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Mathématiques - 2016/2017
Chapitre 13 : Probabilités sur un univers ni Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux probabilités dans un univers ni, on parle aussi de probabilités discrètes. Les résultats exposés dans ce chapitre restent pour la plupart vrais dans un univers in ni. Ce cas sera étudié au second semestre.
Table des matières 1 Expérience aléatoires et évènements 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Expérience aléatoire - Univers - Événements Tableau des correspondances . . . . . . . . Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les évènements . . . . . . . . Système complet d'évènements . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . Un exemple de probabilité : l'équiprobabilité . Formule de Poincaré (ou formule du crible) . . Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Indépendance de deux évènements . . . 2.5.2 Indépendance mutuelle de n évènements
. . . . . . .
. . . . . . .
2 Probabilité 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
3 Probabilité conditionnelle
. . . . .
2
2 4 4 4 6
7
7 8 11 12 12 12 14
15
1er janvier 2017 - Pierre-Yves Madec -
[email protected] 1
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Expérience aléatoires et évènements
1.1 Expérience aléatoire - Univers - Événements Pour parler d'expérience aléatoire, il faut déjà se mettre d'accord sur la notion de hasard (ou aléa ). Je joue à pile ou face avec une pièce de monnaie. Une fois lancée en l'air, la trajectoire de la
pièce peut être entièrement déterminée par les lois de la mécanique newtonienne. Pourquoi parle-t-on alors de hasard ?
Un ami me propose de deviner dans quelle main il a caché une pièce de monnaie. Du point
de vue de cet ami, il n'y a pas de hasard car l'emplacement de la pièce est connu. De mon point de vue j'ai une chance sur deux de faire le bon choix : il y a du hasard.
Il en ressort deux choses : 1. le hasard (on dit aussi l'aléa) est ce qui est incontrôlable, 2. cette incontrôlabilité dépend du point de vue choisi : ce qui est incontrôlable pour X ne l'est pas forcément pour Y . Générateurs de hasards : classiques : pièce de monnaie, dés, . . . numériques : Scilab avec la fonction rand() , ou n'importe quel autre logiciel de calcul
scienti que,
atypiques :en choisissant une page au hasard d'un livre, Paul le Poulpe (coupe du monde
2006).
Dé nition (Expérience aléatoire - Univers - Événements) Une expérience aléatoire est un phénomène dans lequel intervient le hasard. L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est noté Ω et est appelé univers de l'expérience aléatoire. Un évènement est une partie (ou un sous-ensemble ) de Ω.
Notation (P(Ω) ) On note P(Ω) l'ensemble des évènements (ou parties, ou sous-ensembles ) de Ω.
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Exemple(s) On joue à pile ou face et on note la face obtenue. Il s'agit d'une expérience aléatoire dont
l'univers est
Ω = ......
Quelques évènements de Ω : =⇒ P(Ω) = . . . . . . On lance un dé et on note le numéro obtenu. Il s'agit d'une expérience aléatoire dont l'univers
est
Ω = ......
Quelques évènements de Ω : =⇒ P(Ω) = . . . . . . Bernard tire un pénalty. Il a le choix entre tirer à gauche, à droite ou au milieu. Du point de
vue du gardien, il s'agit d'une expérience aléatoire dont l'univers est Ω = ......
Quelques évènements de Ω : =⇒ P(Ω) = . . . . . .
Dans toute la suite de ce chapitre, on suppose que
Ω
est ni.
Vocabulaire (Quelques évènement remarquables) l'évènement impossible = ∅. un évènement élémentaire
= =
un évènement ne contenant qu'un seul élément de Ω tout singleton {ω}, w ∈ Ω.
l'évènement certain = Ω.
Vocabulaire (Réalisation d'un évènement) On dit qu'un évènement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience aléatoire w est dans
A.
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Exemple(s) On lance un dé et on considère l'évènement A = {"le numéro obtenu est pair"} = {2, 4, 6}. Si le résultat de l'expérience est ω = 4 alors A est réalisé.
1.2 Tableau des correspondances Mathématiques non probabilistes
←→
Probabilités
Ensemble E
←→
Univers Ω
P(E)
←→
P(Ω)
Singleton {a} A partie (ou sous-ensemble) de E
←→
Évènement élémentaire {ω} A évènement de Ω
←→
1.3 Inclusion Dé nition (Inclusion et égalité d'ensembles) Soit A et B deux évènements de Ω. On dit que A ⊂ B ssi pour tout ω de Ω, si ω ∈ A alors ω ∈ B . Interprétation probabiliste : si A est réalisé alors B est réalisé. Deux évènements A et B sont égaux ssi A ⊂ B et B ⊂ A. Interprétation probabiliste : A est réalisé si et seulement si B est réalisé.
Exemple(s) Demander aux élèves s'ils connaissent un exemple d'évènements inclus l'un dans l'autre "non mathématiques". On s'intéresse à la météo. On considère les évènements. A = {"le ciel est couvert"} et B = {"il pleut"}. Il est clair que B ⊂ A.
1.4 Opérations sur les évènements Les évènements ne sont rien d'autre que des sous-ensembles de Ω. Aussi toutes les opérations eectuées pour les ensembles sont les mêmes : il su t de remplacer le mot "partie" (ou "sousensemble") par évènement. On rappelle ici ces opérations.
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Dé nition (Union, Intersection, Complémentaire) Union : A ∪ B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A ou B ∈ B}
= l'évènement qui est réalisé lorsque A est réalisé ou B est réalisé. Intersection : A∩B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A et B ∈ B}
= l'évènement qui est réalisé lorsque A est réalisé et B est réalisé. Complémentaire : A = {ω ∈ Ω | ω 6∈ A}
= l'évènement qui est réalisé lorsque A n'est pas réalisé.
Vocabulaire (Évènements incompatibles) Deux évènements A et B sont dits incompatibles ssi A ∩ B = ∅, ssi A et B ne peuvent se réaliser simultanément.
Exemple(s) On joue à la roulette européenne :
Remarque orale : diérence avec la roulette américaine ? Ω = {0, 1R, 2N, 3R, 4N, . . . , 35N, 36R} On considère les évènements : A = {"la bille s'immobilise sur un numéro rouge"} B = {"la bille s'immobilise sur un numéro noir"} C = {"la bile s'immobilise sur un numéro pair (Even)"}
Exemple d'opérations : A∪C est réalisé lorsque 1R, ou 2N , ou 3R ou etc... . . . sortent =⇒ A∪C = {1R, 2N, 3R . . .}.
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A ∩ C est réalisé lorsque 1R ou 3R ou 5 . . . sortent =⇒ A ∩ C = {1R, 3R . . .}. A est réalisé lorsque 2 ou 4 ou 6 ou 8 ou 11 ou 13 . . . sortent {2N, 4N, 6N, 8N, 10N, 11N . . .}
=⇒
A =
exemple d'évènements incompatibles : A et B .
On rappelle les propriétés suivantes, rencontrées dans le chapitre sur les ensembles.
Propriété 1 Pour tous évènements A, B et C dans Ω, A∩Ω=A A∩∅=∅ A∪Ω=Ω A∪∅=A Si A ⊂ B alors B ⊂ A
(nouveauté )
A ∩ B ⊂ A et A ⊂ A ∪ B A=A ∅ = Ω et Ω = ∅ A ∪ B = A ∩ B (Loi de Morgan 1) A ∩ B = A ∪ B (Loi de Morgan 2)
Remarque(s) Les loi de Morgan sont généralisables au cas de n évènements A1 , A2 , . . . , An : A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
1.5 Système complet d'évènements Un système complet d'évènement est un découpage de l'univers Ω. Reprenons l'exemple de la roulette. On peut découper Ω de plusieurs manières : Ω = {"numéro pairs"} ∪ {"numéros impairs"} ∪ {0}, Ω = {"numéros rouges"} ∪ {"numéros noirs"} ∪ {0}, Ω = "numéros de 0 à 18" ∪ "numéro de 19 à 36", Ω = {0} ∪ {1R} ∪ . . . ∪, {36R}
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Ω = Ω, etc . . .
Dé nition (Système complet d'évènements) Une famille de parties (A1 , A2 , . . . , An ) est un système complet d'évènements Ω = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An , (réunion égale à tout l'espace), ∀i, j ∈ J1, nK,
Ai ∩ Aj = ∅
ssi
(évènements deux à deux incompatibles).
Remarque(s) Pour tout sous-ensemble A de Ω, (A, A) est un système complet d'évènements.
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Probabilité
2.1 Dé nition Dé nir une probabilité relativement à une expérience aléatoire, c'est dire quelle est la probabilité de chaque évènement de l'univers Ω. La probabilité d'un évènement nous donne une information sur son "poids", c'est à dire sur sa probabilité d'apparition. Nous verrons au second semestre une dé nition un peu plus générale faisant intervenir les tribus.
Dé nition (Probabilité) Une probabilité est une application, en général notée P, P : P(Ω) A
−→
[0 ; 1]
7−→
P(A),
et qui véri e P(Ω) = 1, Pour tous A, B de P(Ω),
si A ∩ B = ∅, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Exemple(s) Lors d'une soirée, on observe l'état des participant. On note : N : l'individu est dans son état normal, il est conscient, E : l'individu est éméché, S : l'individu est saoul.
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Il est clair que ces évènement sont disjoints 2 à 2. L'univers de cette expérience aléatoire est Ω = {N, E, S}. Deux individus Jacques et Mathieu viennent d'arriver. On dé nit leur probabilités respectives PJ et PM sur P(Ω) de la manière suivante : PJ (N ) = 0, 6
PM (N ) = 0, 4
PJ (E) = 0, 3
PM (E) = 0, 4
PJ (S) = 0, 1
PM (S) = 0, 2
Qui de Jacques et de Mathieu a le plus de chance d'être dans un état normal, éméché saoul ? Calculer la probabilité que Jacques soit éméché ou saoul. Faire de même pour Mathieu.
Remarque(s) En pratique, on dé nit P sur les évènements élémentaires de l'univers Ω et on peut alors calculer la probabilité de n'importe quel évènement. Ainsi dans l'exemple précédent, c'est ce qu'on a fait lors de l'exemple précédent.
Dé nition (Espace probabilisable / probabilisé) Tout couple (Ω,P(Ω)) est appelé espace probabilisable. Tout triplet (Ω,P(Ω),P) est appelé espace probabilisé.
2.2 Premières propriétés Propriété 2 P(∅) = 0, P(A) = 1 − P(A).
Démonstration. Puisque Ω ∩ ∅ = ∅, on en déduit, en appliquant directement la dé nition que : P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅),
Or P(Ω ∪ ∅) = P(Ω), donc P(∅) = 0 De même puisque A ∩ A = ∅, on a : P(A ∪ A) = P(Ω) = 1,
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donc P(A) + P(A) = 1. cqfd.
Propriété 3 (Croissance des probabilités) Soit A et B deux évènements d'un univers Ω tels que A ⊂ B , alors P(A) ≤ P(B).
Démonstration. Il su t d'écrire B = A∪(B \A) (faire un dessin). Remarquons que A∩(B \A) = ∅ et donc P(B) = P(A ∪ (B \ A)) = P(A) + P(B \ A)). Ce qui achève la preuve. |
{z
}
≥0
Propriété 4 (Probabilité de l'union dévènements 2 à 2 incompatibles) Si A1 , A2 , . . . An sont des évènements de Ω véri ant ∀i, j ∈ J1, nK, Ai ∩ Aj = ∅, alors P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . + P(An ).
Remarque(s) Le résultat peut être énoncé comme suit : P
n [ k=1
! Ak
=
n X
P(Ak ).
k=1
Démonstration. Notons B2 = A2 ∩ A3 ∩ . . . An . Montrons que A1 ∩ B2 = ∅. Soit ω ∈ A1 ∩ B2 alors ω ∈ A1 et ω ∈ B2 . Or B2 = A2 ∩ A3 ∩ . . . An donc ∃i ∈ J2, nK, ω ∈ Ai . Par conséquent, ω ∈ A1 ∩ Ai = ∅ (par hypothèse). Donc A1 ∩ B2 = ∅. P(A1 ∪ A2 ∪ . . . An ) = P(A1 ∪ B2 ) = P(A1 ) + P(B2 )
car A1 ∩ B2 = ∅
= P(A1 ) + P(A2 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ∪ . . . ∪ An ) (il su t de réitérer l'argument)
.. . = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . P(An ).
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Théorème 5 (Formule des probabilités totales) Soit (A1 , A2 , . . . , An ) un système complet d'évènements de Ω. Alors, pour tout évènement B , on a : P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + . . . + P(B ∩ An ) =
n X
P(B ∩ Ak ).
k=1
Illustration :
Exemple(s) On dispose d'un jeu de carte de 32 cartes et de deux jeux de cartes de 52 cartes. On tire au sort un des jeux de carte puis on tire au sort dans ce jeu une carte. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi de carreau ? On considère l'expérience aléatoire qui consiste à observer la carte tirée au sort à l'issue de ce procédé. L'univers de cette expérience aléatoire est : Ω = {AsCa, AsP, AsT, AsCo, 2Ca, 2P . . . RCa, RP, RT, RCo}. On note : R = { "la carte tirée est un roi de carreau" }, A = { "la carte tirée provient d'un jeu de 32 cartes" }, B = { "la carte tirée provient d'un jeu de 52 cartes" }. Il est clair que (A, B) forme un système complet d'évènement de Ω. Alors :
P(R) = P(R ∩ A) + P(R ∩ B)
Et on ne peut pas en dire plus pour le moment . . . (pas de probabilités conditionnelles).
Remarque(s) En posant A1 = A et A2 = A, A étant un évènement quelconque on obtient, pour tout évènement B, P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A).
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2.3 Un exemple de probabilité : l'équiprobabilité Dire que l'on est en situation d'équiprobabilité signi e que chaque évènement élémentaire de l'univers Ω a la même probabilité. Examinons cela sur l'exemple classique du dé équilibré à 6 faces. On lance un dé et on observe le résultat obtenu. L'univers de cet expérience aléatoire est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le dé est équilibré donc chaque numéro a autant de chance qu'un autre d'apparaître, donc P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6).
Par ailleurs P est une probabilité donc P(Ω) = 1. Or P(Ω) = P ({1, 2, 3, 4, 5, 6})
car {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ {4} ∪ {5} ∪ {6} = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) (utilisation de la propriété 4)
= P({1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ {4} ∪ {5} ∪ {6}) = 6P(1) 1 6
donc 1 = 6P(1), donc P(1) = . 1 6
Finalement : P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = .
Dé nition (Équiprobabilité) Soit une expérience aléatoire d'univers ni Ω. Puisque Ω est ni, on peut écrire, sans perte de généralité, Ω = {ω1 , ω2 , . . . ωn }. On dit qu'il y a équiprobabilité ssi chaque évènement élémentaire {ωi } a la même probabilité d'apparition. 1 n
NB : on a alors ∀i ∈ J1, nK, P(ωi ) = .
Dé nition (Cardinal) Le cardinal d'une partie A, noté card (A), est le nombre d'éléments que contient A.
Exemple(s) On lancé un dé. L'univers de cette expérience aléatoire est : Ω = {1, 2, 3, 45, 6}. On considère les évènements A = {5, 6}, alors card (A) = 2.
Propriété 6 Lorsqu'on est en situation d'équiprobabilité, P(A) =
card (A) nombre de cas favorables = . card (Ω) nombre de cas possibles
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Exemple(s) Reprenons l'exemple précédent du dé : Ω = {1, 2, 3, 45, 6}. Si le dé est équilibré chaque numéro a autant de chance de sortir qu'un autre donc nous sommes en situation d'équiprobabilité. Calculer avec cette formule la probabilité d'obtenir un nombre pair. Retrouver ce résultat en utilisant la dé nition d'une probabilité. Faire ces deux calculs.
2.4 Formule de Poincaré (ou formule du crible) Théorème 7 (Formule de Poincaré pour 2 ou 3 évènements) Pour tous évènements A, B et C d'un univers Ω. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) = "probas 1 évènement" − "probas 2 évènements" + "probas 3 évènements"
2.5 Indépendance 2.5.1 Indépendance de deux évènements Dé nition (Indépendance de deux évènements) Deux évènements A et B d'un univers Ω sont dits indépendants
ssi P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Exemple(s) On lance un dé à 6 faces et on note A : "Obtenir un nombre pair", B : "Obtenir un multiple de 3".
Les évènements A et B sont-ils indépendants ? P(A) = 12 , P(B) = P(A ∩ B) = 16 , donc A et B sont indépendants.
2 6
= 31 , donc P(A)P(B) = 61 . Or
On lance deux dés rouges et verts, et on note A : "La somme des numéros fait 6",
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B : "La somme des numéros fait 7", C : "Sur le dé rouge, on obtient un nombre pair".
Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Les évènements B et C sont-ils indépendants ? 5 5 1 5 2 , P(C) = 12 donc P(A)P(C) = 36 P(A) = 2 = 72 . Or P(A ∩ C) = 36 6= P(A)P(C), donc A et C 36 ne sont pas indépendants. 6
6 1
3
3
donc P(B)P(C) = = . Et P(B ∩ C) = par dénombrement, donc De même P(B) = 36 36 2 36 36 B et C sont indépendants.
Remarque(s) En pratique, il est parfois possible de dire, sans calcul, que deux évènements sont indépendants. Par exemple, si je lance deux fois une pièce de monnaie en l'air et que je note la face obtenue, il est clair que les deux lancers sont indépendants : le premier lancer n'a pas d'in uence sur le second et vice versa. On se gardera toutefois de déclarer abusivement que deux évènements sont indépendant lorsque cela n'est pas trivial.
Propriété 8 On suppose que A et B sont deux évènements indépendants, alors : A et B sont indépendants, A et B sont indépendants, A et B sont indépendants.
Démonstration. Montrons, par exemple, que A et B sont indépendants. Montrons que P(A ∩ B) =
P(A)P(B).
On a P(A) = P(A∩B)+P(A∩B) (formule des proba totales) donc P(A∩B) = P(A)−P(A∩B). P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A) − P(A)P(B) = P(A) − P(A ∩ B) par indépendance de A et B .
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2.5.2 Indépendance mutuelle de n évènements Dé nition (Indépendance n évènements) Les évènements A1 , A2 , . . . , An sont dits mutuellement indépendants ssi , pour tout k ∈ J1, nK et pour toute famille (i1 , i2 , . . . , ik ) d'éléments distincts de J1, nK, on a :
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain )
=
P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Ain ).
Les évènements A1 , A2 , . . . , An sont dits indépendants deux à deux et j distincts dans J1, nK, on a :
P(Ai ∩ Aj )
=
ssi , pour tous i
P(Ai )P(Aj ).
Exemple(s) Par exemple, dans le cas de trois évènements A, B, C : A, B, C sont mutuellement indépendants
1. P(A ∩ B) = P(A)P(B),
ssi
P(A ∩ C) = P(A)P(C),
P(B ∩ C) = P(B)P(C),
2. P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). A, B, C sont indépendants deux à deux
1. P(A ∩ B) = P(A)P(B),
ssi
P(A ∩ C) = P(A)P(C),
P(B ∩ C) = P(B)P(C).
Être mutuellement indépendant est donc plus fort qu'être indépendant deux à deux.
Exemple(s) On lance 2 fois une pièce de monnaie. On considère les événements suivants : A ={"On obtient pile au 1er lancer"}. B ={"On obtient face au 2ème lancer"}. C ={"On obtient la même chose aux 2 lancers"}.
A, B et C sont-ils indépendants deux à deux ?mutuellement indépendants ? P(A) =
1 2
1 4 P(A ∩ B ∩ C) = 0
P(A ∩ B) =
P(B) =
1 2
P(A ∩ C) =
P(C) = 1 4
1 4
P(B ∩ C) =
1 4
(par dénombrement)
D'où on déduit que A, B et C sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement indépendants.
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Théorème 9 Si n évènements Ai sont mutuellement indépendants alors il en est de même pour les évènements Bi avec Bi = Ai ou Ai .
Exemple(s) Par exemple, si A, B et C sont trois évènements mutuellement indépendants, alors A, B et C sont mutuellement indépendants, A, B et C sont mutuellement indépendants, etc . . .
En revanche, le théorème ne dit pas que A, A et C sont mutuellement indépendants . . .
3
Probabilité conditionnelle Dé nition (Probabilité conditionnelle) Soit A et B deux évènement de Ω. On suppose que P(B) 6= 0. On appelle "probabilité conditionnelle de A sachant B ", ou bien "probabilité de A sachant B " le réel noté PB (A) dé ni par : PB (A) =
P(A ∩ B) . P(B)
Exemple(s) Examinons sur un exemple la signi cation de la probabilité conditionnelle. Considérons un jeu de 32 cartes. Calculons avec la dé nition la probabilité de tirer au sort une carte de carreau sachant que la carte tirée au sort est un roi. On note : Ca l'évènement "la carte tirée au sort est une carte de carreau", R l'évènement "la carte tirée au sort est un roi".
Intuitivement, PR (Ca ) doit être égal à 14 . Véri ons que la formule donne bien ce résultat : PR (Ca ) =
Or P(Ca ∩ R) =
P(Ca ∩ R) P(R) 1 32
par équiprobabilité et P(R) =
4 32
par équiprobabilité, donc
1 1 32 1 32 PR (Ca ) = = = . 32 4 4 4 32
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On retrouve bien le résultat attendu.
Théorème 10 Une probabilité conditionnelle PB est une probabilité.
Remarque(s) En particulier, toutes les propriétés valables pour les probabilités sont transférables aux probabilités conditionnelles, par exemple, : P(∅) = 0, si C ∩ D = ∅, alors PB (C ∪ D) = PB (C) + PB (D). etc . . .
Propriété 11 Si A et B sont deux évènements indépendants, alors PB (A) = P(A).
Démonstration. P(A ∩ B) P(B) P(A)P(B) = P(B)
PB (A) =
(par indépendance de A et B )
= P(A).
De la dé nition d'une probabilité conditionnelle, on en déduit immédiatement la
Propriété 12 P(A ∩ B) = PB (A)P(B).
Propriété 13 (Formule de Bayes) Si A et B sont deux évènements de probabilités non nulles, alors PB (A) =
PA (B)P(A) . P(B)
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Démonstration. P(A ∩ B) P(B) P(A ∩ B) = P(B) P(B ∩ A) = P(B) PA (B)P(A) = . P(B)
PB (A) =
Le théorème suivant est souvent utilisé pour calculer des probabilités dans le contexte d'expériences aléatoires qui dépendent du passé.
Théorème 14 (Formule des probabilités composées) Soit n ∈ N∗ . Si P(An ∩ An−1 ∩ . . . ∩ A1 ) 6= 0, alors P(An ∩ An−1 ∩ . . . ∩ A2 ∩ A1 ) = PAn−1 ∩...∩...∩A1 (An ) . . . PA2 ∩A1 (A3 )PA1 (A2 )P(A1 ).
Démonstration. Il su t d'écrire : P(An ∩ An−1 ∩ . . . ∩ A2 ∩ A1 ) = PAn−1 ∩...∩A1 (An )P(An−1 ∩ . . . ∩ A1 )
(utilisation de la propriété précédente)
et de répéter l'opération autant de fois que nécessaire.
Exemple(s) Un homme veut ouvrir une porte fermée à clef. Il dispose pour cela d'un trousseau de n clefs. L'un d'entre elle ouvre la porte. Il décide d'essayer à tour de rôle chaque clef dans l'ordre. On note Ai l'évènement "la i-ième clef ouvre la porte". Quelle est la probabilité que la k-ième clef ouvre la porte ? P(Ak ∩ Ak−1 . . . ∩ A1 ) = PAk−1 ∩...∩A1 (Ak ) . . . PA1 (A2 )P(A1 ) 1 n−k−1 n−2 n−1 × × ... × × n−k+1 n−k+2 n−1 n 1 = . n =
Le théorème suivant permet de calculer la probabilité d'un évènements lorsque la probabilité de réalisation de celui-ci dépend d'autres évènements.
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Lycée Madeleine Michelis - ECE1
Mathématiques - 2016/2017
Théorème 15 (Formule des probabilités totales, version proba conditionnelle) Soit (A1 , A2 , . . . , An ) un système complet d'évènements, alors pour tout évènement B , P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + . . . + P(B ∩ An ).
(rappel !)
Si de plus, chaque Ai est de probabilité non nulle, alors, on peut écrire P(B ∩ Ai ) = PAi (B)P(Ai ), et donc P(B) = PA1 (B)P(A1 ) + PA2 (B)P(A2 ) + . . . + PAn (B)P(An ).
Exemple(s) Des études statistiques nous permettent de dire que : la probabilité qu'un Belge choisisse des frites au restaurant est de 80 %, la probabilité qu'un Français choisisse des frites au restaurant est de 30 %.
Dans un restaurant de Paris, il y a 20 Français et 10 Belges. On interroge au hasard une personne dans le restaurant. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait choisie des frites ? On note : B : "la personne interrogée est belge, F : "la personne interrogée est française",
alors il est clair que (B, F ) est un système complet d'évènements. P(Frites) = PB (Frites)P(B) + PF (Frites)P(F ) 30 20 80 10 + = 100 20 100 30 3 = . 5
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