Chapitre 7 – Probabilités Table des matières

TABLE DES MATIÈRES – page -1

Chapitre 7 – Probabilités

Chapitre 7 – Probabilités

Table des matières I

Exercices

I-1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7

II Cours 1

2

II-1

Variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1 1a

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

1b

Espérance, variance et écart-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

1c

Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3

1d

Propriété de l’espérance et de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4

Répétition d’expériences identiques et indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4

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I EXERCICES – page I-1

Chapitre 7 – Probabilités

I

Exercices Variable aléatoire discrète

1 Dans une papeterie, deux modèles sont proposés dans la même marque de stylo : un premier modèle à 1,30 e, et un deuxième modèle à 2,80 e. D’après les statistiques de ventes sur une longue période, quand un client choisit cette marque, la probabilité qu’il achète le 1er modèle est égale à 0,8 et celle qu’il achète le 2e modèle est 0,2. On appelle X le prix payé par le client à chaque vente de cette marque de stylo, ce prix est tantôt égal à 1,30 e, tantôt égal à 2,80 e. On dit que X est une variable aléatoire et on représente cela par le tableau ci-dessous qu’on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X. X 1,30 2,80 p 0,8 0,2 1. Simuler cette variable aléatoire 10 fois, et compléter le tableau suivant en procédant ainsi : – afficher un nombre entier aléatoire a entre 1 et 10 (voir encadré ci-dessous) ; – si ce nombre est inférieur ou égal à 8, X vaut 1,30 e ; – sinon X vaut 2,80 e. Nombre aléatoire a Variable aléatoire X 2. Calculer : – f la fréquence d’achat du stylo A ; – g la fréquence d’achat du stylo B ; – m le prix moyen payé par le client. Afficher un nombre entier aléatoire entre 1 et 10 avec une calculatrice. TI 82 : math ← 5 , et compléter ainsi : entAléat(1,10) 2ND [MATH] 7 (7:Probability) 4 (4:rand() TI 89 : HOME et compléter ainsi : rand(10) CASIO : OPTN F6 (⊲) F2 (PROB) F4 (RAND) F2 (Int) et compléter ainsi : RandInt#(1,10)

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2 La situation étudiée est celle de l’exercice 1 (ventes de stylos A ou B). L’algorithme ci-dessous simule une série de ventes successives. Lire n s prend la valeur 0 Pour des valeurs de k allant de 1 à n, de 1 en 1 stocker un entier aléatoire entre 1 et 10 dans a Si a 6 8 stocker s + 1 dans s Fin du Pour t prend la valeur n − s Afficher n, s,t 1. On fixe la valeur de n à 10. Exécuter cet algorithme « à la main » en complétant le tableau ci-dessous, et en utilisant la calculatrice pour afficher le nombre aléatoire a de l’algorithme. k a s

0

2. Que représente la valeur de s en fin d’algorithme ? 3. D’après les résultats de l’algorithme précédent pour n = 10, compléter la 2e colonne du tableau ci-dessous. 4. Programmer cet algorithme à la calculatrice 5. Compléter le tableau ci-dessous, de la 3e à la 6e colonne, en exécutant plusieurs fois le programme. n

10

50

100

500

1000

s f t g m

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D8, ex 8 p 319, manuel Déclic de 1re S D45, ex 45 p 328, manuel Déclic de 1re S

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D37, ex 37 p 327, manuel Déclic de 1re S D38, ex 38 p 327, manuel Déclic de 1re S D54 à D57, ex 54 à 57 p 331, manuel Déclic de 1re S

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I EXERCICES – page I-5

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3 L’objectif de cet exercice est d’étudier une propriété de l’espérance, et une propriété de la variance. On revient à la situation de l’exercice sur fiche no 1 (deux modèles de stylos proposés dans une papeterie, modèle A à 1,20 e, modèle B à 2,70 e, probabilité d’achat 0,8 pour le modèle A et probabilité 0,2 pour le modèle B). X est la variable aléatoire au prix payé par le client et sa loi est donnée par ce tableau. X 1,20 2,70 p 0,8 0,2 1. Rappeler ici les résultats de l’espérance et de la variance. E(X) = . . . V(X) = . . . 2. On augmente les prix de 0,10 e, on étudie donc la variable aléatoire égale à X + 0, 1, dont la loi est donnée par le tableau ci-dessous. X + 0, 1 1,30 2,80 p 0,8 0,2 (a) Sans faire de calcul, comment sera l’espérance de X + 0, 1 par rapport à celle de X ? (b) Sans faire de calcul, comment sera la variance de X + 0, 1 par rapport à celle de X ? (c) Vérifier en calculant E(X + 0, 1) et V(X + 0, 1) 3. Mêmes questions si on multiplie les prix par 1,05 c’est à dire pour la variable aléatoire 1, 05X.

4 L’objectif de cet exercice est de généraliser et de démontrer les propriétés de l’espérance et de la variance étudiées dans l’exercice précédent . X est une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : X p

x1 p1

... ...

x2 p2

xn pn

1. (a) Donner la loi de la variable aléatoire aX + b, en complétant ce tableau. aX + b

···

p1 p2 ··· pn p (b) Démontrer que : E(aX + b) = aE(X) + b 2. (a) Donner la loi de la variable aléatoire aX + b, en complétant ce tableau. ···

aX p p1 p2 2 (b) Démontrer que : V(aX) = a V(X).

···

pn

5 La loi de probabilité d’une variable aléatoire est donnée par le tableau ci-dessous. xi 1 2 3 4 5 Total pi 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2 1. Calculer E(X), V(X), σ(X). 2. Les tableaux ci-dessous donnent les lois de probabilité des variables aléatoires Y, Z, T. Pour chacune d’elle, calculer l’espérance, la variance et l’écart-type. yi 2 4 6 8 10 Total zi −3 −6 −9 −12 −15 Total pi 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2 pi 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2 ti pi

2 0,1

3 0,3

4 0,3

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5 0,1

6 0,2

Total

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I EXERCICES – page I-6

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D40, ex 40 p 328, manuel Déclic de 1re S D41, ex 41 p 328, manuel Déclic de 1re S D42, ex 42 p 328, manuel Déclic de 1re S R76 à R79, ex 76 à 79 p 206, manuel Repères Hachette de 1re S

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I EXERCICES – page I-7

Chapitre 7 – Probabilités

Répétition d’expériences identiques et indépendantes 6 L’objectif de cet exercice est d’étudier deux expériences aléatoires successives et de savoir si elles sont identiques et indépendantes, puis de comparer les calculs de probabilités dans les deux cas. Une urne contient une boule noire N et deux boules blanches B1 et B2. 1. On prend une boule au hasard, on la remet, puis on prend à nouveau une boule au hasard. On appelle cela deux tirages avec remise. (a) Ces deux expériences aléatoires successives semblent-elles identiques et indépendantes, autrement dit peut-on dire que l’issue de l’une n’a pas influence sur l’issue de l’autre ? (b) Calculer les probabilités des évènements : • « obtenir deux boules noires », • « obtenir une boule noire et une boule blanche (dans n’importe quel ordre) », • « obtenir deux boules blanches ». (c) Compléter l’arbre no 1 plus bas par des probabilités 2. Répondre à nouveau aux questions a, b, c précédentes à propos de la même urne, mais dans les conditions suivantes : on prend une boule au hasard, mais on ne la remet pas, puis on prend à nouveau une boule au hasard (on appelle cela deux tirages sans remise). Arbre no 1 : tirage avec remise ... ...

Arbre no 2 : tirage sans remise

N

N ...

...

...

N

...

B

...

N

...

B

N

B b

b

...

...

N

...

B

B ...

B

7 Une entreprise possède deux machines dont les fonctionnements sont indépendants. La probabilité qu’une machine tombe en panne dans la journée est 1 %. 1. Représenter avec un arbre les différentes possibilités de panne ou fonctionnement pour les deux machines. 2. Calculer la probabilité que les deux machines fonctionnent. 3. Calculer la probabilité que aucune machine ne fonctionne. 4. Calculer la probabilité que au moins une machine fonctionne.

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I EXERCICES – page I-8

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D18, D19, D20, ex 18, 19, 20 p 352-353, manuel Déclic de 1re S M39, ex 39 p 218, manuel Math’x de 1re S

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II COURS – page II-1

Chapitre 7 – Probabilités

II

Cours

1

Variable aléatoire discrète

1a

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité.

Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire. Exemple Dans une papeterie, deux modèles sont proposés dans la même marque de stylo : un premier modèle à 1,30 e, et un deuxième modèle à 2,80 e. D’après les statistiques de ventes sur une longue période, quand un client choisit cette marque, la probabilité qu’il achète le 1er modèle est égale à 0,8 et celle qu’il achète le 2e modèle est 0,2. On appelle X le prix payé par le client à chaque vente de cette marque de stylo, ce prix est tantôt égal à 1,30 e, tantôt égal à 2,80 e. On dit que X est une variable aléatoire et on représente cela par le tableau ci-dessous qu’on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X. X 1,30 2,80 p 0,8 0,2 Définition – Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre réel. Dans notre exemple précédent, – l’expérience aléatoire est de choisir un acheteur de stylo au hasard ; – les deux issues sont l’achat du 1er stylo ou l’achat du 2e stylo ; – le nombre réel associé à l’achat du 1er stylo est son prix 1,30 et le nombre réel associé à l’achat du 2e stylo est 2,80. Définition – Loi de probabilité d’une variable aléatoire. La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète associe une probabilité à chaque valeur de la variable aléatoire. Cette loi est présentée par le tableau suivant : X p

1b

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

Espérance, variance et écart-type.

Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions. Exemple Revenons à l’exemple précédent. On répète n fois l’expérience aléatoire décrite dans cet exemple, et on calcule • f et g les fréquences respectives des achats du 1er ou du 2e stylo. • m la moyenne du prix payé par client : m = f × 1, 3 + g × 2, 8 • V la variance du prix payé par client : V = f × (m − 1, 3)2 + g × (m − 2, 8)2

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II COURS – page II-2

Chapitre 7 – Probabilités On obtient par exemple les résultats ci-dessous.

s est le nombre d’achats du 1er stylo, et t est le nombre d’achats du 2e stylo. s t Par conséquent : f = et g = n n 10

n

50

100

500

1000

s f t g m On sait d’après la loi des grands nombres que lorsque n devient grand, la fréquence f se rapproche de la probabilité 0,8 et la fréquence g se rapproche de la probabilité 0,2. Or la moyenne m de la variable aléatoire X est donnée par m = f × 1, 3 + g × 2, 8 Donc, lorsque n devient grand, la moyenne m se rapproche de 0, 8 × 1, 3 + 0, 2 × 2, 8 = 1, 6 On dit que 0, 8 × 1, 3 + 0, 2 × 2, 8 est l’espérance de la variable aléatoire X. Définition - Espérance d’une variable aléatoire X est une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : X x1 x2 ... xn p p1 p2 ... pn Alors • l’espérance mathématique de la variable aléatoire X, notée E(X), est définie par : E(X) = p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn • la variance de la variable aléatoire X, notée V(X), est définie par : V(X) = p1 (x1 − E(X))2 + p2 (x2 − E(X))2 + · · · + pn (xn − E(X))2 • l’écart-type q de la variable aléatoire X, noté σ(X), est défini par : σ(X) = V(X) Propriété – Espérance et moyenne Une épreuve aléatoire a pour variable aléatoire X de loi de probabilité donnée par le tableau suivant : X p

x1 p1

x2 p2

... ...

xn pn

On répète n fois cette épreuve aléatoire et on obtient le tableau de fréquence suivant X p

x1 f1

x2 f2

... ...

xn n

La moyenne est donnée par m = f1 x1 + f2 x2 + · · · + fn xn À cause de la loi des grands nombres, la moyenne m se rapproche de E(X) lorsque n devient grand.

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II COURS – page II-3

Chapitre 7 – Probabilités

1c

Utilisation de la calculatrice

Un commentaire du programme de mathématiques de 1re S indique que l’on exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d’un logiciel pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire. Consignes et remarques pour tous les modèles. Saisir les valeurs de la variable aléatoire x1 , x2 , . . ., dans la première colonne et les probabilités p1 , p2 , . . ., dans la deuxième colonne (sauf pour la TI 89, voir plus bas). Les probabilités p1 , p2 , . . .joueront donc le rôle que jouaient les effectifs n1 , n2 , . . ., mais leur somme sera égale à 1. L’espérance sera donnée par la moyenne x. Les calculatrices donnent l’écart-type σ et pas la variance, mais on peut calculer la variance V sachant que : V = σ 2 TI 82 Saisie des données : touche stats , puis choisir 1:Edite Calculs : appuyer à nouveau sur stats , choisir CALC, puis 1:Stats 1-Var, puis compléter ainsi : Stats 1-Var(L1 ,L2 ) et valider. Espérance/moyenne :

x

écart-type :

σx

TI89 Saisie des données Touche APPS , icône Data/Matrix, ENTER choisir 3:New..., valider. Type:

Data

Variable:, saisir le nom du fichier de données, par exemple stat1.

Compléter les colonnes c1 et c2. Dans la colonne c2, la TI 89 n’accepte que des nombres entiers. Il faut donc multiplier les probabilités par 10, 100 etc. pour obtenir des nombres entiers. Calculs Touche F5 Calculation type, touche → et choisir 1:OneVar x, saisir c1 Use Freq and Categories, touche → et choisir 2:YES Freq, saisir c2 Include Categories effacer Espérance/moyenne :

x

écart-type :

σx

CASIO Saisie des données Touche MENU , icône STAT , valider, puis compléter les colonnes List 1 et List 2. Calculs Touche MENU , icône STAT , valider, puis appuyer sur F2 (CALC), puis sur F6 (SET), et compléter ainsi : 1 Var X List : List1 (appuyer sur F1 )

1 Var Freq : List2 (appuyer sur F2 )

Appuyer sur EXIT F1 (1 VAR) Espérance/moyenne : 1re S – Mathématiques

x

écart-type :

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II COURS – page II-4

Chapitre 7 – Probabilités

1d

Propriété de l’espérance et de la variance

Propriété Pour une variable aléatoire X et deux nombres a et b, on a les égalités suivantes : E(aX + b) = aE(X) + b V (aX) = a2 V (X) σ(aX) = |a| × σ(X). Démonstration 1 : voir manuel Hyperbole, paragraphe 2 page 282.

2

Répétition d’expériences identiques et indépendantes

Le programme de 1re S indique qu’un élève doit savoir – représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré ; – utiliser cette représentation pour déterminer la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation. Propriété Dans le cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. Exemple 1 : représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré. Une urne contient une boule noire et deux boules blanches. On prend une boule au hasard, on la remet, puis on prend à nouveau une boule au hasard. On appelle cela deux tirages avec remise. Ces deux expériences aléatoires successives sont identiques parce que les deux tirages successifs se déroulent dans les mêmes conditions, et elles sont indépendantes, parce que l’issue du premier tirage (noire ou blanche) n’a pas influence sur l’issue du deuxième tirage. Calculons la probabilité de l’évènement : « obtenir deux boules noires » Cet évènement est la liste de résultat N et N, c’est à dire obtenir une boule noire puis une boule noire, donc, d’après la propriété ci-dessus : 1 1 1 p(N et N) = p(N) × p(N) = × = 3 3 9 Les autres calculs indiqués ci-dessous, à droite de l’arbre pondéré, se font de la même façon, d’après la même propriété. 1 3 1 3

N 2 3 1 3

b

2 3

B 2 3

N B N B

1 1 1 × = 3 3 9 2 1 2 p(N et B) = × = 3 3 9 2 2 1 p(B et N) = × = 3 3 9 2 2 4 p(B et B) = × = 3 3 9 p(N et N) =

Exemple 2 : utiliser un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation. Voir exercice sur fiche no D18 2

1. Cette démonstration est demandée dans le programme de mathématiques de 1re S. 2. exercice 18 p. 352 du manuel Déclic de 1re S

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