Chapitre II : Triangles, droites remarquables.

CHAPITRE II : TRIANGLES, DROITES REMARQUABLES.

I-

29 octobre 2012

L’inégalité triangulaire. 1-

Propriété : Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme

des deux autres côtés. Soient 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 trois points du plan on a : 𝐴𝐶 ≤ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶

Remarque : Si 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 < 𝐴𝐵 , alors le triangle 𝐴𝐵𝐶 n’est pas constructible. On dit aussi que les points 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 n’existent pas.

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Remarque : Si 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 + 𝑪𝑩 , alors le point 𝑪 appartient au segment [𝑨𝑩]. ( 𝑪 ∈ [𝑨𝑩] )

Remarque : Si 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 Le triangle est constructible. On dit aussi que les trois points existent.

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II-

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Mesurer des angles.

1- On place 2- le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle. 3- On coïncide l’un des côtés de l’angle avec l’un des zéros du rapporteur. 4- On lit la mesure de l’angle sur les graduations qui correspondent au « 0° » choisi.

Propriété :

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 𝟏𝟖𝟎𝟎 .

III- Cercle circonscrit à un triangle. Médiatrice d’un segment.

1-

Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

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Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités du segment.

𝑴𝑨 = 𝑴𝑩 Donc le point 𝑴 appartient à la médiatrice du segment [𝑨𝑩]. 2-

Cercle circonscrit. 

Pour qu’un cercle passe par les points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 , il faut que son centre soit sur la médiatrice du segment AB .

 

Remarque : Un cercle passe par les points A, B et C ; si son centre appartient aux médiatrices des trois segments ∶ [𝐴𝐵] , [𝐵𝐶] 𝑒𝑡 [𝐶𝐴] .

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IV- Hauteurs d’un triangle. Définition : Dans un triangle, on appelle hauteur la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Remarque : Dans un triangle il y’a trois hauteurs. Propriété : Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle.

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Vocabulaire : On dit que CH est la hauteur issue de





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C

ou bien la hauteur relative au côté

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AB.

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V-

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Médianes d’un triangle. Définition : On appelle médiane d’un triangle la droite qui relie le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.

1

Remarque : Dans un triangle il y’a trois médianes. Propriété : Les médianes d’un triangle ont un point d’intersection on dit qu’elles sont concourantes. Ce point de concours, noté souvent G. On l’appelle le centre de gravité du triangle.

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VI- Bissectrices d’un triangle : Définition 1 : (Bissectrice d’un angle.) On appelle bissectrice d’un angle : La droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure. Définition propriété : Dans un triangle les trois bissectrices sont concourantes, leur point de concours est le centre du cercle inscrit.

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