Chapitre 12 : Probabilités élémentaires

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilités élémentaires

Chapitre 12 Probabilités élémentaires F. Delacroix, École des Mines de Douai, 9 février 2011

Introduction Présentation et objectifs La théorie des probabilités a été développée pour « mesurer » les « chances » qu’a un « événement » dû au « hasard » de se réaliser. Elle a été axiomatisée par Kolmogorov et repose entre autres sur les théories mathématiques des ensembles, de la mesure, de l’intégration, des séries, sur l’analyse combinatoire et se trouve à la base de la statistique inférentielle (cours de 1ère année à l’École des mines de Douai). Dans ce chapitre on s’attache essentiellement à formaliser les notions, nécessaires à la mathématique des probabilités, d’ensemble fondamental, d’événement, de mesure de probabilité, de probabilité conditionnelle, d’indépendance. On démontre également des résultats élémentaires relatifs à ces notions, tout ceci servant notamment de préalable indispensable à l’étude des variables aléatoires dans les chapitres ultérieurs. Beaucoup des concepts présentés dans ce chapitre recoupent, à un niveau un peu plus théorique, ceux vus dans le cours de statistique descriptive. Prérequis: Chapitre 7 Ensembles et applications (SUP) Probabilités (terminale) Dénombrement (terminale) Suites: Chapitres 13, 14, 15 Statistique inductive (1ère année) Mécaniques classique, quantique et relativiste Chimie Optimisation Mathématiques financières et sciences « molles » Informatique et sciences de l’information

1 1.1

Ensemble fondamental, événement Définitions

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat ne peut être connu à l’avance de manière certaine, pour quelque raison que ce soit (problème de modélisation, de calculabilité, impossibilité théorique, test destructif. . .). 1

Chapitre 12

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Définition 1 On appelle ensemble fondamental (parfois : univers) l’ensemble Ω des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Si Ω est fini ou dénombrable, il est dit discret. Notation Le cardinal d’un ensemble fini A sera noté |A| (au lieu de la notation usuelle Card A). ♠ Donner des exemples d’expériences aléatoires en précisant l’ensemble fondamental. Préciser notamment si l’ensemble fondamental est fini, dénombrable ou infini non dénombrable. ♠ Qu’est-ce qu’un ensemble dénombrable ? ♠ Si E est un ensemble, que désigne la notation P(E) ? Montrer que si E est fini, |P(E)| = 2|E| . Expliciter P(∅). ♠ Montrer que quel que soit l’ensemble E, il n’existe aucune surjection de P(E) sur E. On raisonnera par l’absurde en supposant qu’il existe une telle surjection f et en considérant un antécédent a de A = {x ∈ E, x ∈ / f (x)} (discuter de l’appartenance de a à A). Concrètement, ce résultat signifie qu’il y a toujours strictement plus d’éléments dans P(E) que dans E. L’ensemble P(N) est-il dénombrable ? La définition 2 suivante peut être qualifiée de «technique». La notion de tribu est indispensable à la cohérence de l’exposé mais est peu utile dans la pratique. Elle permet d’éviter les ensembles trop irréguliers (comme des fractales dans le cas de la tribu borélienne) et consacre l’importance de la fonction de répartition d’une variable aléatoire (cf. chapitre suivant). Définition 2 Soit Ω un ensemble. On appelle tribu sur Ω tout ensemble T de parties de Ω tel que (1) ∀A ∈ T ,

A∈T,

(2) Ω ∈ T , (3) pour toute suite (An )n∈N de T la réunion

[

An appartient encore à T .

n∈N

Le couple (Ω, T ) est appelé espace probabilisable. Les éléments de T sont les événements de Ω et T est la tribu des événements. ♠ Les conditions (1) et (3) s’appellent respectivement stabilité par passage au complémentaire et stabilité par réunion dénombrable. En utilisant les lois de Morgan, montrer que l’on peut remplacer (3) par la stabilité par intersection dénombrable. ♠ Montrer que si T est une tribu sur Ω, ∅ ∈ T . ♠ Montrer que T = P(Ω) est un choix possible. Lorsque Ω est discret, on fait toujours le choix de la tribu T = P(Ω), appelée tribu totale. Lorsque Ω n’est pas discret, l’ensemble P(Ω) est trop grand (problèmes de mesurabilité pour les ensembles comme les fractales) et on est amené à considérer des tribus 2

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plus réduites et plus fonctionnelles. On prend (presque) toujours le choix de la tribu borelienne, celle dont les éléments sont les réunions ou intersections finies ou dénombrables d’intervalles de R. ♠ Montrer que tout intervalle [a, b] (ou [a, b[, ou ]a, b[, ou ]a, b[) est réunion ou intersection dénombrable d’intervalles du type ] − ∞, α[ avec α ∈ R. Plus généralement, si Ω est un K-espace vectoriel normé (K = R ou C), on appelle tribu borelienne de Ω la tribu dont les événements sont les réunions et intersections finies ou dénombrables des boules de E. ♠ Vérifier que l’on définit bien ainsi une tribu sur Ω. Montrer qu’elle contient tous les ouverts et tous les fermés de E. Définition 3 Si Ω est discret, les singletons {ω} sont appelés événements élémentaires.

1.2

Opérations sur les événements

Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. Rappelons un résultat que nous avons déjà rencontré : Proposition 1 Les opérations ensemblistes de complémentation, réunion dénombrable et intersection dénombrable s’étendent aux événements. ♠ Si I est un ensemble quelconque et si (Ai )i∈I est une famille de parties de Ω, que désignent les notations [

Ai

et

i∈I

\

Ai

?

i∈I

Décrire ces ensembles à l’aide des quantificateurs ∀ et ∃. ♠ Si (An )n∈N est une suite de parties de Ω, que désignent les notations ∞ [ n=0

An

et

∞ \

An

?

n=0

Définition 4 L’événement ∅ est appelé événement impossible ; l’événement Ω est appelé événement certain. Si A et B sont deux événements, on appelle – négation de A l’événement A (lu « non A »), – conjonction de A et B l’événement A ∩ B (lu « A et B »), – disjonction de A et B l’événement A ∪ B (lu « A ou B »). Les événements A et B sont dits incompatibles si leur conjonction est impossible : A ∩ B = ∅. 3

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♠ Montrer que, parmi les parties de Ω, les opérations ∩ et ∪ sont associatives et distributives l’une par rapport à l’autre : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Généraliser à des réunions et intersections quelconques. ♠ Rappeler l’expression générale des lois de Morgan et les démontrer.

2

Axiomes des probabilités

2.1

Approche expérimentale

On cherche à définir la probabilité qu’a un événement E de se produire. S’il s’agit d’une expérience aléatoire reproductible à volonté, l’approche statisticienne consiste à poser Nn (E) n où Nn (E) est le nombre de fois que se produit l’événement E au cours des n premiers essais. P (E) = n→∞ lim

♠ Formuler cette définition à l’aide du vocabulaire de la statistique descriptive. Parmi les problèmes posés par cette « définition », citons le fait que rien ne garantit l’existence de cette limite (on verra qu’elle existe « presque sûrement ») et qu’elle ne peut pas s’appliquer aux événements non reproductibles à volonté (tremblements de terre, etc.).

2.2

Approche axiomatique

Définition 5 Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. Une mesure de probabilité (ou, plus simplement : probabilité) sur (Ω, T ) est la donnée d’une application P : T −−−→[0, 1] telle que (1) P (Ω) = 1, (2) Si (An )n∈N est une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors P

∞ [

!

An =

n=0

∞ X

P (An )

n=0

(en particulier cette série converge). Pour un événement A, le nombre P (A) s’appelle la probabilité de l’événement A. Le triplet (Ω, T , P ) est appelé espace probabilisé. La propriété (2) s’appelle la σ-additivité. Attention à ne pas oublier, dans la vérification de ces propriétés en pratique, le fait que la probabilité de tout événement est un nombre compris entre 0 et 1. On a la proposition élémentaire suivante : 4

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Proposition 2 (1) P (∅) = 0, (2) si A1 , . . . , An sont des événements deux à deux incompatibles, alors P

n [

!

Ak =

k=1

n X

P (Ak ).

k=0

♠ Démontrer cette proposition à partir de la définition 5 en choisissant bien les événements « manquants ».

3

Quelques théorèmes élémentaires Soit (Ω, T , P ) un espace probabilisé.

3.1

Propriétés immédiates

Proposition 3 Soient A et B deux événements. On a (1) P (A) = 1 − P (A) ; (2) si A ⊂ B alors P (A) 6 P (B) ; (3) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). ♠ Démontrer cette proposition en introduisant des partitions des événements considérés et en appliquant la proposition 2. ♠ Montrer que, pour trois événements A, B et C, on a P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C). Conjecturer un résultat pour la probabilité de la disjonction de n événements et le démontrer par récurrence sur n. Proposition 4 Si Ω est discret, une mesure de probabilité est entièrement déterminée par la donnée des probabilités des événements élémentaires. ♠ Invoquer l’incompatibilité des événements élémentaires distincts et la proposition 2 pour démontrer cette proposition. Attention, ce dernier résultat est toujours faux si Ω est infini non dénombrable.

3.2

Un théorème limite 5

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Définition 6 (1) Une suite d’événements (An )n∈N est dite croissante si ∀n ∈ N,

An ⊂ An+1 .

Dans ce cas, la limite de la suite (An ), notée lim An est la réunion n→∞

∞ [

An .

n=0

(2) Une suite d’événements (An )n∈N est dite décroissante si ∀n ∈ N,

An ⊃ An+1 .

Dans ce cas, la limite de la suite (An ), notée lim An est l’intersection n→∞

∞ \

An .

n=0

(3) Une suite d’événements est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Attention, cette notion de limite n’est définie que pour des suites monotones d’événements. On ne peut pas définir la limite d’une suite quelconque de cette manière (il existe les notions de limites inductive et projective, mais celles-ci dépassent le cadre de ce cours).

♠ Illustrer ces définitions à l’aide de diagrammes de Venn 1 . ♠ Montrer que si (An )n∈N est une suite croissante, la suite (An )n∈N est décroissante.

Théorème 5 Si (An )n∈N est une suite monotone d’événements, alors 

P

3.3



lim An = lim P (An ).

n→∞

n→∞

Cas d’équiprobabilité

On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamental Ω est fini de cardinal N . Définition 7 L’hypothèse d’équiprobabilité consiste en l’affirmation que tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

1. également appelés «diagrammes en patates»

6

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Proposition 6 Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, on a 1 N |A| # cas favorables P (A) = = |Ω| # cas possibles

∀ω ∈ Ω, ∀A ⊂ Ω,

P ({ω}) =

♠ Démontrer cette proposition à l’aide de la proposition 2. ♠ On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 3 ? Un nombre pair ? L’as ou le 6 ?

4

Probabilités conditionnelles On considère un espace probabilisé (Ω, T , P ).

4.1

Définitions

Un événement E de l’ensemble Ω peut être lui aussi considéré comme ensemble fondamental (réduit) pour ses sous-événements. On munit alors E de la tribu induite, notée TE , définie par TE = {F ∩ E, F ∈ T }. ♠ Vérifier que TE est bien une tribu sur E. ♠ Qu’est-ce que TE lorsque Ω est discret ? Notation Pour tout événement F de Ω, on note F |E (« F sachant E ») l’événement F ∩ E considéré comme événement de E (i.e. élément de la tribu induite TE ), en «oubliant» Ω. On observera bien que F |E n’est en aucun cas un événement de Ω, et que d’ailleurs cette notion n’est pas symétrique vis-à-vis de E et F (contrairement à F ∩ E). Définition 8 Soient E un événement tel que P (E) 6= 0. Pour tout événement F de Ω, on appelle probabilité de F sachant E (ou parfois : probabilité de F relativement à E, ou conditionnée à E) le nombre P (F |E) =

P (F ∩ E) . P (E)

7

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Théorème 7 En notant P (.|E) l’application TE → R ainsi définie, le triplet (E, TE , P (.|E)) est un espace probabilisé. ♠ Démontrer ce théorème. En particulier, il faut vérifier que l’application P (.|E) est bien définie sur TE et satisfait aux trois axiomes de la définition 5. ♠ On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile ? Proposer deux solutions, l’une par dénombrement des cas favorables, l’autre utilisant les probabilités conditionnelles. ♠ Une urne contient 10 boules blanches, 5 jaunes et 10 noires. Une boule tirée au hasard n’est pas noire. Quelle est la probabilité qu’elle soit jaune ?

4.2

Propriétés

Proposition 8 Si E et F sont deux événements tels que P (F ) 6= 0, on a P (E ∩ F ) = P (E|F )P (F ).

Cette proposition est une simple réécriture de la définition 8 et se généralise à n événements : Proposition 9 (Règle de la multiplication) Soient E1 , E2 , . . . , En des événements tels que les probabilités P (E1 ), P (E1 ∩ E2 ),. . ., P (E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En−1 ) soient non nulles. Alors P (E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En ) = P (E1 )P (E2 |E1 )P (E3 |E1 ∩ E2 ) . . . P (En |E1 ∩ . . . ∩ En−1 ).

♠ Démontrer cette égalité en simplifiant le second membre via la définition 8. ♠ On divise aléatoirement un paquet de 52 cartes en 4 paquets de 13 cartes. Quelle est la probabilité que les quatre as soient séparés ? Proposition 10 (Formule des probabilités totales) Soient E1 , E2 , . . . , En des événements de probabilités non nulles formant une partition de l’ensemble fondamental Ω. Alors, pour tout événement A, on a P (A) =

n X

P (A|Ek )P (Ek ).

k=1

Intuitivement, la probabilité d’un événement A se « décompose » selon chaque éventualité de la réalisation de chaque Ek .

8

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♠ Démontrer cette proposition en construisant une partition de l’événement A. ♠ Proposer et démontrer une généralisation à une partition de Ω en une infinité dénombrable d’événements. ♠ Une compagnie d’assurance répartit la population en un groupe à risque (30% de la population) et un groupe non à risque. Les statistiques montrent qu’en moyenne un individu à risque a 40% de « chances » d’avoir un accident dans l’année, et que cette probabilité tombe à 20% pour un individu non à risque. Quelle est la probabilité qu’un nouvel adhérent ait un accident dans l’année ?

4.3

Formule de Bayes

Théorème 11 (Formule de Bayes) Soient E1 , . . . , En des événements de probabilité non nulle formant une partition de Ω. Alors pour tout événement A de probabilité non nulle et tout j ∈ {1, . . . , n}, on a P (A|Ej )P (Ej ) . P (Ej |A) = X n P (A|Ek )P (Ek ) k=1

♠ Démontrer ce théorème. ♠ Suite de l’exemple précédent : un nouvel adhérent a un accident dans l’année qui suit son adhésion. Quelle est la probabilité qu’il soit un individu à risque ? ♠ Un inspecteur chargé d’enquête est convaincu à 60% de la culpabilité d’un suspect. Un élément nouveau dans l’enquête lui apprend que le coupable est gaucher. Sachant que 10% de la population est gauchère et que le suspect est gaucher, à quelle valeur passe le degré de certitude de l’inspecteur ?

5

Événements indépendants

5.1

Deux événements

On a vu qu’un renseignement extérieur (la réalisation d’un événement) influe en général sur le calcul de la probabilité d’un événement. Il se peut cependant que ce ne soit pas le cas. Définition 9 Deux événements E et F sont dits indépendants si P (E ∩ F ) = P (E)P (F ). Dans le cas contraire, ils sont dits dépendants.

9

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Proposition 12 Si E et F sont deux événements tels que P (E) 6= 0, alors (E et F sont indépendants) ⇐⇒





P (F |E) = P (F ) .

Autrement dit, savoir que E est réalisé n’influe pas sur les chances qu’a F de se réaliser. On attire l’attention du lecteur sur le fait qu’il s’agit d’une indépendance stochastique et non causale (elle ne porte pas de renseignement sur l’existence ou non de ce qu’on pourrait appeler une « relation de cause à effet » entre E et F ). ♠ On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Les événements « la carte est un as » et « la carte est un carreau » sont-ils indépendants ? Le restent-ils si on a retiré le roi de trèfle du jeu auparavant ? Si on a retiré tous les rois ? Proposition 13 Si E et F sont deux événements indépendants, alors E et F sont eux aussi indépendants. ♠ Démontrer ce théorème en considérant une partition de Ω bien choisie. ♠ Y a-t-il un lien entre incompatibilité et indépendance ? Lequel ? Attention à ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants. Une règle d’or : usez de votre intuition (si elle existe. . .), mais méfiez-vous en.

5.2

Plusieurs événements

♠ On jette deux dés équilibrés et l’on considère les événements E :« la somme est 7 », F :« le premier dé est 4 », G :« le deuxième dé est 3 ». Montrer que les événements E, F, G sont deux à deux indépendants. Les événements E et F ∩ G sont-ils indépendants ? Définition 10 n événements E1 , . . . , En sont dits totalement indépendants (ou parfois : mutuellement indépendants) si pour tout r ∈ {2, . . . , n} et tout multi-indice (i1 , . . . , ir ) vérifiant 1 6 i1 < i2 < · · · < ir 6 n, on a P (Ei1 ∩ Ei2 ∩ . . . ∩ Eir ) = P (Ei1 )P (Ei2 ) . . . P (Eir ) ♠ Expliciter ces conditions pour trois événements. ♠ Dénombrer le nombre de relations ainsi obtenues en fonction de n et vérifier la compatibilité de la formule avec les cas n = 2 et n = 3 précédemment explicités. Définition 11 Un ensemble infini d’événements est totalement indépendant si tous ses sousensembles finis sont constitués d’événements totalement indépendants.

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♠ Un système parallèle constitué de n composants indépendants fonctionne si et seulement si l’un au moins des composants fonctionne. La probabilité de fonctionnement du k ème composant est notée pk . Quelle est la probabilité de fonctionnement du système ? Lorsque les événements sont le résultat d’une expérience aléatoire répétée, tous les essais étant mutuellement indépendants, on parle d’épreuves aléatoires indépendantes.

5.3

Indépendance conditionnelle

Définition 12 Soit E un événement de probabilité non nulle. Deux événements F1 et F2 sont dits conditionnellement indépendants selon E si les événements (de E) F1 |E et F2 |E sont indépendants, c’est-à-dire si P (F1 ∩ F2 |E) = P (F1 |E)P (F2 |E).

♠ On tire une carte d’un jeu de 52 cartes duquel on a retiré l’as de trèfle. Montrer que les événements « la carte est un as » et « la carte est un carreau » sont indépendants selon l’événement « la carte n’est ni un pique, ni un trèfle ». ♠ Généraliser cette définition à n, puis une infinité, d’événements.

6

Exercices Les exercices 1, 2 et 3 sont à préparer.

Exercice 1 1. Soient I un ensemble fini ou dénombrable, (Di )i∈I une famille d’événements deux à deux incompatibles et de probabilité non nulle, et C un événement tel qu’il existe p ∈ [0, 1] tel que ∀i ∈ I, P (C|Di ) = p. Montrer que P

! [ C Di

= p.

i∈I

2. Soient (Ei )i∈I une partition de l’ensemble fondamental Ω (I étant toujours un ensemble fini ou dénombrable) et C, D deux événements. Montrer que P (C|D) =

X

P (Ei |D)P (C|Ei ∩ D).

i∈I

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Exercice 2 Jean, Pierre et Luc sont des chasseurs d’adresse différente : Jean, le meilleur des trois, touche son gibier 7 fois sur 10, Pierre 5 fois sur 10 et Luc (myope et malchanceux) 1 fois sur 10. Ces trois chasseurs partent ensemble et tirent ensemble sur le même lapin. Déterminer les probabilités des événements suivants : A B C D

: « Le lapin est touché » : « Le lapin est touché mais Luc l’a raté » : « Luc est le seul à avoir touché le lapin » : « Le lapin est touché sachant que Luc l’a raté »

Exercice 3 Quelle est la probabilité que, dans une classe de 39 élèves, deux élèves au moins aient leur anniversaire le même jour (raisonner avec des années de 365 jours) ? Commenter le résultat obtenu. Exercice 4 Soit un entier n > 2. On considère l’espace probabilisé Ω = {1, . . . , n} muni de la tribu totale et de l’équiprobabilité. 1. Pour tout q diviseur de n ; on note Aq l’ensemble des multiples de q contenus dans Ω. Calculer P (Aq ). 2. Soient p1 , p2 , . . . , pk les diviseurs premiers (distincts) de n. Montrer que les événements Ap1 , Ap2 , . . . , Apk sont mutuellement indépendants. 3. Soit Bn l’ensemble des entiers i premiers avec n compris entre 1 et n. Montrer que |Bn | = n

k Y i=1

!

1 1− . pi

4. Application : pour p entier compris entre 7 et 10, calculer |Bp! |. Exercice 5 On sait que 5% des pièces produites par une certaine machine sont défectueuses. On a installé un mécanisme de contrôle, mais celui-ci n’est pas parfait : – si une pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 96%, – si une pièce est mauvaise, elle est refusée avec une probabilité de 98%. Déterminer la probabilité des événements suivants : A : « Il y a une erreur dans le contrôle » B : « Une pièce est bonne sachant qu’elle est refusée » C : « Une pièce est mauvaise sachant qu’elle est acceptée »

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Exercice 6 Un test médical fiable à 95% permet, en principe, de diagnostiquer une maladie. 0, 5% de la population étant atteinte de cette maladie, quelle est la probabilité pour qu’un personne ayant un test positif ait réellement cette maladie ? Exercice 7 1. Soient A, B, C trois événements. Montrer que P (A ∩ B ∩ C) > 1 − P (A) − P (B) − P (C). 2. Soient α ∈ [0, 21 ] et A, B, C, D quatre événements deux à deux incompatibles tels que 1 − α. 2 Les événements A ∪ B, A ∪ C, A ∪ D sont-ils deux à deux indépendants ? mutuellement indépendants ? P (A) = P (D) = α

et

P (B) = P (C) =

Exercice 8 On tire 3 boules au hasard et simultanément d’une urne qui en contient n (n > 3). Les boules étant numérotées de 1 à n, caluler, pour tout k ∈ {1, . . . , n} la probabilité de Ak :

« le plus petit numéro tiré est k »

Bk :

« le plus grand numéro tiré est k. »

Exercice 9 On répartit au hasard r boules dans n urnes, les boules et les urnes étant différenciées. 1. Quelle est la probabilité d’une répartition donnée ? 2. Quelle est la probabilité qu’une urne au moins soit vide ? 3. On suppose que r = n. Quelle est la probabilité qu’aucune urne ne soit vide ? En déduire que n X

(−1)k Cnk (n − k)n = n!

k=0

Exercice 10 Une loterie contient 1 000 billets dont 2 sont gagnants. Combien de billets faut-il acheter au minimum pour que la probabilité de gagner au moins un lot soit supérieure à 0, 5 ? Exercice 11 Un sac contient 3 pièces de monnaie équilibrées dont une a deux côtés face. On tire une pièce au hasard et on effectue des lancers de cette pièce. Sachant que l’on a obtenu n fois face de suite, quelle est la probabilité que l’on ait pris la pièce truquée ? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n → ∞ ? 13

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Exercice 12 On considère n équipes de ligue 1 de football et n équipes de ligue 2. On tire au sort n rencontres entre ces 2n équipes (chacune joue exactement un match). 1. Calculer la probabilité pn pour que tous les matchs opposent une équipe de ligue 1 à une équipe de ligue 2. 2. Calculer la probabilité qn pour que tous les matchs opposent des équipes de même ligue. 3. Montrer que 22n−1 n 6 22n . 6 C2n n Calculer les limites de pn et qn lorsque n → ∞. Exercice 13 Deux joueurs A et B jouent à pile ou face avec une pièce truquée. Le joueur A mise toujours sur pile dont la probabilité d’apparaître est p, tandis que le joueur B mise toujours sur face. Le match s’arrêtera lorsque l’un des joueurs aura gagné deux fois de suite. 1. Quelle probabilité chaque joueur a-t-il de gagner ? 2. Quelle est la probabilité de l’événement « la partie dure indéfiniment » ?

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