Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Extrait du

Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Extrait du programme :

I.

Schéma de Bernoulli 1. Epreuve et loi de Bernoulli

Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire admettant exactement deux issues : l’une appelée succès et notée S, de probabilité d’apparition p, et l’autre appelée échec, notée E ou S de probabilité d’apparition p Exemple : Une urne contient dix boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme un succès le fait de tirer une boule rouge.  Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule rouge » et pour échec S : « Tirer une boule bleue » . Propriété : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant pour valeur 1 si S se produit et 0 sinon , a la loi de probabilité ci-contre : k 0 1 PXk p p Son espérance est EX  p et sa variance est V(X  p  p On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p, ou que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Exemple : A l’épreuve de Bernoulli de l’exemple ci-dessus est associée la loi de Bernoulli de paramètre p   . Elle est définie dans le tableau suivant : 

k 0 1 PXk    

2. Schéma de Bernoulli Définition : On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre p. Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre de probabilité , il aura alors 2n branches Exemple : Dans l’urne de l’exemple précédent, on tire une boule puis on la replace dans l’urne avant d’en choisir une seconde. Les deux tirages sont donc indépendants. On peut modéliser le schéma par un arbre : Point-méthode 27 : Reconnaitre un schéma de Bernoulli a) Dans une classe de Première, il y a 12 garçons et 15 filles. Le professeur choisit au hasard la fiche d’un élève. Associer une épreuve de Bernoulli à cette situation. b) Le professeur choisit au hasard la fiche d’un élève, puis une autre au hasard. Peut-on associer un schéma de Bernoulli à cette situation ? Construire un arbre pondéré lié à cette situation. Solution : a. Une épreuve de Bernoulli existe si : - Chaque épreuve a uniquement 2 issues Lors de chaque épreuve (le choix d’une fiche au hasard), on peut décider de considérer comme succès S « L’élève choisi est une fille » et comme échec S »l’élève choisi est un garçon ». On peut donc associer une épreuve de Bernoulli à cette situation. b. Un schéma de Bernoulli existe si : - On a une épreuve de Bernoulli - Répétée à l’identique, de façon indépendante des précédentes. Dans ce cas, il n’y a pas indépendance entre les 2 épreuves : En effeit, lors du choix de la 1ère fiche, le professeur a 27 possibilités, mais pour le choix de la seconde, il n’a plus que 26 possibilités. On ne peut donc pas associer un schéma de Bernoulli à cette situation. 3. Coefficient binomial Définition : On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli. Soit k un entier naturel tel que k n. On appelle coefficient binomial, ou combinaison de k parmi n, le nombre de chemins conduisant à k n succès sur l’arbre représentant l’expérience. Ce nombre se note  k  et se lit « k parmi n ». Exemple : On reprend l’urne contenant les dix boules : 7 bleues et 3 rouges. On tire successivement et avec remise trois boules de cette urne. On peut associer à cette situation le schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 0,3 illustré par l’arbre ci-dessous.

Il y a 1 seul chemin correspondant à k = 0  donc   = 1  Il y a 3 chemins correspondant à k = 1  donc   = 3    de même on lit :   = 3 et   = 1  

II.

Loi binomiale

Définition : On considère une expérience qui suit un schéma de Bernoulli de paramètre n et p. Soit k un entier naturel tel que k n. On associe à l’expérience la variable aléatoire X qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note bn,p Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale bn,p, alors pour tout entier k compris n k nk entre 0 et n, la probabilité que X soit égale à k est : pX  k   k  p   p Exemple : Si on reprend l’exemple précédent : Les coefficients binomiaux étant connus, on détermine aisément la loi binomiale b(3 ; 0,3)     0,30  0,73 = 1  0,30  0,73 = 0,343 p(X = 0) =   p(X = 1) =    0,31  0,72 = 3  0,31  0,72 = 0,441   p(X = 2) =    0,32  0,71 = 3  0,32  0,71 = 0,189   p(X = 0) =    0,33  0,70 = 1  0,33  0,70 = 0,027  Propriété (admise) : Soit une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale bn,p, EX  np

VX  np  p

Point-méthode 28 : Déterminer une loi binomiale En 2010, en France, il y avait 22% de femmes dans les conseils municipaux. On choisit au hasard, et de manière indépendante, trois membres des conseils municipaux sur le territoire français. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes choisies. a. Justifier que la loi de probabilité X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que, parmi les trois personnes choisies, exactement deux soient des femmes ? Solution : a. La rédaction pour justifier une loi binomiale est à savoir par cœur.

On répète n fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli (expliquer l’épreuve), dont la proba de succès (expliquer le succès) est p. Alors X suit une loi binomiale de paramètre n et p : X~b ( n;p ) On répète 3 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli (choisir un membre du conseil municipal), dont la probabilité de succès (choisir une femme) est 0,22. X suit donc une loi binomiale de paramètre 3 et 0,22 : X~ b ( 3;0,22 ) n 3 b. P ( X = 2 ) =2  p²  ( 1 − p )n − 2 =2  0,22²  0,781  0,113 La probabilité que, sur trois membres choisis, il y ait exactement deux femmes est d’environ 0,113. Point-méthode 29 : utilisation de la calculatrice 10 1. Calculer  3  avec la calculatrice. Interpréter le résultat 2. Soit X une variable aléatoire suivant un loi binomiale de paramètres 10 et 0,27 a. Calculer P ( X = 7 ) b. Calculer P( X ≤ 5) c. Calculer P( X ≥ 3) Solution : 1. TI : - Taper 10 - m>>>PRB3 : combinaison - Taper 3 - ENTRER Casio : -

Taper 10 OPTN F6 (>) F3 (PROB) F3(nCr) Taper 3 EXE

10 Donc  3  = 120 Cela veut dire qu’il y a 120 chemins à 3 succès lorsqu’on réalise une épreuve de Bernoulli 10 fois. 2. a. TI : - ²2nde var 0 :binomFdp - Taper 10 (valeur de n) puis , - Taper 0.27 (valeur de p) puis , - Taper 7 (valeur de k) - EXE On trouve P ( X = 7 )  0,0049 Casio : -

Menu STAT F5 (DIST)

- F5 (BINM) - F1 (BpD) - Data : Variable - x : 7 (valeur de k) - Numtrial : 10 (valeur de n) - p : 0.27 (valeur de p) - EXE b. TI : - 2nde var alpha A :binomFRep - Taper 10 (valeur de n) - Taper 0.27 (valeur de p) - Taper 5 (valeur de k) - EXE On trouve P( X ≤ 5)0,971 Casio : - Menu STAT - F5 (DIST) - F5 (BINM) - F2 (Bcd) - Data : Variable - x : 5 (valeur de k) - Numtrial : 10 (valeur de n) - p : 0.27 (valeur de p) - EXE c. Les calculatrices ne font pas les calculs avec les ≥, il faut donc d’abord repasser aux ≤ grâce à l’événement contraire. On fera attention de bien décaler la valeur dans ce cas : P( X ≥ 3) = 1- P(X ≤ 2) TI : -

2nde var alpha A :binomFRep Taper 10 (valeur de n) Taper 0.27 (valeur de p) Taper 2 (valeur de k) EXE Taper 1 – 2nde rép

On trouve : P( X ≥ 3) = 1- P(X ≤ 2) 0,534 Casio : -

Menu STAT F5 (DIST) F5 (BINM) F2 (Bcd) Data : Variable x : 2 (valeur de k) Numtrial : 10 (valeur de n) p : 0.27 (valeur de p)

-

EXE Menu RUN Taper 1 – 2nde Ans