Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance

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Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance

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Motivation de ce chapitre

Jeu du bonneteau orienté : trois gobelets se trouvent devant vous. L’un d’entre eux et uniquement un contient un palet. Vous devez retrouver le palet. Vous choisissez l’un des gobelets au hasard. Le meneur de jeu vous indique alors parmi les deux autres restants l’un des deux ne contenant pas le palet. Et vous demande si vous souhaitez conserver le choix de votre gobelet ou changer pour le troisième gobelet ?

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Plan 1

Exemple introductif

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Définition d’une probabilité conditionnelle

3

Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

4

Indépendance Indépendance entre deux évènements

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Plan 1

Exemple introductif

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Définition d’une probabilité conditionnelle

3

Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

4

Indépendance Indépendance entre deux évènements

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Exemple introductif Exemple On jette 3 fois une pièce de monnaie équilibrée. On considère les évènements : A = "obtenir face au 1er jet" ; B = "obtenir deux faces lors des trois jets.” Quelle est la probabilité d’obtenir 2 faces sachant que le 1er jet a eu face pour résultat ?

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Exemple introductif

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Définition d’une probabilité conditionnelle

3

Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

4

Indépendance Indépendance entre deux évènements

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Probabilité conditionnelle Définition

Définition Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et B un évènement tel que P(B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle d’un évènement A sachant que B est réalisé, le nombre défini par P(A | B) =

P(A ∩ B) . P(B)

Propriété la fonction A 7→ P(A | B) ainsi définie est une probabilité. (comment s’en convaincre ?)

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Probabilité conditionnelle Propriété Si A et B sont des évènements de probabilités non nulles, on a : P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A) = P(A | B) × P(B)

Application Un tiers d’une population est vaccinée contre une maladie.On sait que 10% des personnes vaccinées développent quand même la maladie. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité pour que celle-ci soit malade et vaccinée ?

Propriété d’inclusion Soient deux évènements A, B tels que P(B) > 0 et A ⊂ B, alors P(A | B) = (L2 Eco-Gestion, option AEM)

P(A) P(B)

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Exemple introductif

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Définition d’une probabilité conditionnelle

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Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

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Indépendance Indépendance entre deux évènements

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Probabilités composées Formule des probabilités composées pour 3 évènements Soient A, B et C des évènements tels que A et A ∩ C soient de probabilités non nulles. On a : P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) × P(B | A) × P(C | A ∩ B)

Application On considère une urne contenant 10 boules : 5 rouges, 3 noires et 2 blanches. On tire au hasard et sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir successivement une rouge, une noire puis une blanche (évènement RNB) ?

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Probabilités composées On peut généraliser cette formule à l’intersection de n évènements :

Formule des probabilités composées Soient A1 ,..., An des évènements tels que P(A1 ∩ ... ∩ An−1 )>0. On a : P(A1 ∩ ... ∩ An ) =P(A1 ) × P(A2 | A1 )P(A3 | A1 ∩ A2 )× × · · · × P(An | A1 ∩ · · · ∩ An−1 )

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Formule des probabilités totales Formule des probabilités totales (cas particulier) Soient A et B deux évènements, avec 0 < P(B) < 1. On a : P(A) = P(A | B) × P(B) + P(A | B) × P(B)

Généralisation Supposons que l’on ait une partition de Ω en n évènements B1 , B2 ,...,Bn de probabilités non nulles. Alors : n

P(A) =

∑ P(A | Bi )P(Bi ) = P(A | B1 )P(B1 ) + ... + P(A | Bn )P(Bn )

i=1

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Formule des probabilités totales Application Un étudiant AEM a une probabilité de 3/4 d’être présent à la prochaine séance si celle-ci est un cours magistral, et une probabilité de 9/10 si celle-ci est une séance de travaux dirigés. Sachant que son emploi du temps est constitué aux deux tiers de cours magistraux, quelle est la probabilité qu’il soit présent à la prochaine séance ?

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Théorème de Bayes Motivation : calculer la probabilité de B sachant A à partir de celle de A sachant B.

Cas particulier du théorème de Bayes Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles, avec B de probabilité non nulle . On a : P(B | A) =

P(A | B)P(B) P(A | B)P(B) = P(A) P(A | B)P(B) + P(A | B)P(B)

Généralisation Supposons que l’on ait une partition de Ω en n évènements B1 , B2 ,...,Bn de probabilités non nulles. Alors : P(Bi | A) = (L2 Eco-Gestion, option AEM)

P(A | Bi )P(Bi ) P(A | Bi )P(Bi ) = n P(A) ∑i=1 P(A | Bi )P(Bi ) Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance

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Théorème de Bayes Application On constate que notre étudiant AEM est en cours. Avec les mêmes données que précédemment, quelle est la probabilité que ce cours soit un cours magistral ?

Paradoxe des prisonniers Trois prisonniers sont dans une cellule. Deux vont être condamnés et l’un va être gracié. Un des prisonniers demande au gardien de lui désigner qui, parmi ses deux camarades, sera condamné. Le gardien désigne un des deux prisonniers. Le prisonnier lui dit alors : Merci ! Avant j’avais une chance sur trois d’être gracié, mais maintenant j’en ai une sur deux !

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Exemple introductif

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Définition d’une probabilité conditionnelle

3

Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

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Indépendance Indépendance entre deux évènements

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Indépendance entre deux évènements. Définition Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. On dit que A et B sont indépendants si et seulement si : P(A | B) = P(A)

ou

P(B | A) = P(B)

Exemple 1

On tire sans remise deux cartes d’un jeu de 32 cartes. Les évènements A=”obtenir un roi au premier tirage” et B=”obtenir un roi au second tirage” ne sont pas indépendants.

2

Si l’on effectue ces deux tirages avec remise, alors A et B deviennent indépendants.

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Indépendance entre deux évènements. Attention Ne pas confondre incompatible et indépendant.

Caractérisation de deux évènements indépendants Deux évènements A, B ∈ P(Ω) sont indépendants si et seulement si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Application à l’exemple précédent ...

Généralisation Les évènements A1 . . . , An ∈ P(Ω) sont mutuellement indépendants si P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 ) × · · · × P(An ). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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