Compléments sur variables aléatoires réelles Probabilités chapitre 1

Compléments sur variables aléatoires réelles

Probabilités chapitre 1

Dans ce chapitre ( , A ) désigne un espace probabilisable. Le but de ce chapitre est de généraliser les notions de variables aléatoires étudiées en cours de 1 ère année dans le cas discret et d’obtenir d’autres façons de calculer l’espérance ou la variance d’une variable aléatoire réelle discrète.

 Rappeler la définition d’une -algèbre ( ou tribu ) I Généralités sur les variables aléatoires réelles : 1. a.

Tribu des Boréliens : Définition :

La tribu B des Boréliens est la plus petite tribu de IR contenant les intervalles ouverts de IR. b.

Exercice :

Montrer que B contient tous les intervalles de IR. N’y a-t-il que ces ensembles dans la tribu borélienne ? 2. a.

Variables aléatoires réelles : Définition :

On appelle variable aléatoire réelle sur ( , A ) toute application X de  dans IR telle que pour tout intervalle I de IR, X-1(I) = {    / X()  I } = [ X  I ] est élément de la tribu A. b.

Théorème (admis ) :

Soit X une variable aléatoire réelle sur (  , A). Pour tout borélien B, [ X  B ]  A c.

-algèbre associée à une variable aléatoire X

Soit X une variable aléatoire réelle sur (  , A , P ) . On appelle -algèbre associée à X la plus petite tribu contenant tous les événements [ X ≤ x ] lorsque x parcourt ℝ. Elle représente l’information fournie par X. Exemple : Donner la -algèbre associée à une loi de Bernoulli. d. Opérations ( résultat admis ) : La somme, les combinaisons linéaires et les produits de variables aléatoires sur (  , A ) sont des variables aléatoires réelles sur (,A ). Si X et Y sont deux variables aléatoires sur ( ,A) alors min(X,Y) et max(X,Y) sont des variables aléatoires réelles. II Espérance et conditionnement pour les variables discrètes 1.

Existence d’une espérance par domination

a. Rappel : existence et calcul de l’espérance d’une variable aléatoire réelle discrète Une variable aléatoire réelle discrète X admet une espérance si et seulement si la série de terme général (k P[X=k]) k  X() converge absolument et dans ce cas E(X) =   b. Existence par domination Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes vérifiant : 0 ≤ |X| ≤ Y presque sûrement et si Y admet une espérance alors X admet une espérance et | E(X) | ≤ E(Y) Résultat admis  Que signifie 0 ≤ |X| ≤ Y presque sûrement ?

c. Croissance de l’espérance Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes sur (  , A , P ) telles que X ≤ Y et admettant une espérance alors E(X) ≤ E(Y) Résultat admis 2. a.

Espérance conditionnelle :

Définition :

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (  , A , P ) et A un événement de probabilité non nulle. On dit que X admet une espérance conditionnée par A si et seulement si X admet une espérance pour la probabilité conditionnelle P A. Dans ce cas l’espérance de X conditionnée par A est E( X | A ) =

1

 k PA( X = k ) = P(A)  k P( [X=k]  A ) k  X() k  X()

b. Théorème : Si une variable aléatoire réelle X discrète admet une espérance alors |X| admet une espérance et X admet une espérance E(|X|) conditionnée par tout événement A de probabilité non nulle . De plus : | E( X | A ) |  P(A) 3.

Formule de l’espérance totale :

Soit N une partie de IN. Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (  , A , P ) et ( An)nN un système complet ou presque complet d’événements de probabilités non nulles. X admet une espérance pour la probabilité P si et seulement si la série double de terme général ( k P An[X=k] P(An) )k  X(), n  N converge absolument. Dans ce cas, E(X) =



Mise en application du théorème : On note N une partie de IN et ( An )n  N un système complet ou presque complet d’événements de probabilités non nulles. 1er cas : si on sait que X admet une espérance (Ce sera les cas où X() est fini ou aussi les cas où l’on connaît k P[X=k] terme général d’une série absolument convergente.) Si X admet une espérance alors pour tout n  N, X admet une espérance conditionnelle sachant An , la série de terme général converge et : E(X) =  2ème cas : si on veut utiliser ce théorème sans connaître l’existence de E(X) Il faudra raisonner en 2 temps : 1. Montrer pour tout n  N, la convergence absolue de la série de terme général (k PAn[X=k])k  X() et calculer E(X | An ) 2. Montrer la convergence absolue de la série de terme général E(X | An ) P(An) et calculer E(X) =  4.

Exercice :

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec la probabilité p  ] 0 , 1 [ et face avec la probabilité q = ( 1-p). On note r  IN*. On considère la variable aléatoire X égale au nombre de lancers nécessaires à l’obtention pour la première fois de r piles consécutifs et Y la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier face. On suppose que X admet une espérance. 1.a . b. 2. 3.

Montrer que X admet une espérance conditionnelle E( X | [Y>r] ) pour tout r  IN* et la calculer. Pour tout i  ⟦ 1 , r ⟧ , exprimer E( X | [Y=i] ) en fonction de E(X). Montrer que P(Y > r ) = pr. En déduire l’expression de E(X) en fonction de p et de r.

Réponse : 1.a. On cherche la loi de X sachant [ Y > r ]. Si [ Y > r ] est réalisé alors on a obtenu r piles consécutifs dès les r premiers jets donc X est constante égale à r et E(X | [ Y > r ]) = r b. On cherche la loi de X sachant [ Y = i ] , i  ⟦ 1 , r ⟧ : Si [ Y = i ] est réalisé alors [X  i+r] est réalisé. Notons Ai,r : « obtenir à partir du (i+1)ème jet , le rème pile consécutif au kème jet pour la première fois »

 k  ⟦ i+r , + ⟦ , P[Y=i][X=k] = P(X=k-i) car la réalisation de Fi fait que l’expérience se retrouve dans les conditions du départ après le ième j avec i jets de moins à effectuer pour réaliser [X=k] donc la loi conditionnelle de X sachant [ Y = i ] est la loi de ( X + i ) E( X | [Y=i] ) = E(X+i) = i + E(X) ( linéarité de l’espérance ) 2.

[ Y > r ] = F1  …  Fr et par indépendance des jets, P(Y>r) = P( F1 )… P( Fr ) = p r

3.

X admet une espérance par hypothèse donc d’après la formule de l’espérance totale avec le système complet d’événements { [Y=i]1  i  r , [Y>r]} : r r E(X)= E(X | [Y>r]) P(Y>r) +  E(X | [Y=i] ) P(Y=i) = r pr +  (i + E(X) ) pi-1 q ( avec q = 1-p) i=1 i=1 r d( (1 pr+1) / (1-p) ) - (r+1)pr q + 1 - pr+1 r r E(X) = r pr + q  i pi-1 + E(X) ( 1 – pr ) = r pr + q + E(X) ( 1-p ) = r p + + E(X) ( 1- pr) dp q i=1 1 - pr+1 1 - pr Donc E(X) = q pr - 1 = (1-p) pr

III Couples de variables aléatoires : 1. Définition Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (  , A , P ) . On appelle loi du couple (X,Y), la fonction F(X,Y) : ℝ²  [ 0 , 1 ] , (x,y)  P[ (X ≤ x )  (Y ≤ y ) ] 2. Cas de l’indépendance a. Définition Deux variables aléatoires X et Y sur (  , A ,P ) sont indépendantes si et seulement si pour tous intervalles I et J de ℝ, P[ (X  I )  (Y  J ) ] = P[X  I ] P[ Y  J ] b. Exemple : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p p  ]0 ,1[ . Donner la loi de Z = max(X,Y) Z() = IN* k

k-1

i=1

i=1

 k  IN*, P(Z=k) = P([X=k]  [Yk]) + P([X