Conditionnement et Indépendance

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Probabilités :

Conditionnement et Indépendance

I. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle ACTIVITE P 372 1. Définition On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P. Soient A et B deux évènements de Ω , avec P(A) ≠ 0. Définition : La probabilité de l’évènement B, sachant que l’événement A est réalisé, P ( A ∩ B) est noté PA(B) ou P B et est défini par : PA ( B ) = . A P ( A) On l'appelle probabilité conditionnelle de B sachant A.

( )

Remarque : On utilise aussi la formule sous la forme P ( A ∩ B ) = PA ( B ) × P ( A) . 2. Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité. On peut ainsi illustrer la situation de l’exemple à l’aide d’un arbre de probabilités.

Construction : Sur les branches primaires on note la probabilité de chacun des événements G et F. Sur les branches secondaires issues de G on note les probabilités conditionnelles « sachant G ». Sur les branches secondaires issues de F on note les probabilités conditionnelles « sachant F ». B

A P B

P B B

̅ ̅ P B Règle n°1. P B +P B = 1. La somme des probabilités marquées sur les branches secondaires issues d’un même événement est égale à 1. Remarque . Le chemin ∩ = .

A

B représente l’événement

∩

:

×

Règle n°1 : La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marquées sur les branches qui constituent ce chemin. Exercices : 5 ;7 ;8 p 383.

II. Formules des probabilités totales 1. Partition On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P. Définition : On dit que les évènements B1 , B2 ,..., Bn de probabilités non nulles forment une partition de Ω si : ▪ leur réunion B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn est égale à l'univers Ω et ▪ les événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire que l'intersection de n'importe lesquels de deux d'entre eux est vide.

Exemple : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient B1 = {1 ; 3 ; 5 } ; B2 = {2 ; 4} et B3 = {6} B1 ; B2 et B3 sont deux-à-deux disjoints et leurs réunion est égale à Ω . Ils constituent donc une partition de Ω . 2. Formule des probabilités totales Formule des probabilités totales : Soient B1 , B2 ,..., Bn des événements formant une partition de Ω . Pour tout événement A : P ( A) = P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + ... + P ( A ∩ Bn ) = PB1 ( A ) P ( B1 ) + ... + PBn ( A ) P ( Bn ) . Conséquence : Régle 3 : Dans un arbre de probabilité, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement. Exercices : 9 ; 14 p 384. 19 p 385

III. Indépendance On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P.

1. Définition : On dit que deux évènements A et B sont indépendants si P( A ∩ B ) = P ( A) × P( B) Remarques : ● Si P( A) ≠ 0 , alors A et B sont indépendants revient à dire que PA ( B ) = P ( B ) . De même, Si P( B) ≠ 0 , alors A et B sont indépendants revient à dire que PB ( A) = P ( A) . A et B sont indépendants si la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre.

●!! Attention !! Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants. 2. Exemple : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On note A l’événement : « la carte tirée est un as » et P l’événement « la carte tirée est un pique ». Les événements A et P sont-ils indépendants ? Incompatibles ?

Exercice : 24 et 25 p 386