Conditionnement

S4 Maths 2011-2012

Probabilités 1

Conditionnement - Indépendance

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences

2011-2012

Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1

Conditionnement - Indépendance 1 - Probabilité conditionnelle. La notion de probabilité conditionnelle est essentielle en calcul de probabilités. Elle apparaît naturellement lorsqu’au cours d’une expérience aléatoire, une ”information partielle” est fournie à l’expérimentateur. Exemple introductif. Considérons l’expérience aléatoire E : ”lancer deux dés discernables équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6”. On peut choisir l’espace probabilisé , A, P tel que : x, y / x, y 1, 2, . . . , 6 1, 2, . . . , 6 2 ; card 62 ; A P ; P : équiprobabilité sur , A . Soient les événements A : ”le premier dé porte le numéro 6” et B : ”la somme des numéros des deux dés est supérieure ou égale à 11”. On a A 6, y , y 1, 2, . . . , 6 6 1, 2, . . . , 6 et cardA 6 1 cardB 3 1 . B 5, 6 , 6, 5 , 6, 6 . D’où P A et P B 6 12 card card 62 62 Supposons maintenant que l’on sache que B est réalisé. Dans ces conditions, comment est modifiée la probabilité de A ? B 5, 6 , 6, 5 , 6, 6 , ensemble des seuls résultats Il est naturel de considérer le nouvel univers possibles, étant donnée l’information ”B est réalisé”. On le munit de la tribu des événenements A et P de l’équiprobabilité P sur ,A . Dans ce nouvel espace probabilisé, l’événement A devient A 6, 5 , 6, 6 . cardA 2 Ainsi, P A . En remarquant que A A B et B, on a : 3 card card A B card A B PA B card P A . cardB cardB PB card

1.1. Définition. Propriété. Définition. Soient , A, P un espace probabilisé et B un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement A (A A), on appelle probabilité conditionnelle de A sachant B (i.e. sachant que B est réalisé) le nombre réel noté P A/B défini par : PA B P A/B . PB Remarque. Lorsque A et B sont incompatibles (i.e. A

B

), on a P A/B

0.

Propriété. L’application P B définie sur est une probabilité sur

, A par : pour tout A A, P B A P A/B , A , appelée probabilité conditionnelle à B.

Preuve. Il est clair que P B est une application de A dans 0, 1 . On a : P B Stéphane Ducay

P

B PB

PB PB

1. 1

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Soit A n Alors

n

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une suite d’événements deux à deux incompatibles.

An

B

n

car pour i P

An

B , les événements A n

Aj

B

Ai

B

P

B étant deux à deux incompatibles,

n

j, A i

B

P B

Conditionnement - Indépendance

An n

An

An

B

. On en déduit que : P An

B

n

PB

n

B

Aj

B

n

PB An .

PB

PB

n

1.2. Formule des probabilités composées. Proposition. i si A et B sont 2 événements tels que P B 0, alors P A B P B P A/B P B PB A ; ii si A et B sont 2 événements tels que P A 0, alors P A B P A P B/A P A PA B ; iii si A 1 , A 2 , . . . , A n sont n événements tels que P A 1 A 2 . . . A n 1 0, alors P A1 A2 . . . An P A 1 P A 2 /A 1 P A 3 /A 1 A 2 . . . P A n /A 1 . . . A n 1 P A 1 P A1 A 2 P A1

A2

A 3 . . . P A1

... A n

1

An

Preuve. i et ii sont des conséquences immédiates de la définition : PA B PB A P A/B et P B/A , avec B A A B. PB PA iii se démontre aisément par récurrence sur n. A1 . . . An 2 A 1 , on a En observant que A 1 . . . A n 1 0 P A1 A2 . . . An 1 P A1 . . . An 2 P A1 , ce qui assure l’existence des probabilités conditionnelles apparaissant dans la formule. Exemple. Dans une urne contenant 10 boules blanches et 5 boules noires on tire successivement et sans remise 2 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches ? 1ère méthode. On applique les résultats sur les schémas d’urnes : le mode de tirage est équivalent à des tirages simultanés de n 2 boules dans une urne contenant N 1 10 boules blanches, N 2 5 boules noires ; soit N 15 boules dans l’urne. La probabilité d’obtenir k 2 boules blanches est C kN 1 C nN kN 1 C 210 C 05 3. 2 n 7 CN C 215 2ème méthode. Soient les événements A i : ”la i-ème boule tirée est blanche”, i 1, 2. On veut calculer P A 1 A 2 . 10 (il y a 10 boules blanches parmi les 15 boules de l’urne) On a P A 1 15 9 (il n’y a plus que 9 boules blanches parmi les 14 boules de l’urne), et P A 2 /A 1 14 9 3. 10 donc P A 1 A 2 P A 1 P A 2 /A 1 7 14 15

1.3. Formule des probabilités complètes (ou totales). Proposition. Soit , A, P un espace probabilisé et A i i I (I ) un système complet d’événements de probabilité 0 pour tout i I. Alors, non nulle, i.e. A i , les A i étant deux à deux incompatibles et tels que P A i i I

pour tout événement B, on a PB

PB

Ai

i I

P A i P Ai B .

P A i P B/A i i I

i I

Preuve. On a B

B

Ai

B i I

donc P B

P

B i I

Stéphane Ducay

B

A i , les B

A i étant deux à deux incompatibles,

i I

Ai

PB i I

Ai

P A i P B/A i . i I

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Un cas particulier. Soit un événement A tel que P A 0 et P A 0. Considérant le système complet d’événements A, A , on obtient PB

P A P B/A

P A PA B

P A P B/A

P A PA B .

Exemple. Deux usines U 1 et U 2 produisent des pièces de moteur en même quantité. La proportion de pièces défectueuses de chaque usine est respectivement p 1 et p 2 . On réunit les deux productions et on choisit une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ? Considérons les événements : A i : ”la pièce provient de U i ”, i 1, 2 et B : ”la pièce est défectueuse”. On veut calculer P B . A partir du système complet d’événements A 1 , A 2 A i i I , avec I 1, 2 , la formule des probabilités complètes donne 2

P A i P B/A i

PB

i 1

i I

1 pi 2

p1

p2 2

.

1.4. Formule de Bayes. Proposition. ) un système complet d’événements de probabilité Soit , A, P un espace probabilisé et A i i I (I non nulle. Alors, pour tout événement B de probabilité non nulle, on a P A j P B/A j P A j P B/A j P A j P Aj B P A j /B . pour tout j I, P B A j PB P A i P B/A i P A i P Ai B i I

i I

Preuve. Par définition, P A j /B respectivement P A j

B

P Aj B . Les formules des probabilités composées et complètes donnent PB P A j P B/A j et P B P A i P B/A i . i I

Remarque. Cette formule s’interprète souvent de la façon suivante : les A i sont les différentes causes pouvant conduire à la réalisation de B. Connaissant les probabilités P A i de chaque cause et celles P B/A i de B conditionnellement aux causes A i , on calcule la probabilité P A j /B que la réalisation de B soit due à la cause Aj. Exemple. Reprenons l’exemple précédent. Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de U 1 ? On veut calculer P A 1 /B . D’après la formule de Bayes, on a 1 p1 P A 1 P B/A 1 p1 2 P A 1 /B p1 p2 p1 p2 . PB 2

2 - Indépendance en probabilité. 2.1. Indépendance de deux événements. Lorsque A et B sont deux événements, on peut caractériser le fait que A et B sont indépendants, i.e. que A se réalise indépendamment de la réalisation ou non de B, par l’égalité P A/B PA P A/B . Utilisant le PA B fait que P A/B , on adopte alors la définition suivante. PB Définition. Soit , A, P un espace probabilisé. Deux événements A et B sont dits indépendants (en probabilité) si et seulement si P A B PA PB . Stéphane Ducay

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Conditionnement - Indépendance

Remarques. i Si l’un des deux événements A ou B est quasi-impossible, alors A et B sont indépendants. En effet, supposons que P A 0 ; comme A B A, on a 0 P A B P A , donc P A B 0, et ainsi PA B 0 PA PB . ii Ne pas confondre indépendance et incompatibilité de A et B ! Noter que l’indépendance est relative à la probabilité P choisie, alors que l’incompatibilité (A B ) ne l’est pas. En fait, la propriété d’indépendance n’est pas seulement liée aux deux événements considérés mais à leurs tribus engendrées T A et T B ; rappelons que T A , A, A, . Théorème. Soit , A, P un espace probabilisé. Deux événements A et B sont indépendants (en probabilité) si et seulement si tout événement de la tribu T A engendrée par A est indépendant de tout événement de la tribu T B engendrée par B. Preuve. Supposons que A et B sont indépendants, i.e. que P A B PA PB . On sait que P B P B A P B A ; on en déduit que PB A PB PB A PB PB PA PB 1 PA PB PA , i.e. que B et A sont indépendants. De plus, P B P 0 P B P , i.e. B et sont indépendants, et P B PB PB P , i.e. B et sont indépendants. Ainsi, B est indépendant de tout événement de T A . On montre l’analogue pour B, et . Remarque. La notion d’indépendance n’est pas toujours intuitive. Il faut donc la vérifier par un calcul, comme le montre l’exemple suivant. On considère les familles ayant n enfants, n 2. On suppose l’équiprobabilité d’obtenir une fille ou un garçon à chaque naissance. On choisit une famille au hasard. On peut considérer : arrangements avec répétition d’ordre n de l’ensemble F, G . Comme card 2 n est fini, la tribu des événements est A P . On considère naturellement sur , A l’équiprobabilité P. Soient les événements A : ”la famille a des enfants des deux sexes” et B : ”la famille a au plus une fille”. 2 ,P B 1 n et P A B n . On montre que : P A 1 n n 2n 2 2 n 2 2n 2 On a alors P A P B P A B . On en déduit que les événements A et B sont donc 2 2n n indépendants si et seulement si 2 2n 2 0, i.e. n 3. Remarque. L’indépendance de deux événements A et B n’est pas une propriété intrinsèque aux événements ; elle est toujours relative à l’espace probabilisé , A, P que l’on a choisi, comme le montre l’exemple suivant. On extrait une boule au hasard d’une urne en contenant 12 numérotées de 1 à 12, et on considère les événements A : obtenir un numéro pair et B : obtenir un multiple de 3. On choisit naturellement 1, . . . , 12 , A P et P l’équiprobabilité sur , A . On a alors A 2, 4, 6, 8, 10, 12 , B 3, 6, 9, 12 et A B 6, 12 , d’où 1,P B 1 et P A B 1 PA P A P B : A et B sont indépendants. 2 3 6 Si l’on rajoute dans l’urne une boule numérotée 13, on choisit alors 1, . . . , 13 , A P et P l’équiprobabilité sur , A . Les événements A et B sont inchangés mais on a alors : 6 ,P B 4 et P A B 2 P A P A P B : A et B ne sont pas indépendants. 13 13 13 Dans le premier cas, la proportion de multiples de 3 parmi les pairs est la même que parmi les impairs ; savoir que A est réalisé (numéro pair) ne modifie en rien notre information sur B. Dans le deuxième cas, la proportion de multiples de 3 parmi les pairs est plus élevée que parmi les impairs ; savoir que A est réalisé (numéro pair) augmente un peu la probabilité que nous pouvons attribuer à B.

2.2. Indépendance de n événements. On peut généraliser la notion d’indépendance à une famille finie ou infinie d’événements. Stéphane Ducay

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Définitions. Soient , A, P un espace probabilisé et n événements A 1 , A 2 , . . . , A n . Ces n événements sont dits (mutuellement) indépendants si et seulement si pour toute partie I

1, 2, . . . , n , P

P Ai .

Ai i I

i I

De même, si A j j J est une famille infinie d’événements, on dit que les événements A j sont mutuellement indépendants si et seulement si pour toute partie finie K J, la famille A k k K est formée d’événements mutuellement indépendants. Dans ces conditions, on a aussi la mutuelle indépendance en remplaçant certains A i par leur complémentaire A i (résultat admis). Noter que cette notion est plus forte que la précédente. En effet, une famille d’événements peut être formée d’événements indépendants deux à deux sans qu’ils soient mutuellement indépendants, comme le montre l’exemple suivant. L’indépendance mutuelle signifie que les événements sont indépendants deux à deux, trois à trois, ... Par ailleurs, avec les notations de la définition précédente, les événements A 1 , . . . , A n sont n

n

dits indépendants dans leur ensemble si on a l’égalité P

Ai

P Ai .

i 1

i 1

Exemple. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On prend P, F 2 , A P et P l’équiprobabilité sur , A . On considère les événements A : ”le premier jet donne Pile”, B : ”le deuxième jet donne Pile” et C : ”les deux jets donnent le même résultat” card P, P , P, F cardA 2 1 et de même P B 1 ; On a P A PC 4 2 2 card card 1 1 1 PA B P A P B ;P A C P A P C ;P B C PB PC ; 4 4 4 1 1 PA B C PA PB PC . 4 8 Les événements A, B et C sont donc indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants. Application à la répétition d’expériences. On rencontrera souvent la situation suivante : on répète n fois la même expérience aléatoire E, dans les mêmes conditions. Il est alors naturel de considérer les résultats de ces n expériences comme mutuellement indépendants. Plus précisément, si A i est un événement lié à la i-ème expérience, i 1, . . . , n, alors les n événements A 1 , A 2 , . . . , A n sont mutuellement indépendants. Exemple. On répète n fois, dans les mêmes conditions, une expérience aléatoire E au cours de laquelle un événement A a la probabilité p de se réaliser. Quelle est la probabilité que l’événement A se réalise exactement k fois, 0 k n? Considérons les événements A i : ”A se réalise au cours de la i-ème expérience”, i 1, . . . , n, et B k : ”A se réalise exactement k fois”, 0 k n. On a P A i p et P A i 1 p pour tout i 1, . . . , n. On a B k

Ai Ik

Aj

i Ik

, où I k est une partie quelconque de k éléments de 1, 2, . . . , n ; I k

j I n \I k

indique au cours de quelles expériences A est réalisé. Comme B k est la réunion d’événements deux à deux incompatibles, on a : P Bk

P

Ai

Aj

i Ik

Ik

.

j I n \I k

Pour chaque partie I k , les événements A i , i P

Ai i Ik

et ainsi P B k

Aj j I n \I k k

p 1

P Ai p

i Ik n k

I k , et A j , j

P Aj

pk 1

I n \I k sont mutuellement indépendants, donc p

n k

,

j I n \I k

.

Ik

Le terme dans la somme ne dépendant pas de I k , et le nombre de parties I k étant C kn , on a donc P Bk C kn p k 1 p n k . On retrouve la loi Binomiale de paramètres n, p . Stéphane Ducay

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3 - Exercices Exercice 1. 1) On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements A : ”on obtient 1 P A/B . l’as” et B : ”on obtient un numéro pair”. Vérifier que P A/B 2) Soient , A, P un espace probabilisé et A, B et C trois événements tels que P A C 0. Montrer que P A B/C P B/A C . Exercice 2. Dans un groupe de 30 étudiants, dont 18 filles et 12 garçons, on choisit au hasard 3 étudiants. Sachant que parmi eux il y a au moins deux filles, quelle est la probabilité qu’il y en ait trois ? Exercice 3. On pose une question à un candidat choisi au hasard dans un groupe d’étudiants comportant une proportion p de tricheurs, avec p dans 0, 1 . On admet que si ce candidat est un tricheur, alors il connaît à l’avance la question et sa réponse, et il répond donc correctement ; sinon, il a une 1 chance sur 12 de répondre correctement. 1) Proposer un espace probabilisé , A, P adapté à cette expérience aléatoire, et traduire les données de l’énoncé en termes de probabilité d’événements. 2) Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement. Justifier la réponse. 3) a) Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité qu’il ait triché ? b) On désigne par f p la probabilité calculée au a). Construire le tableau de variation de la fonction f. Exercice 4. Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes de risque R 1 , R 2 et R 3 : les bons risques, les risques moyens et les mauvais risques ; les effectifs de ces trois classes représentant respectivement 20%, 50% et 30% de la population totale des clients. Une étude statistique a montré que la probabilité d’avoir un accident au cours de l’année pour un client de la classe R 1 est 0.05 ; cette probabilité est de 0.15 pour un client de la classe R 2 et de 0.30 pour un client de la classe R 3 . 1) Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard dans la population ait un accident au cours de l’année ? 2) Si un client n’a pas d’accident au cours de l’année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon risque ? Exercice 5. Stéphane possède depuis plusieurs mois un téléphone mobile pour lequel il a souscrit un forfait mensuel de deux heures. Soucieux de bien gérer ses dépenses, il étudie l’évolution de ses consommations. Il a constaté que : si un mois donné il a dépassé son forfait, la probabilité qu’il le dépasse le mois suivant est égale à 1 ; si 5 un mois donné il n’a pas dépassé son forfait, la probabilité qu’il le dépasse le mois suivant est égale à 2 . On 5 suppose que la probabilité qu’il ait dépassé son forfait le premier mois est égale à 1 . 2 On note, pour tout entier n 1, A n l’événement ”Stéphane dépasse son forfait le n-ème mois” et p n la probabilité de A n . 1) Utilisant le système complet d’événements A n , A n , trouver une relation liant p n 1 et p n pour tout entier n 1. 2) En déduire l’expression de p n en fonction de n, pour tout entier n 1, puis la limite de p n lorsque n tend vers . Exercice 6. Dans une classe de N 1 élèves, la solution d’un exercice de Probabilités est trouvée par un seul élève. Il la transmet à l’un de ses camarades choisi au hasard. Celui-ci transmet alors la solution à l’un de ses camarades choisi au hasard ... Ce processus se répétant n fois (il y a donc n transmissions de la solution). 1) a) Calculer la probabilité que la solution ne soit pas répétée à celui qu’il l’avait trouvé. b) Calculer la probabilité que la solution ne soit jamais répétée à un élève l’ayant lui-même transmise. 2) Reprendre la question 1) a) en supposant qu’à chaque étape, la solution n’est plus transmise à un seul élève mais à un groupe de k élèves (k 1) choisis au hasard. Stéphane Ducay

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Exercice 7. 1) Soient un espace probabilisé , A, P et deux événements A et B. Montrer l’équivalence entre les quatre assertions suivantes : i A et B sont indépendants ii A et B sont indépendants iii A et B sont indépendants iv A et B sont indépendants 2) La mutuelle indépendance de trois événements s’écrit expliquement avec 4 égalités. Justifier que pour n 2, la mutuelle indépendance de n événements s’écrit expliquement avec 2 n n 1 égalités. Exercice 8. Soient un espace probabilisé n

Ai

Calculer P

, A, P et n événements mutuellement indépendants A 1 , A 2 , ..., A n .

en fonction de P A 1 , P A 2 , ..., P A n .

i 1

Application. Trois chasseurs aperçoivent un canard d’eau et tirent simultanément. Leurs probabilités d’atteindre le canard sont respectivement 1 , 1 et 1 . Calculer la probabilité que le canard d’eau soit tué. 2 3 4 Exercice 9. On considère une urne U contenant 9 boules blanches et 1 boule noire, et une urne V contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on effectue deux tirages d’une boule avec remise dans l’urne U si le dé amène l’as ou dans l’urne V si le dé n’amène pas l’as. On considère les événements U : ”on tire dans l’urne U”, V : ”on tire dans l’urne V”, B i : ”la i-ème boule est blanche” et N i : ”la i-ème boule est noire” pour i 1, 2. 1) Les événements B 1 et N 2 sont-ils indépendants ? 2) Sachant que l’on a obtenu une boule blanche puis une boule noire, de quelle urne est-il plus probable qu’on les ait tiré ? Exercice 10. On dispose de N 1 urnes U 0 , U 1 , ..., U N , l’urne U i contenant i boules blanches et N i boules noires. On choisit une urne au hasard et on prélève successivement dans cette urne des boules, avec remise dans l’urne après chaque tirage. On considère les événements suivants : - pour tout i 0, . . . , N, A i : ”choisir l’urne U i ” ; - pour tout n 1, B n : ”le n-ème tirage amène une boule blanche” ; - pour tout n 1, C n : ”les n premiers tirages amènent n boules blanches”. 1) Quelle est la probabilité que les n premiers tirages amènent n boules blanches ? 2) Sachant que les n premiers tirages ont amené n boules blanches, quelle est la probabilité qu’un tirage supplémentaire amène encore une boule blanche ? 3) Déterminer la limite de ces probabilités lorsque N tend vers .

Stéphane Ducay

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