Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles

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Joseph Bertrand (1900) Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n’est-il pas l’antithèse de toute loi ?

Motivation Modéliser des phénomènes aléatoires par des modèles théoriques connus. Intérêt : les modèles théoriques permettent de faire des calculs, de prédire, etc. Limite : on fait une approximation de la réalité

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale

2

Loi hypergéométrique

3

Loi géométrique et loi de Pascal

4

Loi de Poisson

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Loi de Poisson

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale Epreuve de Bernoulli

Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues : le succès S, avec une probabilité p ; l’échec E, avec une probabilité q = 1 − p. On définit une variable aléatoire de Bernoulli en posant  1 si succès X= 0 si échec

Exemple Une urne contient 6 boules rouges et 18 boules noires. On considère l’évènement S=”tirer une boule rouge.”

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale Epreuve de Bernoulli

Remarque 

P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p On dit que X sui la loi de Bernoulli de paramètre p, et on note X ∼ B(p). La loi de probabilité de X est donnée par

Propriétés de la variable de Bernoulli de paramètre p E(X ) = p Var(X ) = p(1 − p)

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale Loi binomiale

Définition On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, c’est-à-dire la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p (avec n ∈ N∗ et 0 < p < 1). On définit alors la v.a. X associée au nombre de succès obtenus. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, et on note X ∼ B(n, p).

Remarque Soient X1 , X2 ,..., Xn les variables de Bernoulli respectives des n épreuves. Alors X = X1 + X2 + ... + Xn et B(p) = B(1, p).

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale Loi binomiale

Propriété (calcul de la loi de probabilité) La loi de probabilité d’une v.a. X suivant la loi binomiale B(n, p) est donnée par : P(X = k) = Cnk p k (1 − p)n−k

k ∈ {0, 1, 2..., n}

Paramètres de position et de dispersion Si X ∼ B(n, p) : E(X ) = np Var(X ) = np(1 − p)

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Epreuve de Bernoulli, loi binomiale Loi binomiale

Propriété (somme de deux v.a. binomiales) Si X ∼ B(n1 , p) et Y ∼ B(n2 , p) et si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors X + Y ∼ B(n1 + n2 , p)

Remarque Deux v.a. X et Y définies sur le même espace (Ω, P(Ω), P) sont indépendantes si les évènements qu’elles engendrent sont indépendants.

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Loi hypergéométrique En pratique, les n épreuves de Bernoulli successives sont rarement indépendantes...

Exemple Une entreprise commercialise un lot de N bouteilles d’eau minérale et affirme que seulement 15 % de ces bouteilles ont un taux en nitrate supérieur à 10 mg/L. Pour contrôler la qualité annoncée, on prélève un échantillon de n bouteilles du lot (n ≤ N) et on analyse leur composition. Bien sûr une bouteille analysée est ouverte. Elle ne peut donc pas être remise dans le lot...

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Loi hypergéométrique Que faire dans ce cas ? Si N est largement supérieur à n, la probabilité p est “quasi-constante”. On fait l’approximation que p est constante. On choisit donc une loi binomiale (mais qui est une approximation de la réalité). Si on veut être plus précis, on calcule explicitement la loi ! Cette loi s’appelle la loi hypergéométrique.

Définition : loi hypergéométrique On considère une population de taille N dont N1 individus exactement présentent un certain caractère A. On prélève sans remise un échantillon de n individus. Soit X la v.a. du nombre d’individus présentant le caractère A dans l’échantillon. On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres N, n et NN1 : X ∼ H (N, n, NN1 ). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi hypergéométrique Propriété : loi de probabilité Si X ∼ H (N, n, NN1 ), la loi de probabilité de X est donnée par : P(X = k) =

n−k CNk 1 CN−N 1

CNn

avec max(0; n − (N − N1 )) ≤ k ≤ min(n, N1 ).

Application Il y a 10 mauvaises vis dans une boîte de 100. On en prend 4 au hasard d’un seul. Quelle est la probabilité d’avoir 0 mauvaises vis ? d’en avoir 1 ? 2 ? ...

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Loi hypergéométrique Paramètres de position et de dispersion Si p =

N1 N

E(X ) = np Var(X ) = np(1 − p)( N−n N−1 )

Remarques ...

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Loi géométrique et loi de Pascal Loi géométrique

Description de l’expérience Comme pour le schéma de la loi binomiale, on considère des épreuves de Bernoulli indépendantes et de paramètre p. Le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance : on s’arrête lorsque le succès est obtenu pour la première fois. Ainsi, le caractère aléatoire n’est pas le nombre de succès, mais le nombre d’épreuves : X =”nombre d’épreuves nécessaires au 1er succès”.

Définition : loi géométrique Si X est une v.a. à valeurs dans N∗ telle que décrite ci-dessus, on dit que X suit une loi géométrique de paramètre p : X ∼ G (p).

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Loi géométrique et loi de Pascal Loi géométrique

Propriété (loi géométrique) Si X ∼ G (p), alors P(X = k) = p × (1 − p)k−1 (pour tout k ∈ N).

Paramètres descriptifs Si X ∼ G (p) : E(X ) =

1 p

Var(X ) =

1−p p2

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Loi géométrique et loi de Pascal Loi de Pascal

Remarques La loi de Pascal est parfois appelée loi binomiale négative. C’est une généralisation de la loi géométrique.

Description de l’expérience Comme pour le schéma de la loi binomiale, on considère des épreuves de Bernoulli indépendantes et de paramètre p. on définit la v.a. X comme étant le nombre d’épreuves nécessaires à k succès. On dit que X suit la loi de Pascal de paramètres k et p.

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Loi géométrique et loi de Pascal Loi de Pascal

Propriété Si X ∼ P(k, p), alors pour N ≥ k : P(X = N) =

N−1 k−1


k p (1 − p)N−k

Paramètres descriptifs Si X ∼ P(k, p) : E(X ) =

k p

Var(X ) =

k(1−p) p2

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Exemple du gardien de nuit Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir, avec 10 clefs dont une seule est la bonne. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’essais jusqu’à ce que la porte s’ouvre. 1

Il met de côté celles qu’il a déjà essayées. Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer l’espérance ainsi que la variance. Donner la probabilité de réussir en moins de 8 coups.

2

Lorsqu’il est ivre, il n’isole pas les clefs essayées et donc les mélanges à chaque fois. Il tire à chaque fois une nouvelle clef au hasard entre les 10. Quelle est la loi de probabilité ? Donner la probabilité de réussir en moins de 8 coups

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Loi de Poisson Définition

Définition On dit que la v.a. X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 si et seulement si, pour tout k ∈ N : P(X = k) =

λ k −λ e k!

On note X ∼ P(λ ).

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Loi de Poisson Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Théorème d’approximation Pour n assez grand et p proche de 0, la loi binomiale B(n, p) peut être approximée par la loi de Poisson P(λ ), avec λ = np.

Preuve ...

Propriété Si X ∼ P(λ ), alors P(X = k) = λk P(X = k − 1), pour tout k ≥ 1.

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Loi de Poisson Applications

En pratique On fait l’approximation lorsque n ≥ 100 et p ≤ 0, 1.

Remarque La loi de Poisson est aussi appelée loi des évènements rares.

Applications nombre de pièces défectueuses dans un lot important où la probabilité de pièces défecteuses est faible ; nombre de naissances multiples parmi un grand nombre de naissances ; statistiques d’accidents ; ... (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de Poisson Applications ; Paramètres descriptifs

Exemple Une urne contient 1 boule blanche et 99 boules noires. On fait 300 tirages avec remise. On considère X la v.a. égale au nombre de fois que l’on a tiré la boule blanche.

Paramètres descriptifs Si X ∼ P(λ ) : E(X ) = λ Var(X ) = λ

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