Chapitre 12 - Les maths en ECS2 à La Bruyère

ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014

Chapitre 12 :

CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS EN PROBABILITÉS

1 Convergence en probabilité 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 2

2 Convergence en loi 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème de la limite centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3

3 Approximations 3.1 Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5 6

2 – Convergences et approximations en probabilités

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Dans ce chapitre, on s’intéresse à la notion de convergence d’une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires réelles, toutes définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P). On dégage dans les deux premiers paragraphes deux notions différentes de convergence avec à la clé dans les deux cas un théorème fondamental de la théorie des probabilités. Dans le troisième paragraphe, on applique ces théorèmes à des problèmes d’approximation. Dans tout le chapitre, (Ω, A, P) désigne un espace de probabilité. 1. Convergence en probabilité 1.1 Définition Définition 1.1 Soient (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, A, P) et X une variable aléatoire sur le même espace. P On dit que (Xn )n∈N converge en probabilité vers X, et l’on note Xn −−−→ X, si : n→∞

∀ε > 0,

lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞

Remarque 1.2 On parle également de convergence stochastique.

1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème 1.3 (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire réelle, discrète ou à densité. Si X est positive et admet une espérance, alors : E(X) . ∀ε > 0, P(X > ε) 6 ε Corollaire 1.4 Soit X une variable aléatoire réelle, discrète ou à densité. Si X admet un moment d’ordre 2, alors : E(X2 ) . ∀ε > 0, P(|X| > ε) 6 ε2 Théorème 1.5 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Soit X une variable aléatoire réelle, discrète ou à densité. Si X admet une variance, alors :
V(X) ∀ε > 0, P |X − E(X)| > ε 6 . ε2 Exemple 1.6 On considère un dé cubique équilibré. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de lancers qu’il suffit d’effectuer pour pouvoir affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 5% que la fréquence d’apparition de l’as est voisine de 61 à la précision 0,01.

1.3 Loi faible des grands nombres Théorème 1.7 (Loi faible des grands nombres) Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, A, P), discrètes ou à densité, mutuellement indépendantes, admettant une même espérance m et une même variance σ 2 . On a : X1 + · · · + Xn P Xn = −−−→ m. n→∞ n Plus précisément,
σ2 ∀ε > 0, ∀n ∈ N∗ , P |Xn − m| > ε 6 2 . nε

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Convergences et approximations en probabilités – 3

Remarques 1.8 • Dans l’énoncé précédent, on peut affaiblir l’hypothèse Xn , n ∈ N∗ , mutuellement indépendantes en Xn , n ∈ N∗ , deux-à-deux indépendantes ou même deux-à-deux non corrélées. • Le théorème précédent porte le nom de loi faible des grands nombres car il existe un résultat bien plus précis : on peut montrer (mais cela est bien plus difficile !) que si les variables aléatoires Xn (toujours supposées indépendantes) suivent une même loi et admettent une espérance m, alors Yn converge presque sûrement vers la variable certaine égale à m. Corollaire 1.9 (Théorème d’or de Bernoulli) Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p. La suite de variables aléatoires de terme général X1 + · · · + Xn Xn = , n ∈ N∗ , n converge en probabilité vers la variable certaine égale à p. Plus précisément,
1 ∀ε > 0, ∀n ∈ N∗ , P |Xn − p| > ε 6 . 4nε2 Remarques 1.10 • Il en résulte que la fréquence statistique de réalisation d’un événement tend vers la probabilité de cet événement. • On notera que le majorant dans la dernière inégalité ne dépend pas de p.

2. Convergence en loi 2.1 Définition Définition 2.1 Soient (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, A, P) et X une variable aléatoire sur le même espace. On note FXn (resp. FX ) la fonction de répartition de la variable aléatoire de Xn , n ∈ N (resp. de X). L On dit que la suite (Xn )n∈N converge en loi vers X, et l’on note Xn −−−→ X, si en tout point x ∈ R de n→∞ continuité de FX , on a : lim FXn (x) = FX (x). n→∞

Remarque 2.2 • L’hypothèse de continuité de FX est toujours satisfaite lorsque la variable X est à densité. • Dans le cas d’une variable aléatoire discrète à valeurs entières, la situation est tout autre, et la définition peut être reformulée comme indiqué ci-dessous. Proposition 2.3 Lorsque les variables aléatoires Xn , n ∈ N, et X sont à valeurs dans Z, la convergence en loi de (Xn )n∈N vers X équivaut à : ∀x ∈ Z,

lim P(Xn = x) = P(X = x).

n→∞

Exemple 2.4 Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈ N∗ , Xn suit une loi uniforme sur l’ensemble {k/n}06k6n . Montrer que la suite (Xn )n∈N∗ converge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Remarque 2.5 L’exemple précédent montre qu’une suite de variables aléatoires discrètes peut converger en loi vers une variable aléatoire à densité.

2.2 Théorème de la limite centrée Théorème 2.6 Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi, admettant une espérance m et une variance σ 2 (σ > 0).

4 – Convergences et approximations en probabilités

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La variable aléatoire centrée réduite associée à Sn = X1 + · · · + Xn : √ Sn − nm n ∗ √ (Xn − m) Sn = = σ σ n converge en loi lorsque n → ∞ vers (une variable aléatoire suivant) la loi normale N (0, 1). En d’autres termes, pour tous réels a < b, ˆ b 1 2 ∗ lim P(a < Sn 6 b) = √ e−t /2 dt. n→∞ 2π a Remarque 2.7 Outre les approximations qui en découlent (cf. paragraphe suivant), le théorème de la limite centrée a plusieurs interprétations théoriques. Tout d’abord, il précise les fluctuations de Xn = Sn /n autour de sa limite m (la loi faible des grands nombres énonce une convergence en probabilité, la loi forte donnerait une convergence presque sûre) : Xn − m suit approximativement une loi normale N (0, σ 2 /n) lorsque n est assez grand. • Par ailleurs, le théorème exprime le fait qu’une somme d’un grand nombre de variables indépendantes, de même loi et admettant une variance a une distribution à peu près gaussienne. La loi des erreurs généralise ce fait à une somme de petites variables indépendantes dont aucune n’est prépondérante. C’est en raison de cette universalité que les variables aléatoires intervenant en modélisation sont souvent supposées suivre des lois normales. On peut illustrer ce fait par l’exemple du tireur à la carabine.

•

−2

2

2

1

1

0

0

−1

1

2

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

2

La figure ci-dessus représente n = 100 réalisations de couples (Xk , Yk ), 1 6 k 6 n, de variables gaussiennes centrées indépendantes, de variances σ 2 = 1 puis σ 2 = 0,4. Elle correspond bien aux résultats obtenus à un tir à la carabine sur une cible, ce qu’on peut expliquer ainsi : si (Xk , Yk ) sont les coordonnées du k-ième tir, Xk et Yk sont des sommes de petites variables indépendantes (erreur de visée, tremblement, défaut de concentration, recul, perturbation par un élément extérieur comme un contrejour ou un cri, . . . ). D’après la loi des erreurs, il est donc raisonnable de supposer que (Xk , Yk ) est un couple de variables gaussiennes. De plus, l’indépendance des tirs est exprimée par le fait que les couples (Xk , Yk ) sont indépendants entre eux. Enfin, l’écart-type de ces gaussiennes mesure l’adresse du tireur : plus il est petit et plus le tireur est adroit.

3. Approximations 3.1 Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale Théorème 3.1 Soient n ∈ N∗ , p ∈ ]0, 1[ rationnel, p = a/b avec a, b ∈ N∗ . On considère une suite (Xk )k∈N de variables aléatoires où, pour tout k ∈ N, Xk suit une loi hypergéométrique H(kb, n, p).

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Convergences et approximations en probabilités – 5

On a :

  n j ∀j ∈ J0, nK , lim P(Xk = j) = p (1 − p)n−j k→∞ j et la suite (Xk )k∈N converge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi binomiale B(n, p).

Remarques 3.2 • Dans l’énoncé précédent, la restriction du premier paramètre à des entiers du type N = kb s’explique par le fait que le premier paramètre N d’une loi hypergéométrique H(N, n, p) doit être multiple de p. • En pratique, on considère que l’approximation d’une loi hypergéométrique H(N, n, p) par la loi binomiale B(n, p) est satisfaisante dès que N > 10n. • Si Xk représente le nombre de boules blanches obtenues lors de n tirages successifs sans remise dans une urne contenant initialement N = kb boules dont Np = ka boules blanches (épreuve-type associée à une loi hypergéométrique), le théorème précédent signifie que lorsque N devient grand, le résultat est voisin de celui obtenu lors de tirages avec remise : la possibilité de tirer une boule remise dans l’urne après un précédent tirage n’influe pas beaucoup sur le résultat.

3.2 Approximations de la loi binomiale On est souvent amené à travailler sur des lois binomiales. Il en existe des tables numériques, usuellement pour n 6 50 et 0 6 p 6 0,5. Pour les valeurs de n supérieures, on envisage deux méthodes. Si n est grand alors que p est petit (cas des événements rares), on utilise l’approximation par la loi de Poisson décrite ci-dessous. Théorème 3.3 Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈ N∗ , Xn suit une loi binomiale B(n, pn ). Si npn admet une limite finie λ > 0 lorsque n → ∞ (en particulier lorsque pn = λ/n), alors λk n→∞ k! et la suite (Xn )n∈N converge en loi vers (une variable alétoire suivant) la loi de Poisson P(λ). ∀k ∈ N,

lim P(Xn = k) = e−λ

Remarque 3.4 En pratique, on considère que l’approximation d’une loi binomiale B(n, p) par une loi de Poisson P(np) est satisfaisante si n > 30, p 6 0,1 et np 6 15. Exemple 3.5 Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(40; 0,03). Comparer la valeur approchée de P(X = 2) obtenue par approximation par une loi de Poisson avec la valeur exacte. Si n est grand alors que p reste fixe, on utilise l’approximation normale décrite ci-dessous. Théorème 3.6 Soient p ∈ ]0, 1[, q = 1 − p et (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈ N∗ , Xn suit une loi binomiale B(n, p). La suite des variables aléatoires centrées réduites de terme général Xn − np X∗n = √ , n ∈ N, npq converge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi normale centrée réduite N (0, 1). Remarque 3.7 Soit q = 1 − p. En pratique, on considère que l’approximation d’une loi binomiale B(n, p) par une loi normale N (np, npq) est satisfaisante si n > 30, np > 5 et nq > 5. Exemple 3.8 Reprendre l’exemple 1.6 en utilisant une approximation gaussienne de la loi binomiale.

6 – Convergences et approximations en probabilités

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Remarque 3.9 Le résultat précédent conduit à approcher une loi discrète par une loi continue. On effectue donc souvent une correction de continuité en approchant P(B = k) par P(k − 0,5 < N < k + 0,5) où B suit une loi binomiale et N suit la loi normale appropriée.

3.3 Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale Théorème 3.10 Soient α > 0 et (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈ N∗ , Xn suit une loi de Poisson P(nα). La suite des variables aléatoires centrées réduites de terme général Xn − nα X∗n = √ , n ∈ N, nα converge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi normale centrée réduite N (0, 1). Remarques 3.11 • En pratique, on considère que l’approximation d’une loi de Poisson P(λ) par une loi normale N (λ, λ) est satisfaisante dès que λ > 18. • Il s’agit ici encore d’approcher une loi discrète par une loi continue, et il pourra donc être intéressant d’effectuer une correction de continuité. Exemple 3.12 Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(16). Comparer les valeurs approchées de P(X = 16) et P(X > 20) obtenues par approximation gaussienne avec correction de continuité aux valeurs exactes.