Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire

Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire à valeurs réelles 1) Di¤érentes convergences pour une suite de variables aléatoire à valeurs réelles Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires dé…nies de

à valeurs réelles. Posons an;k = P (Xn = k):

a) Convergence en loi Def : (Xn )n2N converge en loi vers X ssi pour tout f : R ! R continue et bornée, limn!+1 E(f (Xn )) = E(f (X)): Important : Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans Z, (Xn )n2N converge en loi vers X ssi 8k 2 Z, limn!+1 P (Xn = k) = P (X = k) Remarque : Il su¢ t en e¤et de considérer une fonction qui vaut 1 en k et 0 sur les autres entiers. b) Convergence en probabilité Def : (Xn )n2N converge en probabilité vers X ssi pour tout " > 0, limn!+1 P (jXn

Xj

") = 0 .

Prop : La convergence en probabilité implique la convergence en loi. Preuve : On se contente de la prouver pour les fonctions f lispchitziennes (de rapport k). On a en e¤et, jE(f (Xn )) Donc E(jf (Xn )

f (X)j)

E(f (X))j = jE(f (Xn ) P (jXn

Xj

Par pincement, limn!+1 E(jf (Xn )

")

f (X))j

k" + P (jXn

E(jf (Xn ) Xj

")

f (X)j): sup jf j

k" + P (jXn

Xj

")

sup jf j :

f (X)j) = 0, donc limn!+1 E(f (Xn )) = E(f (X)):

c) Convergence en moyenne : limn!+1 kXn

Xk1 = 0 , où kXn

Xk1 = E(jXn

Xj):

Prop : La convergence en moyenne implique la convergence en probabilité. Preuve : Par l’inégalité de Markov, on a : P (jXn

Xj

")

kXn

Xk1 "

:

d) Convergence en moyenne quadratique : limn!+1 kXn

Xk2 = 0, où kXn p Remarque : Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, kXn Xk1 kXn Xk2 . D E r p e En e¤et, avec hX; Y i = E(XY ), on a kXk1 = X; e 1 1 kXk2 :

Xk2 =

p

E((Xn

X)2 ):

2

Donc la convergence en moyenne quadratique implique la convergence en moyenne, donc la convergence en loi. Contre-exemple : Considérons Xn à valeurs dans N telle que P (Xn = n) =

1 n

et P (Xn = 0) = 1

1 n:

Alors (Xn )n2N converge en loi vers e 0, alors que V (Xn ) = n1 n2 = n, donc kXn k2 ! +1: 2) Loi faible des grands nombres a) Loi faible des grands nombres Théorème : Supposons X1 ; :::; Xn mutuellement indépendantes, de même loi X d’espérance …nie et admettant un Sn moment d’ordre 2 (donc une variance). On considère Sn = X1 + X2 + ::: + Xn et Mn = : n Mn " = 0. Alors (Mn )n2N converge en probabilité vers e, c’est-à-dire 8" > 0, limn!+1 P n

Preuve : En retranchant aux Xi , on se ramène au cas où = 0: 1 On a V (Mn ) = V (X):D’où par Bienaymé-Tchebychev, P (jMn j ") n Remarque culturelle : Le théorème central limite assure que

V (Mn ) V (X) = : 2 " n"2

p1 (X1 + X2 + ::: + Xn ) n

converge en loi vers la loi normale

(= loi gaussienne) de même espérance et variance que X, c’est-à-dire que pour tous a et b réels (avec a Z b Sn n 1 t2 p lim P a b =p exp dt n!+1 2 n 2 a

b), on a :

3) Convergence presque sûre (FF) a) Convergence presque sûre d’une suite de variables aléatoires Def : On dit que (Xn )n2N converge presque sûrement vers X ssi P (limn!+1 Xn = X) = 1. Autrement dit, f! 2

j limn!+1 Xn (!) existe et vaut X(!)g est de probabilité 1 (un événemement presque sûr).

Remarque importante : Contrairement à la convergence en loi, la convergence presque sûre dépend des corrélations des variables Xn entre elles, et pas seulement des lois des variables Xn . Prop : La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité. Exemple : Soient (Xn )n2N une suite de v.a. indépendantes, où Xn suit une loi de Bernoulli B(pn ) sur f0; 1g: ( (Xn )n2N converge en probabilité vers X = e 0 ssi limn!+1 pn = 0. En e¤et, fP (jXn Xj 1g = pn : Alors P (Xn )n2N converge presque sûrement vers X = e 0 ssi +1 n=0 pn < +1: Q Q En e¤et, P (8k n, Xk = 0) = +1 pk ), donc P (limn!+1 Xn = 0) = limn!+1 +1 pk ). k=n (1 k=n (1 Q P Elle converge vers 1 ssi (1 pn ) converge, donc ssi pn converge. b) Loi forte des grands nombres (admis)

Théorème (Kolmogorov) : Soient X1 ; X2 ; :::; Xn des variables i.i.d. On pose Sn = Alors (Sn )n2N converge presque sûrement vers , où

= E(X1 ):

X1 + X2 + ::: + Xn : n

Comportement asymptotique de suites de variables aléatoire à valeurs entières 1) Convergence simple des séries génératrices : Théorème de Lévy Remarque : Le théorème permet de prouver la convergence en loi en utilisant la cv des séries génératrices. On considère des v.a.d. Xn à valeurs dans N de loi P (Xn = k) = ak;n , de variance uniformément majorée : P v 2 v: En particulier,8n 2 N, 8k 2 N , ak;n Il existe v tel que 8n 2 N, +1 : k=0 k ak;n k2 On considère aussi une v.a.d. X de loi P (X = k) = ak . Théorème de Paul Lévy : Les assertions suivantes sont équivalentes : i) Convergence en loi : 8k 2 N, limn!+1 ak;n = ak ii) Convergence des séries génératrices complexes : P k 1, limn!+1 Gn (z) = G(z), où Gn (z) = +1 k=0 ak;n z : v Preuve : i) ) ii) : cv dominée ak;n z k : k2 P 1 R2 v ii) ) i) : ak;n = Fn (ei )e ik d , et cv dominée par '( ) = +1 k=0 2 (fonction cste). 0 2 k 2) Théorème des événements rares P Prop : Supposons Sn = ni=1 Xi;n , où les Xi;n sont indépendants et Xi;n B(pi;n ) loi de Bernoulli. P P On suppose que limn!+1 ni=1 pi;n = et limn!+1 ni=1 (pi;n )2 = 0:

Pour tout jzj

Alors (Xn )n2N converge en loi vers la loi de Poisson P( ). P P Remarque : Comme les Xi;n sont indépendants, V (Sn ) = ni=1 V (Xi;n ) = ni=1 pi;n ! : Q Idée de la preuve : La série génératrice de Sn est Fn (z) = ni=1 (1 + pi;n (z 1)): Q P Qn Pn On a j ni=1 (1 + yi ) exp( ni=1 yi )j (1 + jyi j)) : i=1 (exp( i=1 jyi j)

Or, ln(1 + u)

u

1 2 2u

pour tout u

On montre alors que 8z de module

0:

1, on a : limn!+1 Fn (z) = e(z

1)

série génératrice de Poisson.