Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

1/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

Objectifs. a) Déterminer la probabilité dans des situations d’équiprobabilité. b) Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. c) P(A U B)+P(A  B)= P(A)+P(B)

Activité d'approche n°1 Un sac contient 6 boules numérotées 1, 1, 2, 3, 4 et 4. On tire une boule au hasard, et on note son numéro. Complétez le tableau ci-dessous : Numéro tiré (ou « issue » ou « résultats »)

Total

Probabilité Expliquez vos calculs sur les probabilités : .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................

1/16

2/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Cours n°1

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini I) Vocabulaire Définition n°1 : aléatoire Une expérience est dite aléatoire si : - elle conduit à des résultats possibles qu'on peut nommer. - on ne …............. pas laquelle de ces issues va se réaliser Définition n°2 : issues Les différents résultats d’une expérience aléatoire s’appellent les éventualités ou issues. L’ensemble des éventualités s’appelle l’univers, on le note souvent Ω. Exemple n°1 On lance un dé à 10 faces. Les issues possibles sont : ........................................................................................... Définition n°3 : événement Un événement est une partie de l'univers Ω, c'est à dire un ensemble d'issues. L’événement est réalisé si l'issue fait partie de l'ensemble des issues de l’événement. Exemple n°2 Avec un dé à 4 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est pair ». . Je lance le dé et j'obtiens 9. L’événement est-il réalisé ? ........ . Combien d'issues comporte l'événement « le numéro sorti est pair » ? ......... . Quelle est la probabilité théorique de l’événement « le numéro sorti est pair » ? ..........

2/16

3/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Définition n°4 : événements particuliers • Ω s’appelle l’événement c…......................... • Ø s’appelle l’événement i............................. • {a} s’appelle un événement …................................. (il est formé d’une seule éventualité). Un événement

Un événement

L'événement c............... Un événement B. Définition n°5 : opérations sur les évènements Soient A et B deux événements. .L'événement A

∩ B (se lit « A inter B ») est constitué des issues qui

figurent à la fois dans l'événement ... et dans l'événement .... Si l'expérience produit une issue qui est commune à A et à B, l'événement est réalisé. .L'événement A U B (se lit « A union B ») est constitué de la réunion des issues qui figurent dans l'événement A et des issues qui figurent dans l'événement B. Si l'expérience produit une issue qui est dans A ... une issue qui est dans B, l'événement est réalisé. .L'événement A (se lit « non A ») est constitué des issues qui ne figurent ….... dans l'événement A. .Deux événements sont dits i................................ s'ils n'ont aucune issue en commun.

3/16

4/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Exemple n°3 Avec un jeu de 32 cartes, on note l'événement A : « la carte est rouge. », l'événement B : « la carte est noire. », l'événement C : « la carte est une reine . » et l'événement D : « la carte est un trèfle . Donnez les issues de : . l'événement A

∩ C : ......................................................................................................

................................................................................................................................................ . L'événement A : ...................................................................................................... ................................................................................................................................................ . L'événement A U D : ...................................................................................................... ................................................................................................................................................ Citez deux événements incompatibles : ....................................................................

Exercice n°1 On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. On appelle : . C l’événement « la carte tirée est un coeur ». . F l'événement « la carte tirée est une figure (roi, dame ou valet) ». 1. Décrire par une phrase l'événement C

∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?

2. Décrire par une phrase l'événement C U F. Combien compte-t-il d'issues ? 3. Décrire par une phrase l'événement C

∩ F. Combien compte-t-il d'issues ?

4. Décrire par une phrase l'événement C U F Combien compte-t-il d'issues ? Exercice n°2 Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On choisit un élève au hasard et on nomme : . G l'événement « l'élève a la gastro-entérite » . R l'événement « l'élève a un rhume » Décrire à l'aide de ces deux événements : 1. « l'élève a la gastro-entérite et le rhume ». 2. « l'élève a le rhume, mais pas la gastro-entérite » 3. « l'élève a au moins une des deux maladies » 4. « l'élève n'a aucune des deux maladies ». 4/16

5/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Activité d'approche n°2

I) Utilisation de « ALEA.ENTRE.BORNES() » et de NB.SI 1. Dans un tableur on peut simuler un tirage aléatoire : .En tapant =ALEA() dans une cellule, on affiche un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. .En tapant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6), on affiche un nombre entier aléatoire entre 1 et 6 (comme pour un dé). Faites un essai en entrant =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) dabs la cellule A1, et en recopiant cette cellule vers le bas 500 fois (utilisez la « poignée de recopie » ) 2. On veut pouvoir compter, dans une colonne, le nombre de « 1 ». Pour cela, il suffit d'utiliser la formule =NB.SI(colonne à tester;«=1»). Faites un essai en entrant =NB.SI(A1:A500;«=1»)

II) Simulation de lancer d'un dé à 6 faces. Ouvrez un nouveau classeur. 1. Dans la colonne A, simulez 10 lancers de dés à 6 faces. a. En B1, indiquez le nombre de 1 En B2, indiquez le nombre de 2 etc. b. On appelle fréquence le rapport nombre de fois où l ' événement s ' accomplit . nombre de lancers En C1, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 1 ». En C2, calculez la fréquence de l'événement « obtenir 2 ». Etc. Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................ C2 : ................ C3 : ................ C4 : ................ 5/16

C5 : ................ C6 : ................

6/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini 2. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancés à 100 et recalculez les fréquences de chaque événement. Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................ C2 : ................ C5 : ................ C3 : ................ C6 : ................ C4 : ................ 3. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 1000 et recalculez les fréquences de chaque événement. Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................ C2 : ................ C5 : ................ C3 : ................ C6 : ................ C4 : ................ 4. Dans la colonne A, augmentez le nombre de lancers à 10000 et recalculez les fréquences de chaque événement. Recopiez les fréquences ci-dessous, au millième près : C1 : ................ C2 : ................ C5 : ................ C3 : ................ C6 : ................ C4 : ................ 5. Comparez les fréquences obtenus. Que semble-t-il se passer ? 6. Si l'on poursuivait indéfiniment les lancers, les fréquences se rapprocheraient d'un nombre, lequel ? ........ Ce nombre s'appelle la probabilité de l'événement.

6/16

7/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Cours n°2 II) Probabilités sur un univers Ω fini. Définition n°6 On appelle probabilité le nombre vers lequel tend la f..................................... de réalisation d'un événement quand on répète l'expérience aléatoire un nombre i............................................ de fois. Exemple n°4 Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l’événement : « le nombre sorti est 1». Quelle est la probabilité théorique de cet événement ? .......... Propriété n°1 La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'un univers vaut ….. Exemple n°5 Avec un dé à 6 faces, on s'intéresse aux événements : « le nombre sorti est 1», « le nombre sorti est 2», etc. Quelle est la probabilité de chacun de ces événements ? .......... Quelle est la probabilité que de l'événement « obtenir un nombre » ? ..........

Exercice n°3 Ex.13 p.249 (Hyperbole 2010) Exercice n°4 On considère un dé à 6 faces pipé. En utilisant le tableau suivant, calculez P(6) : Face

1

Probabilité 0,1

2

3

4

5

0,2

0,1

0,15

0,15

Activité d'approche n°3 Activité 2 et 3 p.240 (Hyperbole 2010)

7/16

6

8/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Cours n°3 III) Calculs de probabilités Définition n°7 : probabilité d'un évènement La probabilité d'un événement est la s…...................................... des probabilités des issues qui le réalisent. Exemple n°6 On lance un dé truqué à 6 faces, dont les probabilités vérifient les relations suivantes : P(1)=2P(2) ; P(3)=2P(2) ; P(4)=2P(2) ; P(5)=P(2) ; P(6)=2P(2) Quel est la probabilité de l'événement E : « obtenir un multiple de 3 » ? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Propriété n°2 P( A )=.... – P(A) Exemple n°7 Avec un dé à 10 faces, on s'intéresse à l'événement : « le nombre sorti est différent de 1». Quelle est la probabilité de cet événement ? .................................................... Propriété n°3 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(.... …. ….) Démonstration : ….................................................................................................................................................. .....................................................................................................................................................

8/16

9/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Exercice n°5 On considère les événements A et B tels que P(A)=0,6, P(B)=0,5 et P(A

∩ B)=0,3. Calculez P(A U B).

Exercice n°6 A et B sont deux événements incompatibles. Calculer P(A U B) si P(A)=0,3 et P(B)=0,5 Exercice n°7 On lance trois fois une pièce bien équilibrée. 1. Représentez la situation par un arbre. 2. Quelle est la probabilité : a. d'avoir 3 « faces » ? b. que le deuxième jet soit « face » ? c. que le troisième jet soit différent du premier ? Exercice n°8* On lance deux dés à 6 faces, et on regarde la somme obtenue. 1. Donnez l'ensemble des résultats possibles. 2. Tous les événements élémentaires ont-ils la même probabilité ? Donnez la probabilité de chaque événement élémentaire. 3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? 4. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ou plus ? Exercice n°9** On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet dans le jeu, avant d'en tirer une seconde. 1. Combien y a-t-il d'issues ? 2. Calculez la probabilité de : a. tirer 2 cœurs ; b. ne pas tirer de cœur ; c. tirer exactement un cœur ; d. tirer deux fois la même carte ; e. tirer deux cartes différentes ; f. tirer le roi de cœur.

9/16

10/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Cours n°4 IV) Lois de probabilités Définition n°8 Une loi de probabilité sur un univers, est une f............................. qui, à chaque événement élémentaire de cette univers, fait correspondre une p........................................ Exemple n°8 a. On lance une fois un dé à 20 faces, Si le dé n'est pas truqué, chaque événement élémentaire a autant de chance de se produire qu'un autre (on parle d'équiprobabilité). Sachant que la somme de toutes les probabilités des événements élémentaires vaut 1, la probabilité d'un événement élémentaire vaut : ................ b. On lance une fois deux dés à 6 faces et on calcule la somme. Faites un arbre des possibilités :

En déduire les probabilités des événements élémentaires : p(1)=....... ; p(2)=.......... ; …...................................................................................................... ….................................................................................................................................................. Définition n°9 Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement élémentaire A est donnée par P(A)=

1 n ...................... d ' i .............. p ...............................

Voir exemple a précédent.

10/16

11/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Exercice n°10 Ex.2 p.248 (Hyperbole 2010) Attention : ne réaliser la simulation que 20 fois. Exercice n°11* Ex.21 p.250 (Hyperbole 2010) Exercice n°12* Ex.19 p.250 (Hyperbole 2010) Exercice n°13* Ex.20 p.250 (Hyperbole 2010) Exercice n°14** Ex.33 p.252 (Hyperbole 2010)

11/16

12/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Indices permettant de savoir si on a juste ou faux. 1 1 1 1 ; ; ; 6 3 3 6 Ex.1 : Dans le désordre : 6,7,8,9,10,6,7,8,9,10,6,7,8,9,10 (15 Act.1 : Dans le désordre :

issues) ; R ; D ; V (3 issues) ; V,D,R, V,D,R, V,D,R (9 issues) ; 6,7,8,9,10,V,D,R, V,D,R, V,D,R, V,D,R (17 issues) Ex.2 : 1. G

∩ R 2. R ∩3. G U R 4.

2 6

Act.2 : Si tout est fait correctement, toutes les fréquences tendent vers la valeur décimale approchée de Ex.3 : a.

1 6.

1 1 b. 4 2

Ex.4 : 0,3 Act.3 : Act.2 du livre : a. 1;2;3;2;3;4;3;4;5;4;5;6 b. « Obtenir une somme égale à 4 » - Act.3 du livre : a. b.

1 12

Ex.5 : 0,8 Ex.6 : 0,8 Ex.7 : 1.

2. a.

12/16

1 1 b. c. 8 A 2

13/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Ex.8 : 1. {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 2. 4 3 2 1 1 ; ; ; 3. 36 36 36 36 2 Ex.9 : 1. 1024 2a.

64 1024

b.

4.

1 2 3 4 5 6 5 ; ; ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 36

7 12

576 192 1 c. d. e. 1024 1024 32

992 1 31 f. + 1024 32 1024 Ex.10 : a.

192 1024

, P( R)=

1 3 , P( N)= b. 10 10

Casio graph35 : OPTN->F6->F4->F2, puis (, puis OPTN->F6->F3->F4->F1,puis *10)+1 EXE EXE EXE …. TI 83 : MATH > (pour atteindre NUM) 5, puis touche MATH > > > (pour atteindre PRB) 1, puis *10+1 ENTER ENTER ENTER ENTER... Ex.11 : a. b. A : {(2,1),(2,3),(2,4)} B : {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} c. {(2,3)} d. 4 1 1 6 1 = ; = e. 12 3 12 12 2 Ex.12 : a. {1} {3,4,5,6} {2,4,6} b. A U B : {1,3,4,5,6} B

∩C:

{4,6} P(A)=

1 4 3 1 P( B)= P( C)= = P(A U B) = P(B 6 6 2 6

∩ C)=

Ex.13 : 1a. {R,R} ; {R} 1b. L'un est un sous-événement de l'autre.

13/16

3 1 = ; 12 4

14/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini 1c. Indice : Faire la liste de toutes les cartes et entourer...2. P(A)= P( C)= P(A

1 ; 8

∩ C) =

1 1 1 ; P( B ∩ C) = ; P(A U B) = 16 32 2

Ex.14 : a. b.

2 1 2 = c. « Au moins un jeton est resté à sa place » ; P( U ) = 6 3 3

14/16

1 1 ; P(B)= ; 2 4

15/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

15/16

16/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini

16/16