Classe de seconde 12 Jeudi 19 avril 2012 Devoir surveillé de

Classe de seconde 12

Jeudi 19 avril 2012 Devoir surveillé de mathématiques n°8

Exercice 1 (14 points) 2𝑥 On appelle 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥−1. 1. Quelle est la valeur interdite ? Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0. 2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on donnera les valeurs exactes) 𝑥 −3 −2 −1 0 0,5 1,5 2 3 4 𝑓(𝑥) 3. 4. 5. 6. 7.

5

2

Montrer que 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥−1. En déduire le tableau de variations de 𝑓 (expliquer) Tracer la courbe de 𝑓 Résoudre par l’algèbre l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0. Représenter sur le même graphique la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 . En déduire la résolution graphique de l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). 𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)

8. Montrer que 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) = . En déduire la résolution algébrique de 𝑥−1 l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). 9. Comment peut-on trouver les réels inférieurs à leur image par 𝑓 ? 10. Soit 𝑎 un réel. Quand a-t-il un antécédent par la fonction 𝑓 ? Montrer que cet 𝑎 antécédent s’obtient par la formule 𝑎−2.

Exercice 2 (6 points) Les questions sont indépendantes. Les réponses devront être justifiées 1. Parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont des fonctions homographiques : 𝑥+1 2𝑥+ 1 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1, 𝑔(𝑥) = 𝑥−3, ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥+2, 𝑘(𝑥) = 𝑥 + 𝑥. 1

1

2. Sachant que 3 ≤ 𝑥 < 5, donner le meilleur encadrement de 𝑥 1

3. Résoudre l’inéquation 𝑥 ≤ 2

Exercice 1 2𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 1. Le dénominateur ne doit pas s’annuler, la valeur interdite est donc 1. Une fraction est nulle si son numérateur est nul, 2𝑥 = 0 équivaut à 𝒙 = 𝟎. 2. 𝑥 −3 −2 −1 0 0,5 1,5 2 3 4 4 8 𝑓(𝑥) 1,5 1 0 −2 6 4 3 ⁄3 ⁄3 𝟐

3. On part de la forme proposée : 𝟐 + 𝒙−𝟏 =

𝟐(𝒙−𝟏) (𝒙−𝟏)

𝟐

+ 𝒙−𝟏 =

𝟐𝒙−𝟐+𝟐 𝒙−𝟏 1

5 2,5

𝟐𝒙

= 𝒙−𝟏 = 𝒇(𝒙)

4. Le tableau de variations est analogue à celui de la fonction 𝑥, mais la valeur interdite 𝟐

est 1, et il y a un décalage de 2 vers le haut. Comme le numérateur 𝑥−1 est positif, la fonction est décroissante comme 𝑥 𝑓(𝑥)

1

𝑥

−∞ 2

1

+∞ +∞

|| −∞

2

5.

6. On résout cette inéquation par un tableau de signes : 𝑥 −∞ 0 1 +∞ 2𝑥 − 0 + || + 𝑥−1 − | − || + 𝑓(𝑥) + 0 − || + Les solutions de l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0 sont donc ] − ∞ ; 𝟎[ ∪ ]𝟏 ; +∞[ 7. Pour résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), on regarde quand la courbe de 𝑓 est au dessus de celle de 𝑔. Les solutions sont ] − 𝟏 ; 𝟎[ ∪ ]𝟏 ; 𝟐[

8. 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥(𝑥+1)(𝑥−2) 𝑥−1

=

2𝑥 𝑥−1

=

𝑥(𝑥 2 −2𝑥+𝑥−2) 𝑥−1

𝑥 2 (𝑥−1)−2𝑥 𝑥−1

=

=

𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥

𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥 2 −2𝑥 𝑥−1

résultat. On a donc bien 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) =

. D’autre part, en développant

𝑥−1 𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥

=

𝑥−1 𝑥(𝑥+1)(𝑥−2) 𝑥−1

, on retrouve le même

.

𝑥(𝑥+1)(𝑥−2)

L’équation 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) se traduit par 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0 donc = 0. Les 𝑥−1 solutions sont donc −𝟏 ; 𝟎 ; 𝟐. 9. Pour trouver les réels inférieurs à leur image par 𝑓, il faut résoudre l’inéquation 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥). Pour cela on trace la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 (c’est une fonction linéaire) et on regarde les points où la droite est en dessous de la courbe de 𝑓. On trouve comme solution ] − ∞ ; 𝟎] ∪]𝟏 ; 𝟑] 10. D’après le tableau de variations (ou la courbe), tous les réels sauf 2 ont un antécédent par 𝑓 (car la courbe passe par toutes les ordonnées, de −∞ à +∞, en sautant l’ordonnée 2. Pour trouver l’antécédent de 𝑎, on doit résoudre l’équation 2𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎, qui s’écrit 𝑥−1 = 𝑎, soit 2𝑥 = 𝑎(𝑥 − 1) ou encore 2𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑎. On isole −𝑎

𝑎

les 𝑥 pour obtenir 2𝑥 − 𝑎𝑥 = −𝑎, donc 𝑥(2 − 𝑎) = −𝑎 et 𝑥 = 2−𝑎 = 𝑎−2. Exercice 2 𝑥+1 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 n’est pas homographique car il y a 𝑥 2 au dénominateur 2𝑥+

𝑔(𝑥) = 𝑥−3 est homographique 1

ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥+2 = 1

𝑘(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 = 2.

1 3

𝑥+2−1

𝑥+2 𝑥 2 +1

𝟏

𝑥

𝑥+1

= 𝑥+2 est homographique

n’est pas homographique car il y a 𝑥 2 au numérateur

𝟏

≤ 𝑥 < 5 donc < ≤ 𝟑 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[. 𝟓

𝒙

1

3. Pour résoudre l’inéquation 𝑥 ≤ 2 on prend les points de la courbe de la fonction inverse situés en dessous de l’ordonnée 2. 𝟏 Les solutions sont donc ] − ∞ ; 𝟎[∪ [𝟐 ; +∞[