Chapitre 12 Espaces probabilisés

Chapitre 12 Espaces probabilisés 12.1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités 12.1.1 L’univers On considère une expérience aléatoire ( = expérience dont le résultat ne peut pas être prédit ou calculé à l’avance). On désigne par Ω l’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire. Ω est appelé univers ou encore espace des possibles, espace des réalisations ou espace des observations. Les éléments ω ∈ Ω sont appelés observations ou réalisations de l’expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé à 6 faces : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = 1, 6 . Un élément ω ∈ Ω est un chiffre entre 1 et 6 qui représente le chiffre obtenu en lançant le dé. Exemple : On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} × {1; 2; 3; 4; 5; 6} = 1, 6 2. Un élément ω ∈ Ω est un couple (ω1 , ω2 ) où ω1 représente le chiffre obtenue avec le premier dé, et ω2 le chiffre obtenu avec le second. Exemple : On lance 1 fois une pièce : Ω = {P, F } ou Ω = {0, 1} avec la convention que « 1 » représente « pile », et « 0 » représente « face ». Exemple : Soit n ∈ N∗ . On lance n fois une pièce : Ω = {P, F }n ou Ω = {0, 1}n avec la convention que « 1 » représente « pile », et « 0 » représente « face ». Un élément ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des résultats obtenus aux n lancers. Par exemple pour 6 lancers, on peut avoir ω = (P, P, F, P, F, P ) qui se note aussi ω = (1, 1, 0, 1, 0, 1). Exemple : On lance une infinité de fois une pièce : Ω = {P, F }N ou Ω = {0, 1}N . Un élément ω = (ωn )n∈N ∈ Ω est une suite réelle qui représente la liste des résultats obtenus aux lancers, le terme de rang n (ie ωn ) représentant le résultat du n-ième lancer. Par exemple n’obtenir que des « pile » se note ω = (1, 1, 1, . . .). Exemple : Soit (n, N ) ∈ N2 .

• On effectue n tirages successifs avec remise d’une boule, dans une urne de N boules : Ω = 1, N n . Ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés. Par exemple ω = (6, 2, 2, 6, 4, 3, 5) pour 7 tirages avec remise dans une urne de 6 boules. 219

CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS

220

• On effectue n tirages successifs sans remise d’une boule, dans une urne de N boules (dans ce cas n ≤ N ) : Ω = ensemble des arrangements de n éléments de 1, N = ensemble des n-uplets ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ 1, N n dont les composantes sont deux à deux distinctes. Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω est un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.

Par exemple ω = (6, 2, 3) pour 3 tirages sans remise dans une urne de 10 boules.

• On effectue 1 tirage de n boules prises simultanément dans une urne de N boules (dans ce cas n ≤ N ) : Ω = ensemble des combinaisons de n éléments de 1, N = ensemble des parties ω = {ω1 , . . . , ωn } ⊆ 1, N . Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les N boules de 1 à N ; un élément ω = {ω1 , . . . , ωn } ∈ Ω est une partie qui représente les numéros tirés. Par exemple ω = {6, 2, 3} pour 1 tirage de 3 boules prises simultanément dans une urne de 10 boules.

Exemple : On mélange une jeu de n cartes : Ω = {ω : 1, n −→ 1, n / ω bijective }. Ceci sousentend qu’on a numéroté les cartes de 1 à n en fonction de leur position initiale. Pour la carte numéro i , l’entier ome g a(i ) représente sa position après le mélange ω.

12.1.2 Évènements Intuitivement, un évènement A est défini par une phrase qui peut être vraie ou fausse selon le résultat de l’expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé à 6 faces : Ω = 1, 6 . A = « obtenir un 6 » donne la partie de Ω :

A = {6}

B = « obtenir un nombre pair » donne la partie de Ω :

B = {2; 4; 6}

Exemple : On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω = 1, 6 2. A = « obtenir un double 6 » donne la partie de Ω :

A = {(6, 6)}

B = « obtenir un double » donne la partie de Ω : B = {(i , i )/ i ∈ 1, 6 } = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}

C = « obtenir au moins un 6 » donne la partie de Ω : C = {(i , 6)/ i ∈ 1, 6 } ∪ {(6, j )/ j ∈ 1, 6 } = {(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)} Exemple : On mélange un jeu de n cartes : Ω = {ω : 1, n −→ 1, n / ω bijective }.

A = « la première carte se retrouve dans la première moitié du paquet » donne la partie de Ω : A = ω : 1, n −→ 1, n bijective ω(1) = n2

Pour i ∈ 1, r fixé, B i = « la carte numéro i n’a pas changé de place » donne la partie de Ω : B = ω : 1, n −→ 1, n bijective ω(i ) = i

On voit sur ces exemples qu’un évènement A est nécessairement une partie de Ω, ie que A ∈ P (Ω). Si on note F l’ensemble de tous les évènements qu’on peut associer à l’expérience aléatoire, alors F ⊆ P (Ω). Une question vient naturellement : a-t-on l’égalité F = P (Ω) ? Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS

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• Si Ω est fini : oui, dans ce cas on peut prendre F = P (Ω), ie que toute partie de Ω peut être considérée comme un évènement dont on pourra calculer la probabilité. • Si Ω est infini : dans certains cas on aura F � P (Ω), ie que certaines parties de Ω ne peuvent pas être considérées comme des évènements et on ne pourra pas calculer leur probabilité. Dans ce dernier cas, F ne sera pas précisée, par souci de simplicité. La seule chose à savoir sera que F représente l’ensemble de toutes les parties de Ω qui sont des évènements, ie dont on peut calculer la probabilité. Vocabulaire : • On dit que l’observation ω ∈ Ω réalise l’évènement A lorsque ω ∈ A. Inversement, si ω ∉ A, on dit que l’observation ω ne réalise pas A. • L’évènement est appelé évènement impossible. • L’évènement Ω est appelé évènement certain. Il est clair qu’aucune observation ne réalise l’évènement impossible , et que toutes les observations réalisent l’évènement certain Ω.

Définition 12.1 Évènements élémentaires On appelle évènements élémentaires les singletons de Ω, ie les évènements de la forme {ω} avec ω ∈ Ω. Une remarque importante : tout évènement A est réunion d’évènements élémentaires. En effet, on a : A= {ω} ω∈A

12.1.3 Opérations sur les évènements Définition 12.2 Opérations sur les évènements

Soient A et B deux évènement, c’est-à-dire (A, B) ∈ F 2 .

1. Contraire. L’évènement ∁Ω A = A est appelé contraire de A. Pour tout ω ∈ Ω : ω ∈ A ⇐⇒ ω ∉ A Autrement dit : A est réalisé ⇐⇒ A n’est pas réalisé

2. Union. Pour tout ω ∈ Ω : ω ∈ A ∪ B ⇐⇒ ω ∈ A ou ω ∈ B Autrement dit : A ∪ B est réalisé ⇐⇒ A est réalisé ou B est réalisé

3. Intersection. Pour tout ω ∈ Ω : ω ∈ A ∩ B ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∈ B Autrement dit : A ∩ B est réalisé ⇐⇒ A est réalisé et B est réalisé

4. Différence. Pour tout ω ∈ Ω : ω ∈ A\B ⇐⇒ ω ∈ A et ω ∉ B Autrement dit : A\B est réalisé ⇐⇒ A est réalisé et B n’est pas réalisé 5. Implication. A ⊆ B signifie que, pour tout ω ∈ Ω : ω ∈ A =⇒ ω ∈ B Autrement dit : A est réalisé =⇒ B est réalisé

On peut aussi remarquer que la différence symétrique A∆B permet de définir un « ou » exclusif. Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS

222 Rappels : Si A, B et C sont des évènements : A⊆B A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C ) A ∪B = B ∪ A A∪ = A A ∪Ω = Ω A ∪B = A ∩B

A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C ) A ∩B = B ∩ A A∩ = A ∩Ω = A A ∩B = A ∪B

Généralisation pour (A i )i ∈I famille d’évènements : i ∈I

Ai =

B∩

i ∈I

Ai i ∈I

i ∈I

Ai =

i ∈I

(B ∩ A i )

Ai =

B∪

i ∈I

Ai i ∈I

Ai =

i ∈I

(B ∪ A i )

Définition 12.3 Évènements incompatibles Deux évènements A et B sont dits incompatibles lorsqu’ils sont disjoints, ie lorsque A ∩ B = . Intuitivement, A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simultanément. Exemple : Lorsqu’on lance un dé à 6 faces les évènements A = « obtenir un chiffre pair » et B = « obtenir un chiffre impair » sont incompatibles.

12.1.4 La tribu des évènements On va préciser la nature de l’ensemble F qui est composé de tous les évènements qu’on peut associer à l’expérience aléatoire.

Définition 12.4 Tribu d’évènements Soit F une collection de parties de Ω, ie F ⊆ P (Ω). On dit que F est une tribu d’évènements lorsque : (i) Ω ∈ F ; (ii) F est stable par passage au complémentaire : ∀A ∈ F ,

A ∈F

(ii) F est stable par union dénombrable : ∀(A n )n∈N ∈ F N ,

+∞ n=0

An ∈ F

Précisons quelques notations : • F N désigne l’ensemble des suites d’évènements, donc (A n )n∈N ∈ F N signifie simplement que A n ∈ F pour tout n ∈ N. •

+∞

n=0

A n est égal à

An . n∈N

Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

12.1. VOCABULAIRE ET AXIOMATIQUE DES PROBABILITÉS

223

Théorème 12.5 Propriétés d’une tribu d’évènements Soit F une tribu d’évènements. Alors : (iv) ∈ F ; (v) F est stable par union finie : ∀n ∈ N∗ , ∀(A 1 , . . . , A n ) ∈ F n ,

n k=1

Ak ∈ F

(vi) F est stable par intersection dénombrable : ∀(A n )n∈N ∈ F N ,

+∞ n=0

An ∈ F

(vii) F est stable par intersection finie : ∀n ∈ N∗ , ∀(A 1 , . . . , A n ) ∈ F n ,

n k=1

Ak ∈ F

Exemple : Pour tout univers Ω, on a les tribus { , Ω} et P (Ω). En pratique si Ω est fini ou dénombrable (ie en bijection avec N), on choisira F = P (Ω). Dans les autres cas (par exemple Ω = R), on ne précisera pas la tribu F par souci de simplicité.

Définition 12.6 Espace probabilisable Un espace probabilisable est un couple (Ω, F ) où Ω est l’univers et F est la tribu des évènements.

12.1.5 Système complet d’évènements On se donne un espace probabilisable (Ω, F ).

Définition 12.7 Système complet d’évènements Soit (A i )i ∈I une famille d’évènements de Ω. On dit que (A i )i ∈I est un système complet d’évènements ( = s.c.e.) lorsque : (i) les (A i )i ∈I sont deux à deux incompatibles : ∀(i , j ) ∈ I 2, (ii) i ∈I

i = j =⇒ A i ∩ A j =

Ai = Ω

(iii) ∀i ∈ I ,

Ai =

Intuitivement, un s.c.e. correspond à une disjonction des cas, suivant le résultat de l’expérience aléatoire. Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

CHAPITRE 12. ESPACES PROBABILISÉS

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Exemple : On lance deux dés à 6 faces. On définit les évènements A = « obtenir deux chiffres pairs », B = « obtenir deux chiffres impairs » et C = « obtenir un chiffre pair et un chiffre impair ». Alors (A, B,C ) est un s.c.e.. Exemple : Si A ∈ F tel que A =

et A = Ω, alors A, A s.c.e..

Exemple : On lance une infinité de fois une pièce de monnaie. On note P ∞ = « on obtient une infinité de piles », et pour n ∈ N, P n = « on on obtient exactement n piles ». Alors la famille (P ∞ , P 0 , P 1 , P 2 , . . . , P n , . . . ) est un s.c.e.. Remarquez que sur cet exemple, on a une famille composée d’un infinité d’évènements.

Proposition 12.8 Décomposition d’un évènement sur un s.c.e. Tout évènement se décompose sur un s.c.e. (A i )i ∈I en une union d’évènements deux à deux incompatibles : ∀B ∈ F , B = (B ∩ A i ) i ∈I

et les B ∩ A i

i ∈I

sont deux à deux incompatibles.

12.2 Probabilité sur un espace probabilisable 12.2.1 Probabilités Définition 12.9 Probabilité Soit (Ω, F ) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω, F ) toute application P : F −→ [0, 1] telle que : (i) P(Ω) = 1 ; (ii) P est σ-additive : ∀(A n )n∈N ∈ F N ,

les (A n )n∈N sont 2 à 2 incompatibles =⇒ P

+∞ n=0

An =

+∞

P(A n )

n=0

Si A est un évènement, alors le réel P(A) est appelé probabilité de l’évènement A. Dans le point (i i ), il est sous-entendu que : si les (A n )n∈N sont deux à deux incompatibles, P(A n ) converge. alors la série n∈N

Le σ devant la propriété de σ-additivité signifie qu’on prend une famille dénombrable, et qu’on obtient la somme d’une série.

Définition 12.10 Espace probabilisé Un espace probabilisé est un triplet (Ω, F , P) où Ω est l’univers, F est la tribu des évènements et P est une probabilité définie sur F . Arnaud Bégyn, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/

12.2. PROBABILITÉ SUR UN ESPACE PROBABILISABLE

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Théorème 12.11 Propriétés d’une probabilité Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé. Alors : (iii) P( ) = 0 ; (iv) P est additive : ∀n ∈ N∗ , ∀(A 1 , . . . , A n ) ∈ F n , les (A k )k∈

n

n 1,n

2 à 2 incompatibles =⇒ P

k=1

Ak =

P(A k ) k=1

On se donne deux évènements A et B : (v) P A = 1 − P(A) ; (vi) P(A\B) = P(A) − P(A ∩ B) et donc si B ⊆ A, alors P(A\B) = P(A) − P(B) ; (vii) si A ⊆ B, alors P(A) ≤ P(B) ; (viii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Dans le cas d’une union finie d’évènements, avec un nombre quelconque de termes, et sans hypothèse d’incompatibilité, on a les deux résultats suivants.

Théorème 12.12 Inégalité de Boole Soit n ∈ N∗ . Pour tout famille finie (A 1 , . . . , A n ) ∈ F n , on a : n

n

P k=1

Ak ≤

P(A k ) k=1

Mais la plupart du temps le membre de droite est supérieur à 1, ce n’est pas très intéressant en pratique. On peut aussi utiliser la formule exacte suivante, mais les calculs sont lourds.

Théorème 12.13 Formule du crible Soit n ∈ N∗ . Pour tout famille finie (A 1 , . . . , A n ) ∈ F n , on a : n

n

P k=1

Ak =

k=1

(−1)k−1 1≤i 1