une liste de résultats comme le produit des probabilités de chacun de ces résultats.

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Un exemple : On considère l’expérience aléatoire E qui consiste à enchainer les trois expériences suivantes : E1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée; les issues de l’expérience sont notés P et F. E2 : On tire au hasard un jeton dans une urne qui contient 5 jetons dont 3 numérotés "1" et 2 numérotés "4"; les issues de l’expérience seront notés J1 et J4 E3 : On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et 1 boule verte; les issues de l’expérience seront notés R et V. Lorsque l’on effectue successivement les trois expériences E1, E2, E3, l’issue de l’une quelconque des trois expériences ne dépend pas de l’issue des autres expériences; ces expériences sont donc indépendantes. L’arbre ci-contre indique toutes les listes de résultats possibles pour E : (on "pondère" les branches de l’arbre en adoptant pour chaque expérience E1, E2, E3, le modèle de la loi équirépartie et en 3 appliquant l’indépendance des expériences (ainsi par exemple PF (J1)=P (J1)= ). 5 1 3 1 La probabilité d’obtenir la liste ( P,J1,V ) est le produit des probabilités des événements P, J1 et V cad × × . 2 5 3 2- Cas particuliers où les expériences répétées sont identiques et indépendantes. Il s’agit du cas particulier où les expériences E1, E2, …, En sont les répétitions d’une même épreuve. Un exemple : tirages successifs avec remise. Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne puis on tire à nouveau une boule de l’urne. Le fait que la première boule tirée soit remise entre les deux tirages rend ces tirages identiques et indépendants. L’arbre cicontre indique les listes de résultats possibles : On considère l’événement S :"obtenir une boule rouge exactement". S est réalisé par les listes (evts élémentaires) ( R,V), (R,N), ( V,R) et ( N,R) donc la probabilité d’un événement étant la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent, P( S)=P(( R,V))+ P(( R,N))+ P(( V,R))+P(( N,R)). Or la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun des 4 3 4 2 3 4 résultats donc P(( R,V))= × ; P(( R,N))= × ; P(( V,R))= × ; 9 9 9 9 9 9 2 4 4 2 3 4 2 4 40 P(( N,R))= × . D’où P( S)= × + × + × = . 9 9 9 9 9 9 9 9 81 On effectue maintenant n tirages successifs avec remise ( nà 2). Ces tirages sont donc identiques et indépendants. Calculons la probabilité pn pour qu’au moins une des boules soit rouges : Notons An l’événement :"au moins une des boules est rouge". L’événement contraire est An : "aucune des boules n’est rouge" Ò, R Ò,…, R Ò ). cad que An n’est composé que de l’événement élémentaire (R n

Les tirages étant identiques et indépendants, P

n

( A ) = 59  d’où p =P (A )=1−P ( A ) =1− 59  . n

n

n

n

Déterminons le plus petit entier n tel que pn à 0.99 : n

n

n

n

pn à 0.99ñ1− 5  à 0.99ñ– 5  à -0.01ñ 5  Â0.01ñln 5   ln0.01 (car la fct ln est strictement croissante sur IR+*)

9 9 9 9 ln0.01 ln0.01 5 5 ñ nln Âln0.01 ñ nà (car ln 