Chapitre 16 : Parallélogrammes particuliers

Chapitre 16 : Parallélogrammes particuliers

Propriété: un rectangle a ses diagonales de même longueur. Conséquence : comme un rectangle est un parallélogramme particulier, on peut affirmer que les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur.

I LE RECTANGLE

Exemple :

Définition : un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. Remarque : si un quadrilatère a seulement 3 angles droits, c'est un rectangle. Propriété : le rectangle est un parallélogramme particulier, il possède donc toutes les propriétés du parallélogramme.

1.

Quelle est la nature du quadrilatère VERT ? Justifier.

Le quadrilatère VERT a 3 angles droites donc c'est un rectangle. Exemple :

2.

Quelle est la longueur du segment [TE] ? Justifier.

Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur, donc VR = 4,2 + 4,2 = 8,4 cm TE = VR = 8,4 cm

1.

Quelle est la nature du quadrilatère BLEU ? Justifier. Propriété: si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.

Le quadrilatère BLEU a 4 angles droits donc c'est un rectangle. Exemple : 2.

Quelle est la longueur du côté [BL] ? Justifier.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur donc BL = UE = 4,4 cm. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est égale à 180°, donc ̂ ABC =180−(40+50)=90 ° Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle.

Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

Propriété: un losange a ses diagonales perpendiculaires.

Exemple :

Conséquence : comme un losange est un parallélogramme particulier, on peut affirmer que les diagonales du losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.

Exemple :

Est-ce que le quadrilatère IJKL est un rectangle ? Expliquer.

1.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.

IK = 8 cm et L = 7 cm. Non ce quadrilatère n'est pas un rectangle car ses diagonales n'ont pas la même longueur.

Le quadrilatère ABCD a 4 côté de même longueur donc c'est un losange.

II LE LOSANGE

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires donc ̂ BOC =90 ° . Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est égale à 180° donc

Définition : un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur. Propriété : le losange est un parallélogramme particulier, il possède donc toutes les propriétés du parallélogramme. Exemple :

2. Calculer la mesure de l'angle ̂ BCO . Justifier.

̂ BCO=180−(90+ 30)=60 °

Propriété: si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Exemple : Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un losange.

1.

Quelle est la nature du quadrilatère ROSE? Justifier.

Le quadrilatère ROSE a 4 côtés de même longueur donc c'est un losange. 2.

Quelle est la longueur du segment [TS] ? Justifier.

Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu donc TS = RT = 2,8 cm.

Les côtés consécutifs HE et EF ont la même longueur. Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Donc EFGH est un losange.

Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

III LE CARRE

Exemple :

Définition : un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.

Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

Propriété : le carré possède toutes les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange. Exemple : ABCD est un carré de centre O tel que OA = 3 cm. Faire un schéma à main levée puis construire ce carré en vraie grandeur.

Est-ce que le quadrilatère RSTU est un losange ? Expliquer. Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est égale à 180° donc ̂ SOT =180−( 60+30)=90 ° donc les diagonales (SU) et (RT) sont perpendiculaires. Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange. Donc RSTU est un losange.