Chapitre 9 : Espaces probabilisés finis

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Chapitre 9

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Chapitre 9 : Espaces probabilisés finis

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Généralités

Avant de donner le cadre rigoureux des probabilités, commençons par expliquer un peu d’où viennent les notions.

1.1

Introduction

La théorie des probabilités s’intéresse aux expériences aléatoires : ce sont les expériences renouvelables (du moins en principe) et qui, renouvelées dans des conditions identiques ne donnent pas à chaque fois le même résultat. Exemple.

1. Le jeu de Pile ou Face.

2. Les jeux de dés ou de carte. 3. Le temps d’attente du RER B à la station Luxembourg à 19 heures.

1.2

Problème de modélisation

Pour étudier les phénomènes aléatoires, il faut isoler l’expérience aléatoire et construire un modèle probabiliste qui permette de faire des prévisions. Ces prévisions n’ont de sens que relativement au modèle choisi. Dans la théorie moderne des probabilités, le modèle est donné par un ensemble Ω, qui est l’ensemble des réalisations possibles (on dit encore « issues »). Ω est appelé univers (ou ensemble des issues). Le choix de Ω est le choix de la manière de décrire un évènement. Les éléments de Ω sont aussi appelés évènements élémentaires. Dans ces premiers chapitres de probabilités, Ω sera fini Lors de l’étude d’une expérience aléatoire, on s’intéresse à certain résultats qui ne sont pas que des évènements élémentaires. Exemple. On lance un dé. Dans ce cas on prend souvent (mais ce n’est pas obligatoire !) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On s’intéresse à la caractéristique : « le résultat est pair ». Dans ce cas il faut prendre en compte toutes les évènements élémentaires {2}, {4}, {6}. Autrement dit, seule la réunion de ces évènements élémentaires nous intéresse. On parle alors de la partie {2, 4, 6} comme d’un évènement. Lors de la modélisation d’un phénomène aléatoire, il est nécessaire de préciser quels sont les évènements auxquels on va s’intéresser. Ces évènements sont des parties de Ω. On précise donc une sous-ensemble A ⊂ P(Ω) qui sera l’ensemble des évènements. En général, et nous y reviendrons ultérieurement (à l’occasion des espaces probabilisés infinis), l’ensemble A doit vérifier certaines propriétés, qui en font une tribu. Lorsque Ω est fini, il est toujours possible de prendre A = P(Ω). Nous dirons que (Ω, A) est un espace probabilisable. Une dernière prémisse est la donnée de la manière dont on code numériquement le possibilité qu’un événement se réalise. Cette donnée est celle de la probabilité, on obtient alors un espace probabilisé

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(Ω, A, P ). Pour satisfaire l’idée « fréquentiste » que l’on a des probabilités, on choisit P suivant une idée préconçue. On fait parfois le choix de l’équiprobabilité (lorsque Ω est fini) : tous les évènements élémentaires ont le même poids, et la probabilité d’un évènement est donné par le nombre d’évènements élémentaires qui composent l’évènement, divisé par le nombre total d’évènements élémentaires. Dans la pratique, le choix du modèle est difficile et sera imposé par les hypothèses des énoncés dans la plupart des cas.

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Exemples

Exemple. – Expérience aléatoire : On lance une pièce de monnaie homogène. On observe le côté de la pièce à l’arrêt. – Evèvements élémentaires : Il y a deux évènements possibles ; le côté P (Pile) ou le côté F (Face). – Univers : c’est l’ensemble des évènements élémentaires : Ω = {P, F }. – Evènements (ici, nous allons prendre A = P(Ω)). Les évènements sont constiuté des évènements élémentaires {P } et {F }, de l’évènement impossible ∅ (qui correspondrait à ne tomber ni sur Pile, ni sur Face) et l’évènement certain Ω, qui correspond à tomber sur Pile ou sur Face. – Si on réalise cette expérience en pratique, les fréquences d’apparition sont de l’ordre 1 de pour les deux évènements élémentaires, 0 pour l’évènement impossible et 1 pour 2 l’évènement certain. – Probabilité : on choisit une hypothèse d’équiprobabilité ; on suppose que les fréquence d’apparition en simulation représentent la probabilité d’apparition. Ainsi P (∅) = 0, 1 P (Ω) = 1 et P ({P }) = P ({F }) = . On parle alors de probabilité uniforme sur Ω. 2 Un exemple qui permet de prendre conscience du lien entre évènements et opération ensemblistes : Exemple. – Expérience : On lance n fois une pièce équilibrée. On considère la suite des résultats obtenus. – Univers : Ω = {P, F }n . – Exemple d’évènements : pour tout k ∈ [[ 1 ; n ] , on considère Ek : le premier Pile est obtenu au kième lancé. Si n = 4, les évènements élémentaires (F, P, P, F ) et (F, P, F, F ) font parti de E2 . On pose aussi E0 = {(F, F, F, . . . )} l’évènement (élémentaire) « il n’y a que des Faces ». La famille (E0 , . . . , En ) est une partition de Ω. On parle alors de système complet d’évènements. Exemple. On jette deux dés à 6 faces, équilibrés. – Si les deux dés sont discernables (par leur couleur par exemple), on prend Ω = 1 {1, . . . , 6}2 , et on peut faire l’hypothèse de l’équiprobabilité : P ((i, j)) = . 36 – Si les deux dés sont indiscernables, on s’intéresse par exemple à la valeur de leur somme. On prend Ω = {2, 3, . . . , 12}, A = P(Ω). Si on veut être proche des fréquences obtenues par simulation, on ne choisit pas P uniforme, on posera par exemple P (6) = 1 5 et P (2) = . 36 36

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Espaces probabilisés

3.1

Résumé de la section précédente

Regroupons ici les définitions annoncées ci-dessus. Définition 3.1.1 1. Une expériences aléatoires est une expérience renouvelable et qui, renouvelées dans des conditions identiques ne donnent pas à chaque fois le même résultat. 2. Un évènement élémentaire (ω) est un résultat possible de l’expérience. 3. L’Univers (Ω) est l’ensemble des évènements élémentaires. 4. ∅ et Ω qui sont les évènements impossible et certain.

3.2

Espaces probabilisables

Dans tout ce qui suit, et tant que l’on n’aura pas parlé de séries, Ω est fini et A = P(Ω). Définition 3.2.1 Soit Ω un ensemble fini et A une algèbre de parties de Ω. Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable. Les éléments de A sont appelé les évènements. L’algèbre A représente l’ensemble des résultats que l’on peut observer. Pour l’étude des univers finis, on supposera toujours pour simplifier que A = P(Ω). Mais attention, ceci ne sera plus vrai ultérieurement !. Remarque. Insistons : en général un espace probabilisable est un ensemble muni d’une tribu (ou σ-algèbre) d’événements A. Lorsque Ω est fini, toute algèbre est une tribu : notre définition est bien correcte. Nous définirons les tribus dans un chapitre ultérieur. Définition 3.2.2 (Opérations) Si A et B sont des évènements, « A ou B » est l’évènement A ∪ B et « A et B » l’évènement A ∩ B. L’évènement contraire de A est A¯ (complémentaire pris dans Ω). S Remarque. Si (Ω, A) est un espace probabilisable T fini, A1 , . . . , An ∈ A, alors ni=1 Ai est l’évènement « l’un au moins des Ai est réalisé » et ni=1 Ai est l’évènements « tous les Ai sont réalisés ». Définition 3.2.3

Si A et B sont deux évènements d’un univers Ω tels que A ⊂ B, on dit que l’évènement A implique l’évènement B (Si A est réalisé, alors B aussi). Définition 3.2.4 Deux évènements A et B sont dits incompatibles si et seulement si A∩B = ∅ (ils n’ont aucun évènement élémentaire en commun ; ils ne se produisent jamais simultanément). Un système complet d’évènements (En ) est une partition de l’univers Ω à l’aide d’évènements. Tout évènement élémentaire ω ∈ Ω est dans un des évènements En et dans un seul.

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¯ est un système complet d’évènements. Exemple. Si A est un évènement, {A, A} Si Ω = {1, 2, 3, 4}, {{1}, {2, 3}, {4}} est un système complet d’évènements. Remarque. Il est parfois utile de ne pas numéroter un système complet d’événement. On peut se donner I une partie finie de N et (Ei )i∈I une famille finie d’événements de (Ω, P(Ω)), et préciser c’est un système complet d’événements lorsque 1. ∀i, j ∈ I, i 6= j ⇒ Ei ∩ Ej = ∅ S 2. i∈I Ei = Ω.

3.3

Espaces probabilisés

Définition 3.3.1 Soit (Ω, A) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω, A) toute application P : A → R+ telle que 1. P (Ω) = 1 2. Pour tout couple (A, B) d’évènements incompatibles, P (A ∪ B) = P (A) + P (B). C’est-à-dire ∀A, B ∈ P(Ω), A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B)P (A) + P (B) Si P est une probabilité sur Ω, le triplet (Ω, A, P ) est appelé espace probabilisé. Remarque. Il y a souvent plusieurs choix possibles de probabilité... Remarque. Si ω ∈ Ω, on note pour simplifier (mais c’est un abus de langage) P (ω) = P ({ω}). Définition 3.3.2 Une propriété est vraie presque sûrement (on note p.s.) si elle est vraie en dehors d’un ensemble de probabilité nulle. Cette notion dépend de la probabilité choisie. Proposition 3.3.1 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Alors P (∅) = 0. Démonstration : En effet P (∅ ∪ ∅) = 2P (∅) = P (∅).

Il en résulte par récurrence : Proposition 3.3.2 (Additivité finie) Si A1 , . . . An sont des évènements deux à deux incompatibles, ! n n X [ P (Ai ) Ai = P i=1

i=1

Remarque. En particulier, si A = {ω1 , . . . ωn } est un évènement, union d’évènements n P P (ωk ). élémentaires de A, alors P (A) = k=1

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Proposition 3.3.3 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Soit A, B ∈ A des évènements. Alors P (B r A) = P (B) − P (B ∩ A) Démonstration : En effet B = (B ∩ A) ∪ (B r A) et ces deux évènements sont incompatibles.

Proposition 3.3.4 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et A un évènement. ¯ = 1 − P (A) P (A) Démonstration : An effet, A¯ = Ω r A.

Proposition 3.3.5 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Alors ∀A ∈ A, 0 6 P (A) 6 1 et ∀A, B ∈ A, B ⊂ A ⇒ P (B) 6 P (A) ¯ > 0 et P (A) = 1 − P (A) ¯ donc P (A) 6 1. Démonstration : En effet P (A) Pour le deuxième point, on remarque que P (A) = P (B) + P (A r B) > P (B).

Proposition 3.3.6 Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Soit A, B ∈ A. Alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Démonstration : A ∪ B est réunion des évènements A ∩ B, A r B et B r A qui sont deux à deux incompatibles. On a donc P (A∪B) = P (A∩B)+P (A)−P (A∩B)+P (B)−P (A∩B). D’où le résultat.

1 Exemple. On jette un dé pipé tel que la face 6 apparaisse avec probabilité , les faces 3 1 1 1,2,3 avec la probabilité et les faces 4,5 avec probabilité . 6 12 L’univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, l’algèbre est A = P(Ω). La probabilité est choisie 1 pour correspondre aux fréquences observées dans l’expérience : P (1) = P (2) = P (3) = , 6 1 1 P (4) = P (5) = et P (6) = . Elle est définie sur les évènements élémentaires, donc sur 12 3 n P A par additivité finie. C’est bien une probabilité car ∀i ∈ [[ 1 ; 6 ]] , P (i) > 0 et P (i) = 1. i=1

Soit A l’évènement « le chiffre obtenu est pair » et B l’évènement « le chiffre obtenu est supérieur à 4 ». Pour calculer P (A), on explicite A à l’aide d’évènements élémentaires : A = {2, 4, 6} 1 7 donc P (A) = P (2) + P (4) + P (6) = . De même pour P (B) = . 12 2

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Exercice. Dans le cadre de l’expérience de l’exemple ci-dessus, traduire à l’aide des évènement A et B, puis calculer les probabilités des évènements : 1. « Le chiffre est impair ». 2. « Le chiffre est pair et supérieur à 4 » 3. « Le chiffre est pair ou supérieur à 4 » 4. « Le chiffre est impair et inférieur à 3 »

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Propriétés générales

4.1

Systèmes complets d’évènements

Proposition 4.1.1 Soit (E1 , . . . , En ) un système complet d’évènements de (Ω, A, P ). Alors n X

P (Ek ) = 1

k=1

Démonstration : Ceci résulte de la définition d’un système complet d’évènements et de l’additivité finie.

Proposition 4.1.2 Soit (E1 , . . . , En ) un système complet d’évènements de (Ω, A, P ). Alors ∀A ∈ A, P (A) =

n X

P (A ∩ Ek )

k=1

Démonstration : Puisque les évènements (Ek ) sont deux à deux incompatibles, il en est de même pour les (A ∩ Ek ). Par additivité finie, on a ! n n [ X P (A ∩ Ek ) = P (A ∩ Ek ) k=1

Mais puisque

Sn

k=1

k=1

Ek = Ω, on a n [

k=1

(A ∩ Ek ) = A ∩

n [

Ek = A ∩ Ω = A

k=1

D’où le résultat.

Remarque. En particulier, on peut définir une probabilité par sa restriction à un système complet d’évènements. Exemple. Reprenons l’exemple ci-dessus, et calculons la probabilité de l’évènement C : « le ¯ est un système complet d’évènements, chiffre obtenu est un multiple de 3 ». Puisque (A, A) on a ¯ P (C) = P (C ∩ A) + P (C ∩ A) 1 1 1 Mais C ∩ A = {6} et C ∩ A¯ = {3}. Ainsi P (C) = + = . 3 6 2 J. Gärtner.

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4.2

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Equiprobabilité

Proposition 4.2.1 Sur tout espace probabilisable (Ω, P(Ω)) fini, il existe une unique probabilité P prenant la même valeur sur les évènements élémentaires. 1 Si Card Ω = n, on a ∀ω ∈ Ω, P (ω) = et n ∀A ∈ P(Ω), P (A) =

Card A Card Ω

On appelle cette probabilité la probabilité uniforme sur Ω. L’espace probabilisé obtenu modélise les situations d’équiprobabilité. Démonstration : Puisque Ω = {ω1 , . . . , ωn }, la famille ({ωk })k est un système complet d’évèn P P (ωk ) = 1. Comme P (ωk ) est choisie indépendamment de k, on a nements. On a k=1

nécessairement nP (ω1 ) = 1, puis P (ωk ) = Soit A ∈ P(Ω), alors P (A) =

n P

1 . n

P (A ∩ {ωk }) ce qui donne bien la deuxième formule.

k=1

Exemple. Un joueur lance deux fois un dé parfaitement équilibré. On choisi Ω = [[ 1 ; 6 ]]2 et A = P(Ω). Puisque le dé est équilibré, nous prenons pour P la probabilité uniforme. Notons A l’évènement « la somme des deux chiffres obtenus est 8 », et Ek l’évènement « le premier jet fournit le chiffre i ». (Ek ) est un système complet d’évènements et P (A) =

6 X

P (A ∩ Ek )

k=1

Mais A ∩ E1 est l’évènement impossible, et A ∩ E2 = {(2, 6)}, A ∩ E3 = {(3, 5)}, A ∩ E4 = {(4, 4)}, A ∩ E5 = {(5, 3)}, A ∩ E6 = {(6, 2)}. Chaque évènement élémentaire a probabilité 5 1 , ainsi P (A) = . 36 36 Exercice. On distribue 5 cartes d’un jeu de 52 cartes à un joueur. Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ? D’avoir une main avec exactement 2 cœurs ? Au moins deux têtes de couleurs distinctes ? Exactement 3 trèfles ? Exercice. On lance six fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir les six chiffres dans un ordre quelconque ?

4.3

Formule du crible

On s’intéresse maintenant aux unions quelconques d’évènements. 4.3.1

Formule de Poincaré « facile »

La formule P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) peut se généraliser, de proche en proche, à l’aide des opérations classiques sur les ensembles. Par exemple : si A, B, C sont des parties de Ω, on a, en posant D = B ∪ C, B ′ = A ∩ B et C ′ = A ∩ C (il faut comprendre toutes les étapes !) :

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P (A ∪ B ∪ C) = P (A ∪ (B ∪ C)) = P (A ∪ D) = P (A) + P (D) − P (A ∩ D) = P (A) + P (B ∪ C) − P (A ∩ (B ∪ C)) = P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C) − P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C) − P (B ′ ∪ C ′ )
= P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C) − P (B ′ ) + P (C ′ ) − P (B ′ ∩ C ′ )

= P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C) − (P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − P ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))) = P (A) + P (B) + P (C) − P (B ∩ C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) Exemple. Utiliser la formule de Poincaré pour résoudre le problème suivant : Dans une classe de 36 élèves, 22 étudient l’anglais, 22 l’allemand et 18 de l’espagnol. On sait que 10 font anglais et allemand, 9 allemand et espagnol et 11 anglais et espagnol. Combien d’élèves étudient les trois langues ? De proche en proche, on peut toujours trouver une formule analogue, en alternant les signes. Exemple. On considère l’expérience aléatoire suivante : on dispose de 5 boules numérotées de 1 à 5, et de 5 sacs numérotés de 1 à 5. On range, sans les regarder, exactement une boule par sac. Quelle est la probabilité qu’au moins une boule soit rangée dans le sac portant le même numéro ? On prend pour univers Ω l’ensemble des bijections de [[ 1 ; 5 ]] dans [[ 1 ; 5 ]]. Nous supposons que l’on est dans une situation d’équiprobabilité : A = P(Ω) et P est la probabilité uniforme. NotonsSenfin Ei l’évènement « la boule numéro i est dans le sac i ». Nous cherchons à calculer 5i=1 Ei . Nous allons utiliser la formule du Crible. 5 P – Calcul de P (Ei ) : si la boule numéro 1 est bien placée, les 4 autres peuvent être i=1

dans n’importe quel sac : il y a autant de possibilités que de bijections de [[ 1 ; 4 ]]. Ainsi 1 4! = . Le résultat ne dépend pas intrinsèquement du numéro particulier P (E1 ) = 5! 5 1 de la boule bien placée... Le même raisonnement donne ∀i ∈ [[ 1 ; 5 ]] , P (Ei ) = . 5 5 P Comme il y a 5 termes à prendre en compte, P (Ei ) = 1. i=1 P – Calcul de P (Ei1 ∩ Ei2 ) : Le calcul va être indépendant du choix de i1 et i2 . 16i1