Convergence de variables aléatoires 1) Convergence quadratique

January 16, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Convergence de variables aléatoires 1) Convergence quadratique et convergence en probabilité Dé…nition : On dé…nit la norme quadratique d’une variable aléatoire par kXk2 = Remarque : Si X :

! R et

est …ni et muni de la probabilité , alors kXk2 =

p

E(X 2 ):

pP

!2

X(!)2 (!):

Remarque : La norme quadratique est la norme associée au produit scalaire hX; Y i = E(XY ): Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn )n2N converge quadratiquement vers X ssi limn!+1 kXn

Xk2 = 0:

Dé…nition : On dit qu’une suite (Xn )n2N converge en probabilité vers X ssi pour tout " > 0, lim P (jXn

n!+1

Xj

") = 0

a) Soit c réel. On suppose limn!+1 E(Xn ) = c et limn!+1 V (Xn ) = 0: Montrer que limn!+1 kXn

ck2 = 0:

b) Montrer que si (Xn )n2N converge quadratiquement vers X, alors (Xn )n2N converge en probabilité vers X: Solution : a) kXn

e ck2

kXn

E(Xn )k2 + kE(Xn )

En e¤et, la variable aléatoire E(Xn )

Xj

") = P ((Xn

c)2

p

V (Xn ) + jE(Xn )

c est constante, donc kE(Xn )

b) On applique l’inégalité de Markov à (Xn On a P (jXn

ck2 =

"2 )

cj : ck2 = jE(Xn )

cj :

c)2 : kXn ck22 E((Xn c)2 ) = , donc limn!+1 P (jXn "2 "2

Xj

") = 0:

2) Un exemple : Nombre de points sans antécédent par une application On considère l’ensemble

des nm applications f de f1; 2; :::; mg dans f1; 2; :::; ng, muni de la probabilité uniforme.

utrement dit, l’image par f de tout j 2 f1; 2; :::; mg est choisi dans f1; 2; :::; ng avec la même probabilité, de sorte que chaque fonction f a la même probabilité d’être choisie. On note X :

! N la variable aléatoire donnant le nombre de points sans antécédent.

Pour i 2 f1; 2; :::; ng, on note Yi la variable aléatoire valant 1 si i n’admet aucun antécédent, et 0 sinon. a) Préciser la loi de Yi et celle de Yi Yj , où i 6= j: b) Exprimer X à l’aide des Yi , et en déduire E(X) et V (X): c) On suppose m = n. On note désormais Xn au lieu de X, pour rappeler que X est fonction de n. Donner un équivalent de E(Xn ) lorsque n tend vers +1 et justi…er brièvement que V (Xn ) = O(n). d) En déduire que la suite

Xn n

converge en probabilité vers une variable Z qu’on précisera. n2N

Solution : a) Les applications f pour lesquelles i n’a pas d’antécédent sont celles à valeurs dans f1; 2; :::; ng n fig:

Donc on a P (Yi = 1) =

1)m

(n

nm

=

m

1 n

1

: 1

1 n

Comme Yi Yj est à valeurs dans f0; 1g, Yi Yj suit la loi de Bernoulli B

1

Comme Yi est à valeurs dans f0; 1g, Yi suit la loi de Bernoulli B

b) On a X = Et V (X) =

Pn

i=1 Yi ,

Pn

i=1 E(Yi )

+2

P

i6=j

1 n

On en déduit notamment que E(Xn )

d) On a ainsi limn!+1 E

1+O Xn n

Il résulte alors de a) et b) que

m

2 n

=e

= exp n ln 1

2

2 n

1

m

:

1 n

+n 1

m

n2

n

n

Et aussi V (Xn ) = n2 e

=

1 n

1,

1 n

et en fait on a : = exp

ne

m

2 n

:

1+O

1

1 n

1 n

2m

1 n

1

:

n

=e =e

1

1 exp

1+O O

1 n

1 n

: =e

1

1+O

1 n

:

1:

+ n O (1)

= limn!+1 Xn n

:

1 m : n Pn P Pn 2 i=1 E(Yi ) = 2 i=1 V (Yi ): i6=j E(Yi Yj ) +

E(Yi Yj )

1) 1 1 n

c) On sait que limn!+1 1 1

nm

donc E(X) = n 1

On obtient donc V (X) = n(n

En e¤et,

2)m

(n

Lorsque i 6= j, on a P (Yi Yj = 1) =

m

n2 e

2

1+O

1 n

E(Xn ) = e et limn!+1 V n

= O (n) : Xn n

= limn!+1

V (Xn ) = 0: n2

converge en probabilité vers la variable Z constante de valeur e

1:

n2N

Ainsi, la probabilité qu’un élément de l’image n’ait pas d’antécédent converge vers e

1

lorsque n tend vers +1:

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