Conjuntos y aplicaciones

CONJUNTOS Y APLICACIONES CONCEPTOS BÁSICOS: DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos. DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, entonces se dice que es un subconjunto de , y se escribe , si para todo elemento de se tiene que dicho elemento pertenece a . Matematicamente :

OBSERVACIÓN: Si , y son conjuntos y , ; entonces se verifica que DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos y son iguales si y . OBSERVACIÓN: Si esta incluido en , pero no es igual a , lo escribiremos DEFINICIÓN: Sea un conjunto y . Se define el complementario en , y lo representaremos como al conjunto : OBSERVACIÓN: DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de en , don de es un conjunto. Se representa por :

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OBSERVACIÓN: • es un subconjunto de cualquier conjunto • es único. Es el mismo para todo conjunto DEFINICIÓN: Sea un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de , es representa por : , como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de . Hay como mínimo dos, y OBSERVACIÓN: • •

es el número de elementos de es la cantidad de algo.

DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos. Se define • El producto cartesiano de y , y se representa como , al conjunto : • La intersección de y , que se representa como , al conjunto • La unión de y , que se escribe como , al conjunto: OBSERVACIÓN: • • •

PROPIEDADES: Sea un conjunto y , 2

y subconjuntos de . Se verifica que: • • • • • • • • • • • • • • • • • CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES: DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, entonces se dice que es un grafo de en si está incluido en , y si . Se dice entonces que es una correspondencia de en , siendo el conjunto de salida y el conjunto de llegada Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de . Nos indica como se relacionan los conjuntos y mediante la correspondencia. DEFINICIÓN: Sea una correspondencia. Se llama conjunto de definición de , y se representa por , al conjunto . Si además y 3

, entonces:

EJEMPLO:

,

DEFINICIÓN: Sea un conjunto; entonces una relación binaria en es una correspondencia de en OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria , entonces se escribe: DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto en el conjunto es una correspondencia

OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:

DEFINICIÓN: Sea una aplicación; entonces se dice que: • Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:

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• Es suprayectiva si todo elemento de es imagen de uno de :

• Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez. DEFINICIÓN: Sea una aplicación; entonces se define la función inversa de , y se representada por , como la aplicación :

OBSERVACIÓN: Claramente pertenece a las funciones DEFINICIÓN: Sea un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por , como la aplicación:

TEOREMA(de la biyección): Si es biyectiva, existe una función tal que: • • Es decir : Demostración:

biyectiva •¿ ?

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•¿ ?

¿ biyectiva? ¿ inyectiva?, ¿ suprayectiva? •¿ inyectiva? ¿ ? Supongamos que

Luego es inyectiva •¿ suprayectiva? ¿ ?

EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva

• ¿Es inyectiva? Sean 6

, ¿ ? ¿ ? ¿ ? Falso, luego es inyectiva • ¿Es suprayectiva? ¿ ?

Luego es suprayectiva Por tanto es biyectiva RELACIONES DE EQUIVALENCIA: DEFINICIÓN: Sea un conjunto y una relación binaria tal que: • • • Entonces a se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento , y se representa por o al conjunto : Al elemento se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de ( ). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por ( modificado por la relación ), al conjunto de las clases de equivalencia EJEMPLO:

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Sean , ,y .¿ es relación de equivalencia? • Sea ¿ ? Si, pues luego • Sean ¿ ? Si, pues luego • Sean ¿ ? Si, pues ; , luego:

luego Por cumplirse las tres condiciones, es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:

Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento , por coincidir con la del cero. 8

A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo . Se suele escribir : En el caso particular de :

PROPOSICIÓN: Sea una relación de equivalencia en . Entonces: • , pues • Si , entonces , pues si • Si , entonces :

Sea

Sea Luego • Si , entonces : Supongamos , lo que es falso DEFINICIÓN: Sean y dos conjuntos, y una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA APLICACIÓN como la siguiente relación binaria:

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Por tanto su conjunto cociente viene dado por:

DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN: TEOREMA: Sean dos conjuntos y , y una aplicación cualquiera . Entonces se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones: Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:

Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.

es aplicación, pues y

es suprayectiva: Sea ¿ ?

Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.

es aplicación, pues

es inyectiva: Sean ¿ ? 10

¿ ? Si, pues

es suprayectiva: Sean ¿ ?

es biyectiva

es claramente una aplicación inyectiva. Sea , ¿ ?

Luego la descomposición canónica es valida. EJEMPLO:

Por tanto

ALGEBRA DE BOOLE: DEFINICIÓN: Sea un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(ley de composición interna) a toda aplicación de en 11

DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna , donde y y son operaciones binarias en si se verifica: • • • • •

•

•

•

•

(Conmutatividad) (Asociatividad) (Distributividad) (Idempotencia) ( ) ( )

( es el complementario de )

(Leyes de Morgan (Involución)

RELACIONES DE ORDEN: DEFINICIÓN: Sea ,y una relación binaria en . Entonces se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que: • • DEFINICIÓN: Sea ,y una relación de preorden. Entonces se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que: 12

OBSERVACIÓN: • Si es una relación de orden, se suele escribir o • Al par se le llama conjunto ordenado. DEFINICIÓN: Sea ,y una relación de orden. Entonces se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:

En tal caso al par se la llama conjunto totalmente ordenado. Analogamente, si no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par se le llama conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO: Sea y ¿Es de orden? ¿Es sde orden total? Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden: •¿ ?. Si, pues ,y , luego •¿ ? ¿ ?

Luego Por tanto 13

es de preorden Comprobamos ahora si es de orden total ¿ ?

Por tanto es de orden Comprobamos ahora si es de orden total ¿ ?

, , Por tanto es de orden parcial EJEMPLO: Sea y ¿Es de orden? ¿Es de orden total? Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden: •¿ ?. Si, pues ,y , luego •¿ ? ¿ ?

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Luego Por tanto es de preorden Comprobamos ahora si es de orden total ¿ ?

Luego Por tanto es de orden Comprobamos ahora si es de orden total ¿ ?

Por tanto es de orden total ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO: DEFINICIÓN: Sea un conjunto ordenado, y . Entonces se dice que: • es un máximo de si y • es un mínimo de si y • es una cota superior de si (Se dice que 15

está acotado superiormente) • Análogo para cotas inferiores • El supremo de , si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de • Análogo para ínfimo. • es minimal de si y • Análogo para maximal. OBSERVACIÓN: • Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo. • Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo y minimal.

significa que tan solo existe uno. Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única

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