CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES

CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES Introduction Variable aléatoire X est une application permettant d’associer un nombre réel à toute éventualité. On note X(Ω) l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre X. X est dite : • •

Discrète lorsque l’ensemble des valeurs que peut prendre est dénombrable Continue lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle de IR

Exemple 1 : On lance 2 dés. On note S l’application qui à chaque lancée associe la somme des résultats obtenus. S est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs de l’ensemble S(Ω)={2,3, …,12} Exemple 2 : Après mise en sachet on pèse les paquets de farine. On note Y l’appli cation qui à chaque paquet associe son poids en gramme. On a constaté que les poids varient entre 955 et 1100 gr. Y est une variable aléatoire continu qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle Y(Ω) = [950 ;1100]

I) Variable aléatoires discrètes A) Loi de probabilité ou fonctions de distribution. 1. Définition L’application qui à chaque valeur possible x d’une variable aléatoire X associe la probabilité P(X=x) est appelée loi de probabilité ou fonction de distribution de la variable aléatoire X. X est la variable aléatoire et x est une réalisation / valeur possible de cette variable X. •

•

P(X=x) : probabilité de réaliser l’événement de variable aléatoire X prend la valeur x (X=x) : désigne l’événement « la variable aléatoire X prend la valeur x »

2. Exemple

1

Monsieur PLANDO a 3 bateaux à louer à la journée. X désigne le nombre de bateaux loués par jour sur un mois. Il a pu établir la loi suivante X P(X=x)

0 0,6

1 0,25

2 0,1

3 0,05

Diagramme en Bâtons G1 Remarque : X est définie comme étant le nombre de bateaux loués par jour en mai. C’est un abus de langage puisque X n’est pas un nombre mais une variable aléatoire. Donc il est sousentendu que X est l’application qui à chaque jour de mai associe le nombre de bateaux loués ce jour là. 3. Propriété La somme des P(X=x) vaut 1.

Exemple : P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,6 + 0,25 + 0,1 + 0,05 =1

B) Fonction de répartition 1. Définition L’application F qui, à tout réel x associe la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, est, par définition, la fonction de répartition de X. Pour tout x réel, F(X) = P(X ≤ x) 2. Propriétés

2

•

F est une fonction croissante ;

•

Pour tout x, on a 0 ≤ F(x) ≤ 1

or (x ≤ + ) est l’événement certain, donc

•

: l’événement impossible,

• •

Et surtout : Pour tout a et tout b réels,

Exemple : On a une population d’étudiants. 10% sont abonnés à 3 journaux, 20% à 2 journaux et 40% à 1 seul, les autres à aucun. On note X (variable aléatoire) qui associe à chaque étudiant le nombre d’abonnement qu’il a souscrit. F est la fonction de répartition qui est à chercher. Loi de proba de X : X P(X=x)

0 0,3

1 0,4

2 0,2

F(0) = P(X ≤ 0) = P(X=0) = 0,3 F(1) = P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,3 + 0,4 = 0,7 F(2) = P(X ≤ 2) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9 F(3) = 1 •

Expression de F sur IR Si x < 0

F(x)=0

Si x € [0,1[

F(x)=0,3

Si x€ [1,2[

F(x)=0,7

Si x € [2,3[

F(x)=0,9

Si x ≥3

F(x)=1

Lorsque X est discrète, F est une fonction en escalier •

Représentation graphique de F ---G2

3

3 0,1

+ P(X > 2) = 1 - P(x ≤ 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,9 = 0,1 + P(0 < x < 3) = P(1 ≤ x ≤ 2) = P(1 ≤ x < 3) = P(0 < x ≤2) = F(2) - F(0) = 0,9 - 0,3 = 0,6

C)

Variables aléatoires discrètes indépendantes

Définition : Deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout couple (x ;y) de valeurs possibles pour X et Y, les événements X=x est Y=y sont indépendants.

P(X=x et Y=y)=P(X=x) * P(Y=y) Exemple : Un assureur a fait une étude sur ses clients qui pratiquent du ski. Il a établi que la loi du nombre annuel X d’accidents de voiture de ces clients est : x P(X=x)

0 0,6

1 0,3

2 0,1

Pour les mêmes clients Y désigne le nombre de semaines passées à la montagne au cours de l’année y P(Y=y)

1 0,5

2 0,45

3 0,05

Tableau des probabilités des événements (X=x et Y=y) si X et Y indépendants. P(X=x et Y=y) = P(X=x) * P(Y=y) X

0

1

2

0,3* 0,27 0,03

0,15 0,135 0,015

0,05 0,045 0,005

Y

1 2 3

Tableau de la loi conjointe : O,3 = 0,6*0,5

4

Pour savoir si les variables sont indépendantes, alors il faut que les lignes et colonnes aient un rapport de proportionnalité.

D) Espérance, variance, covariance 1. Définitions a) Espérance mathématique L’espérance mathématique de X qui est notée E(x) ou

est définie par

C’est bien la moyenne arithmétique des valeurs de x pondérée par leur probabilité. E(X) est un paramètre de position ou de tendance de X b) Variance et écart-type La variance de X notée V(X) est l’espérance de la variable aléatoire Donc V(X)=

Formule de Köenig V(X)=E[x2]-[E(x)]2 = E(X2)-

2

Remarque : V(x)≥0 T(X)=

Ecart-type

V(x) et G(x) = mesure la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance c) Covariance de 2 variables aléatoires La covariance de X et Y, notée cov(X,Y) est l’espérance de la variable aléatoire

5

Formule de Köenig généralisée

2. Propriétés a) Propriétés d’espérance X v.a. et a et b 2 constantes, on a : • E[aX+b] = aE[X] + b • E[X1+X2+…+Xn] = E[X1] + E[X2] + … + E[Xn] • E[X1-X2] = E[X1] - E[X2] b) Propriétés de la covariance •

Cov(X,k)=0 et

cov(k,Y)=0 avec k=constant

•

Cov(X,Y)=cov(Y,X)

•

Cov(aX+b,a’Y+b’)=aa’cov(X,Y)

a,a’,b,b’ => constant

c) Propriétés de la variance •

V(aX+b)=a2V(X)

•

T(aX+b)=|a|T(x)

•

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)

d) Cas particulier des v.a. indépendantes Si X et Y sont indépendantes, on a

donc cov(X,Y)=0

 V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Cette propriété se généralise à n v.a. indépendantes V(X1+X2+…+Xn)=V(X1)+…+V(Xn) V(X-Y)=V(X)+V(Y)=V(X+(-1)Y)=V(X)+(-1) 2V(Y) Exemple :

6

Une agence loue des voitures à la journée. Elle a 6 véhicules et la loi du nombre X de voitures louées par jour est donnée par le tableau : x P(X=x)

0 0,05

1 0,1

2 0,37

3 0,27

4 0,17

5 0,03

6 0,01

•

E(X)=(0*0,05)+(1*0,10)+(2*0,37)+(3*0,27)+(4*0,17)+(5*0,03)+(6*0,01)=2 ,54

•

E(X2)= (02*0,05)+(12*0,10)+(22*0,37)+(32*0,27)+(42*0,17)+(52*0,03)+(62*0,01) =7,84 V(X)= E(X2)- =7,84-2,542=1,3884  T(x)=

=1,18

Le bénéfice B réalisé = 450X-375 • •

E[B]=E[450X-375]=450E[X]-375=768 V(B)=V(450X-375)=4502V(X)=281’151

•

T(B)=

=530,24

E) Les moments L’espérance et la variance ne sont que des cas particuliers de ce que l’on appelle les moments d’une variable aléatoire. Les expressions

E(Xk)=

En pratique, seuls les moments d’ordre ≤4 sont utilisés (où k≤4)

F) Lois marginales A partir de la li conjointe du couple aléatoire (X,Y) on détermine les lois marginales des (X,Y) Loi de X : P(X=xi)= Loi de Y : P(Y=yj)= Exemple : 7

Loi du couple (X,Y) ou loi conjointe :

Y X 1 2 L(Y)

1

2

L(X)

0,3 0,2 0,5

0,4 0,1 0,5

0,7 0,3

Lois marginales :

E(X) E(Y) V(X) V(Y)

= = = =

1*0,7 + 2*0,3 = 1,3 1,5 0,7*12 + 0,3*22 - 1,32 = 0,21 0,5*12 + 0,5*22 - 1,52 = 0,25

E(XY)=1*1*0,3 + 1*2*0,4 + 2*1*0,2 + 2*2*0,1 = 1,9 = Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1,9-1,3*1,5 G) Inégalité de Bienaymé - Tchebychev Elle donne la situation concrète en terme de probabilité des valeurs prises par une v.a. Soit a>0, on démontre que la proba de l’ensemble des valeurs de la v.a. qui sont à l’extérieur de l’intervalle [E(X)-aT ;E(X)+aT] est inférieurs à 1/a2 Exemple : La proba des valeurs de la v.a. en dehors de [E(x)-2T ;E(x)+2T] est inférieurs à 1/22 = ¼ , càd qu’avec une proba de 0,75, 1 v.a. prend ses valeurs dans 1 intervalle de longueurs 4T centré sur E(X) H) Variable centrée réduite associée à X Soit X une v.a., d’espérance m et d’écart-type T •

La v.a. Xc=X-m est appelé v.a. centrée associée à X. son espérance est nulle. E[Xc]=E[X-m]=E[X]-m=m-m=0

•

La variable aléatoire Xr définie par Son écart-type vaut 1 :

8

, variable réduite associée à X.

Son espérance est nulle et l’écart-type vaut 1 •

Moments : E[(x-N)k]=

(discret)

(N=m)

E[(x-N)k]= Ces moments correspondent aux moments centrés d’ordre k. Si k=1 => Espérance K=2 => Variance Exercice : Reprise de l’exercice précédent. Déterminer la variable centrée réduite T associée à B. Interprétation de P(T>2) et P(T>5) •

Par définition,

: proba que B dépasse son espérance de plus de 2 fois sont écart-type Idem P(T>5) •

Exprimer en fonction de T la proba que B ne s’écarte pas de son espérance de plus de ½ écart type P(E(B)- ½

Donc T évalue la « distance » entre B et son espérance mesurée en nombre d’écart types

II) Variables aléatoires continues. 9

Exemple : Reprise de l’exemple des paquets de farine dont le poids (en grammes) est une variable aléatoire Y : [950,1100]. - Lorsqu’on prend un paquet au hasard, la proba d’obtenir un poids de farine rigoureusement égale à 978,2g, p.ex., est nulle. - L’événement (Y=978,2) est dit quasi impossible. - Plus généralement : Si X est une variable aléatoire continue, on a : P(X=x)=0 pour tout x

A) Fonction de répartition 1. Définition L’application qui, à tout réel x, associe la proba que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, est par définition la fonction de répartition de X. Pour tout réel x, F(x)=P(X≤x) 2. Propriétés •

F est croissante

•

Pour tout x, 0≤F≤1

• •

Pour tous réels a et b :P(a≤X≤b)=F(b)-F(a) Puisque P(X=a)=P(X=b)=0, on a également : P(a10)=P(T2>10)=0,04. Il suffit que l’un des deux éléments tombe en panne pour que l’appareil ne fonctionne plus. Quelle est la proba que cet appareil fonctionne pendant plus de 10 ans ? Solution : L’appareil fonctionne pendant plus de 10 ans si l’événement (T1>10 et T2>10) est réalisé. Or, P(T1>10 et T2>10)=P(T1>10)P(T2>10)=0,04 2=0,0016

C) Loi ou densité de probabilité d’une variable aléatoire continue. 1. Définition SI X est une variable aléatoire continue de fonction de répartition F dérivable, la loi de probabilité de X est définie par la dérivée de F, que l’on note f. f est appelé densité de probabilité ou fonction de densité de X. f(x)=F’(x) Exemple : Déterminer la densité de proba de X, • •

F(x)=0 si x