Chapitre 4 La durée du chômage Section 1. — Nature aléatoire de

Jean-Louis CAYATTE

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Chapitre 4 La durée du chômage Quand on parle de la durée du chômage, si l’on n’y prend pas garde, on confond facilement la durée moyenne du chômage (réponse à la question : quand on devient chômeur, pendant combien de temps le reste-t-on en moyenne ?) et l’ancienneté moyenne au chômage (réponse à la question : depuis combien de temps les chômeurs actuels sont-ils au chômage, en moyenne ?). Or, on le verra, l’ancienneté moyenne est nettement supérieure à la durée moyenne. Pour bien comprendre cela, nous commençons, dans ce chapitre, par formaliser la durée du chômage. Nous revenons d’abord sur sa nature aléatoire (section 1). Puis nous introduisons la notion de probabilité instantanée de sortir du chômage (section 2) et celle de fonction de survie (section 3). Nous appliquons ensuite ces notions à notre modèle du chapitre 2 (section 4).

Section 1. — Nature aléatoire de la durée du chômage Revenons à la définition du chômeur donnée au chapitre 1. Un chômeur est défini par deux propriétés : a) il n’a pas d’emploi ; b) il en cherche un. La deuxième propriété fait du chômeur un individu dont l’activité est la recherche d’emploi. Or une activité de recherche a deux caractéristiques : a) elle prend du temps ; b) le temps qu’elle prend est aléatoire : quand on cherche, on ne sait pas quand on va trouver. La durée du chômage se présente donc comme une variable aléatoire. Dans ce chapitre, nous ne nous demandons pas (encore) quels sont les facteurs qui déterminent cette durée (a priori, ils sont nombreux, les uns tenant à la personne du chômeur, les autres à l’état de l’économie). Nous nous contentons pour l’instant d’être précis sur les différentes probabilités qu’on peut avoir en tête lorsqu’on parle de la durée aléatoire du chômage. Commençons par définir la probabilité instantanée de sortir du chômage.

Section 2. — La probabilité instantanée de sortir du chômage Intuitivement, si une nouvelle entreprise annonce qu’elle s’installe dans telle région, on voudrait dire quelque du genre : la situation des chômeurs de cette région s’améliore, ou mieux : les perspectives des chômeurs de cette région deviennent meilleures, ou plus techniquement : leur probabilité de sortir du chômage s’accroît. Mais il faut écrire cette probabilité proprement. C’est ce que nous faisons dans cette section.

§ 1. — Le processus de sortie du chômage Commençons avec une hypothèse très artificielle, mais très provisoire : supposons qu’on ne puisse devenir chômeur ou sortir du chômage que le 1er jour de chaque mois. Raisonnons ensuite sur une personne qui devient chômeur le 1er janvier. En vertu de notre hypothèse artificielle, elle ne pourra pas en sortir avant le 1er février. A cette date, soit elle en sortira, soit elle y restera pour un mois supplémentaire au moins. Nous exprimons cela en disant que cette personne a une certaine probabilité h1 de sortir du chômage le 1er février (et donc une probabilité 1 − h1 d’y rester). Comme on vient de le dire, dans ce chapitre, nous n’essayons pas de préciser les déterminants de que cette probabilité existe. Pour fixer les idées, posons, par exemple,

h1 . Nous admettons simplement

h1 = 10% .

er

Le 1 février donc, de deux choses l’une : – soit cette personne sort du chômage, et cesse donc d’être chômeur ; – soit elle n’en sort pas. Alors, a) elle y reste alors au moins jusqu’au 1er mars ; b) le 1er mars, elle a, à nouveau, une certaine probabilité d’en sortir. Il n’y a aucune raison que cette probabilité soit la même que celle du 1er février. Supposons, par exemple, h2 = 60% . Alors, le 1er mars donc, de deux choses l’une : – soit elle sort du chômage, et cesse donc d’être chômeur ; – soit elle n’en sort pas, et y reste alors au moins jusqu’au 1er avril. Le 1er avril, elle a une certaine probabilité d’en sortir, par exemple h3 = 50% . Etc.

(h1 , h2 ,..., ht ,...) caractérise complètement le processus de sortie du chômage. Il n’y a aucune restriction sur ces probabilités, sinon, par définition d’une probabilité, 0 ≤ ht ≤ 1 . Voyons comment on déduit de ces probabilités la loi de La suite de ces probabilités

probabilité de la durée du chômage.

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§ 2. — Loi de probabilité de la durée du chômage Notons D la variable aléatoire durée du chômage. Sous notre hypothèse artificielle, cette durée est un nombre entier de mois : 1, 2… Calculons la probabilité de chacune de ces durées possibles. La probabilité que la durée du chômage soit de 1 mois (exactement) est :

p1 = Pr { D = 1} = Pr {sortir à la date 1} = h1

soit 10% dans notre exemple numérique. La probabilité que le chômage dure 2 mois (exactement) est égale à :

p2 = Pr { D = 2}

= Pr {ne pas sortir à la date 1} × Pr {sortir à la date 2} = (1 − h1 ) h2

soit 0,9 × 0, 6 = 0,54 ou 54% dans notre exemple numérique. La probabilité que le chômage dure 3 mois (exactement) est égale à :

p3 = Pr { D = 3}

= Pr {ne pas sortir à la date 1} × Pr {ne pas sortir à la date 2} × Pr {sortir à la date 3}

= (1 − h1 )(1 − h2 ) h3 soit 0,9 × 0, 4 × 0,5 = 0,18 ou 18% dans notre exemple numérique. Plus généralement, la suite des probabilités ( h1 , h2 ,..., ht ,...) permet de calculer la distribution de probabilité ( p1 , p2 ,..., pt ,...) de D : 2 3 ... t ... 1  t − 1 D= h1 (1 − h1 ) h2 (1 − h1 )(1 − h2 ) h3 ... ∏ (1 − hi )ht ... i =1  ∞  1 2 3 ... t ... où ∑ pn = 1 D= n =1  p1 p2 p3 ... pt ... Inversement, si nous nous étions donné la distribution de probabilité tiré la suite

( p1 , p2 , p3 ,...) = (10%, 54%,18%,...)

nous en aurions

(h1 , h2 ,..., ht ,...) = (10%, 60%, 50%,...) . Vous pouvez facilement le vérifier. Il est donc équivalent de se donner

l’une ou l’autre. L’expression « probabilité se sortir du chômage à la date

t » est donc ambiguë, car elle n’indique pas si vous parler de ht ou de

pt . ht est la probabilité de sortir du chômage à la date t si on y est encore à cette date. C’est la probabilité de sortir du chômage à la date t , conditionnelle au fait d’être encore chômeur à cette date. – la probabilité pt est la probabilité de sortir du chômage à la date t , au moment où on y entre. – la probabilité

Avant d’aller plus loin, voyons maintenant comment nous débarrasser de l’hypothèse artificielle selon laquelle on ne peut entrer et sortir du chômage qu’à des dates données.

§ 3. — Le passage au temps continu On peut remplacer le mois de notre hypothèse précédente par une unité de temps plus courte : la semaine, la journée, l’heure ou la seconde. Cela ne modifierait pas la nature de notre modèle. Cela ne ferait que modifier les probabilités ht et pt : celles-ci deviendraient d’autant plus petites que la durée pendant laquelle on ne peut pas sortir du chômage serait courte. Mais tant que la période retenue a une certaine durée, le défaut de notre hypothèse artificielle subsiste : cette durée, si petite soitelle, a l’inconvénient d’être arbitraire. Il faut donc passer à la limite, en faisant tendre cette durée vers 0, de manière à définir une probabilité de sortir du chômage à l’instant t , quel qu’il soit. Malheureusement, en toute rigueur, la probabilité de sortir du chômage à l’instant t exactement, donc au cours d’une période de durée nulle, ne peut être égale qu’à 0. On définit donc, à la place de la suite de probabilités

ht , une fonction continue h ( t ) , dont les valeurs sont, non pas des masses

de probabilité comme avec notre hypothèse artificielle, mais des densités de probabilité, conditionnelles au fait d’être encore chômeur

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Jean-Louis CAYATTE à cette date.

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h ( t ) s’interprète de la manière suivante : si ∆ est une durée très courte, la probabilité qu’une personne encore au chô-

mage à la date

t en sorte entre les dates t et t + ∆ est sensiblement égale à h ( t ) ∆ , couramment appelé probabilité instantanée

de sortir du chômage.

h ( t ) s’appelle fonction de risque (hazard function) et sa valeur, taux de risque (hazard rate). C’est en effet un taux (par unité

de temps) : par exemple

h ( t ) = 10% par mois (à la date t ) signifie que la probabilité de sortir du chômage au cours de la journée

qui commence à la date t , soit une durée d’un trentième de mois, est de l’ordre de

h ( t ) ∆ = 0,1× N.B. Pour vous persuader que

1 ≃ 0, 33% 30

h ( t ) n’est pas une probabilité, mais un taux, vérifions qu’il peut être supérieur à 1. Pour cela, chan-

geons d’unité de temps, passons du mois à l’année. La probabilité de sortir du chômage au cours de la journée ne saurait être modifiée par ce changement d’unité. En revanche, la durée

∆ devient

1 , ou, si on raisonne sur des mois égaux, elle est divisée par 12, tan365

dis que le taux de risque est multiplié par 12, donc égal à 1,2. Comme sous notre hypothèse artificielle, à partir de la fonction de risque, on sait calculer la loi de probabilité de la durée. La variable aléatoire durée du chômage

D peut désormais prendre n’importe quelle valeur réelle t non négative. D cesse donc d’être une

variable discrète et devient une variable continue. Chaque durée possible a alors une densité de probabilité qu’inversement, à partir d’une fonction de densité sité

p ( t ) . Il reste vrai

p ( t ) donnée, on sait calculer la fonction de risque h ( t ) correspondante. La den-

p ( t ) et le taux de risque h ( t ) sont donc deux manières équivalentes de caractériser la durée du chômage.

§ 4. — Exemple numérique Retenons le mois comme unité de temps. Donnons-nous une fonction de risque, par exemple

h ( t ) = 0, 02t . C’est une fonction

croissante : la probabilité instantanée de sortir du chômage augmente au fur et à mesure que le temps passe. Nous aurions pu, tout aussi bien, retenir une fonction décroissante, ou une fonction plus compliquée, non monotone (la suite des ht de notre exemple numérique précédent n’était pas monotone). Des calculs (qui ne nous intéressent pas ici) permettent d’en déduire la fonction de densité correspondante :

p ( t ) = 0, 02te −0,01t . La seule chose qui nous intéresse ici, c’est que ces deux fonctions, dont les graphes sont représentés sur les fi2

gures 1 et 2, ont des allures très différentes, mais représentent une même réalité. 0.1

0.4

0.08 0.3 0.06 0.2 0.04 0.1 0.02

0

5

10

15

Figure 1 – La fonction de risque

20

0

h ( t ) = 0, 02t .

5

10

15

20

Figure 2 –La densité de la durée du chômage correspondante.

§ 5. — La durée moyenne du chômage Connaissant la loi de probabilité de la durée du chômage, on en déduit son espérance mathématique : ∞

E ( D ) = ∫ tp ( t ) dt 0

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Dans notre exemple numérique, on calcule

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E ( D ) = 8,9 mois, ce qui s’interprète de la manière suivante : si un grand nombre de per-

sonnes entrent au chômage avec la même fonction de risque

h ( t ) = 0, 02t , elles resteront au chômage, en moyenne, pendant 8,9

mois. Outre la fonction de risque et la fonction densité, il existe une troisième et dernière fonction caractéristique de la durée du chômage : la fonction de survie.

Section 3. — La fonction de survie On est souvent intéressés par la probabilité qu’une personne au chômage aujourd’hui y soit encore x mois plus tard. Pour écrire cette probabilité, commençons par nous intéresser à une catégorie de chômeurs souvent mise en avant dans les commentaires des publications statistiques : les chômeurs de longue durée.

§ 1. — Le chômage de longue durée La définition internationale du chômeur de longue durée est : personne au chômage depuis 12 mois ou plus. Il est équivalent de dire : chômeur dont l’ancienneté (au chômage) est supérieure ou égale à 12 mois. Quelle est la probabilité, pour une personne qui entre au chômage, de devenir chômeur de longue durée ? C’est la probabilité que la durée de son chômage atteigne ou dépasse 12 mois : ∞

Pr {D ≥ 12} = ∫ p ( t ) dt 12

Cette probabilité est donc représentée par la surface comprise entre la courbe de la densité et l’axe horizontal, à droite de l’abscisse 12. 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0

5

10

15

20

Figure 3 –La probabilité d’être chômeur de longue durée. Dans notre exemple numérique, on calcule que cette probabilité est de 24%. Ce qui s’interprète de la manière suivante : – une personne qui entre au chômage avec la fonction de risque

h ( t ) = 0, 02t a 24% de chances d’y être encore 12 mois plus tard ;

– si un grand nombre de personnes entrent au chômage avec la même fonction de risque dront chômeurs de longue durée ; – si un grand nombre de personnes entrent au chômage avec la même fonction de risque l’ancienneté

h ( t ) = 0, 02t , 24% d’entre elles devien-

h ( t ) = 0, 02t , 24% d’entre elles atteindront

a = 12 mois.

§ 2. — Généralisation Mais la question que nous nous sommes posée pour le chômage de longue durée peut être posée pour n’importe quelle durée du chômage. De manière générale, on appelle fonction de survie la fonction teigne

S ( t ) qui donne la probabilité que la durée du chômage at-

t: ∞

S ( t ) = Pr { D ≥ t} = ∫ p ( x ) dx t

Comme vous le voyez, la fonction de survie se déduit de la fonction de densité de manière unique, et inversement. Fonction de survie, fonction de densité et fonction de risque sont trois manières équivalentes de caractériser une durée du chômage. La figure 4 représente la fonction de survie

S ( t ) de la durée D dont la fonction de risque est représentée sur la figure 1 et la fonction de den-

sité sur la figure 2 :

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1 0.8 0.6 0.4 0.2

0

5

Figure 4 –La fonction de survie

10

15

20

S ( t ) correspondant à la fonction de risque h ( t ) = 0, 02t .

Une fonction de survie a 3 propriétés remarquables : ∞

a) la première est évidente : b) la deuxième aussi :

S ( 0 ) = ∫ p ( t ) dt = 1 . 0

S ( t ) est une fonction décroissante de t . ∞

b) la troisième se démontre. Nous l’admettrons :

∫ S ( t ) dt = E ( D ) . Sur la figure 4, l’espérance mathématique de la durée du chô0

mage se présente donc comme la surface comprise entre le graphe de Si nous notons

S ( t ) et l’axe horizontal.

a l’ancienneté d’un chômeur, S ( a ) se lit : probabilité que la personne qui entre au chômage atteigne l’ancienneté

a: ∞

S ( a ) = Pr {D ≥ a} = ∫ p ( x ) dx a

Ainsi, si un grand nombre de personnes deviennent chômeurs à la date 0 avec la même fonction de risque, donc de survie, la proportion d’entre elles qui seront encore au chômage à la date

t est S ( t ) .

Nous serons également amenés à le dire dans l’autre sens : à la date mage à la date

t −a.

t , il reste une proportion S ( a ) des personnes entrées au chô-

Section 4. — Application Déterminons les fonctions de risque, de densité et de survie des chômeurs de notre modèle du chapitre 2. Dans ce chapitre, nous avons présenté un marché du travail sur lequel la durée qui sépare 2 appariements suit une loi exponentielle

k = fU ( t ) où U ( t ) est le nombre des chômeurs à la date t . Ce paramètre k reste constant tant que le nombre de chômeurs reste constant. On démontre que la fonction de risque d’une loi exponentielle de paramètre k est justement ce paramètre k , c’est-à-dire une fonction constante. En d’autres termes, la probabilité instantanée que l’un quelconque des U ( t ) chômeurs de la date t sorte du chômage est donc égale à k∆ . de paramètre

Sous notre hypothèse d’homogénéité (cf. chapitre 2), tous les chômeurs ont la même probabilité de sortir du chômage. Alors la probabilité instantanée de sortir du chômage, pour un chômeur donné, est le produit de la probabilité k∆ que quelqu’un sorte, par la probabilité

1/ U ( t ) que ce soit lui, soit

k∆

1

U (t )

= fU ( t )

1

U (t )

∆= f∆

Dans notre modèle donc, un chômeur a une fonction de risque constante, indépendante donc du nombre des chômeurs et de la date. La seule loi de probabilité qui présente une fonction de risque constante

h ( t ) = f est la loi exponentielle de paramètre f . La durée

D du chômage suit donc une loi exponentielle, avec pour fonction de densité : p ( t ) = fe − ft , pour fonction de survie : S ( t ) = e − ft et pour espérance mathématique :

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1 f Si un grand nombre de chômeurs ont la même fonction de risque, f = 20% par mois, ils restent donc au chômage en moyenne 5

E ( D) =

mois. Représentons les trois fonctions

h ( t ) , p ( t ) et S ( t ) de notre exemple numérique où f = 20% . 0.4

0.3

0.2

0.1

0

5

10

15

Figure 5 – La fonction de risque constante

20

h ( t ) = f = 20% .

De toutes les fonctions de risque, la fonction constante est incontestablement la plus simple.

0.2

0.15

0.1

0.05

0

5

10

15

Figure 6 – La fonction de densité correspondante

20

p ( t ) = fe − ft = 0, 2e−0,2t .

La densité est régulièrement décroissante, contrairement à celle qu’on avait représentée à la figure 2, qui n’était pas monotone. 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0

5

10

15

Figure 7 – La fonction de survie correspondante

20

S ( t ) = e− ft = e −0,2t .

La fonction de survie a la même forme que la fonction de densité : c’est la fonction de densité divisée par

f , ou multipliée par

E ( D ) . La fonction exponentielle est la seule à présenter une telle particularité. En d’autres termes, les hypothèses que nous avons posées au chapitre 2 déterminent complètement la durée du chômage. Cette durée est simple à formaliser, en particulier sa fonction de risque, et donc la probabilité instantanée de sortir du chômage. En revanche, Jean-Louis CAYATTE

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elle est un peu particulière : la fonction de densité est partout décroissante, et la fonction de survie a la même forme que la fonction de densité. Ce ne sont pas là des nécessités logiques, mais des implications de nos hypothèses. Nous aurons à nous demander si ces hypothèses sont justifiées. Mais pour l’instant, contentons-nous de les comprendre. * * * Dans ce chapitre, nous avons montré que la fonction de risque

h ( t ) , la fonction de densité p ( t ) et la fonction de survie S ( t )

D du chômage. Déterminer l’une quelconque de ces trois fonctions, c’est déterminer les deux autres et la durée moyenne du chômage E ( D ) . sont trois manières équivalentes de caractériser la durée

Dans notre modèle, la durée du chômage suit une loi exponentielle de paramètre

f , donc d’espérance E ( D ) = 1/ f et la pro-

babilité instantanée de sortir du chômage est f ∆ , quelle que soit la date, quel que soit le nombre des chômeurs, qu’il soit donc sur sa trajectoire d’équilibre ou sur une trajectoire d’ajustement. Il n’y a pas lieu de distinguer une durée du chômage d’ajustement et une durée d’équilibre, une probabilité instantanée de sortir du chômage d’ajustement et une d’équilibre. Avec les idées désormais claires sur la durée du chômage, nous pouvons à présent aborder la formalisation de l’ancienneté moyenne. Mais auparavant, nous allons montrer un rapport intéressant entre taux de chômage et durée moyenne du chômage. Tel est l’objet du chapitre 5.

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