Convergences I Convergence en probabilités II Fonctions

Convergences Nous allons dans ce chapitre étudier la convergence d’une suite de variables aléatoires réelles (Xn )n≥0 sous différentes formes.

I

Convergence en probabilités Commençons par la définition suivante

Définition 1 On dit que la suite (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. X si ∀ε > 0, P (| Xn − X |> ε) → 0 quand n tend vers l’infini. Exemple : Si pour tout n, Xn suit la loi exponentielle de paramètre n, la suite (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. constante 0. On doit noter tout de suite que la convergence en probabilités n’entraîne pas la convergence des espérances. Contre-exemple : Soit, pour tout n une variable aléatoire telle que  2 n avec probabilité n1 Xn = 0 avec probabilité 1 −

1 n

Alors (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. constante 0 mais E(Xn ) → +∞. Par contre, avec des conditions supplémentaires, le résultat peut être vrai. Par exemple, on a Proposition 1 Supposons que (Xn )n≥0 converge en probabilités vers la v.a.r. X et qu’il existe K > 0 tel que | Xn |≤ K pour tout n et | X |≤ K. Alors E(Xn ) → E(X).

II II.1

Fonctions caractéristiques Espérance d’une variable aléatoire complexe

Si Z est une variable aléatoire à valeurs dans C, I on peut la décomposer sous la forme Z = X + iY . Quand E(X) et E(Y ) existent, on dira que Z admet une espérance et on pose E(Z) = E(X) + iE(Y ). En particulier, si | Z |≤ 1, E(Z) existe. Rappelons aussi que si α ∈ IR, on pose eiα = cos(α) + i sin(α).

II.2

Fonctions caractéristiques

On définit Définition 2 Soit X une v.a.r. La fonction caractéristique de (la loi de) X est définie par ∀t ∈ IR, ϕX (t) = E(eitX ).

1

En pratique, nous aurons à considérer les deux cas : a) si X est discrète à valeurs dans {x0 , x1 , . . . , xn , . . .} alors ϕX (t) =

∞ X

eitxk P (X = xk )

k=0

b) si X admet la densité f sur IR, on a Z

+∞

eitx f (x)dx

ϕX (t) = −∞

L’importance de la notion de fonction caractéristique vient du résultat suivant. Proposition 2 Soient X et Y deux variables aléatoires. Si ∀t ∈ IR, ϕX (t) = ϕY (t) alors X et Y ont même loi. La proposition suivante donne les fonctions caractéristiques des principales lois. Proposition 3 On a (i) Si X ∼ B(p), ϕX (t) = (1 − p) + peit (ii) Si X ∼ B(n, p), ϕX (t) = ((1 − p) + peit )n (iii) Si X ∼ P(λ), ϕX (t) = exp[λ(eit − 1)] peit (iv) Si X ∼ G(p), ϕX (t) = (1 − eit ) + peit 1 eitb − eita (v) Si X ∼ U([a, b]), ϕX (t) = b−a it λ (vi) Si X ∼ E(λ), ϕX (t) = λ − it t2 − (vii) Si X ∼ N (0, 1), ϕX (t) = e 2 σ 2 t2 − + itm (viii) Si X ∼ N (m, σ 2 ), ϕX (t) = e 2 On a également le résultat fondamental suivant Proposition 4 Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes, on a ∀t ∈ IR, ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t). Application : Si X ∼ N (m, s2 ) et Y ∼ N (µ, σ 2 ) sont deux variables indépendantes, alors X + Y ∼ N (m + µ, s2 + σ 2 ). On a aussi la propriété suivante Proposition 5 Si la v.a.r. X admet un moment d’ordre n, ϕX est de classe C n et on a le développement limité suivant en 0 E(X n ) n E(X 2 ) 2 ϕX (t) = 1 + iE(X)t − t + . . . + in t + o(tn ) 2 n!

2

III

Convergence en loi

Comme on l’a vu, la fonction caractéristique d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette variable. On va définir un type de convergence qui se lit à travers ces représentations. Définition 3 Soit (Xn )n≥0 une suite de v.a.r. On dit que cette suite converge en loi vers la v.a.r. X si et seulement si pour tout t ∈ IR, ϕXn (t) → ϕX (t). On a Proposition 6 Si (Xn )n≥0 converge en probabilités vers X, alors elle converge aussi en loi vers X. Par contre la réciproque n’est pas vraie. Regardons le contre-exemple ad hoc suivant. Soit Ω = {0, 1} muni de la probabilité uniforme. Considérons la suite de variable aléatoire (Xn )n≥0 définie par   X2n (0) = 0 X2n+1 (0) = 1 et X2n (1) = 1 X2n+1 (1) = 0 Alors (Xn )n≥0 converge en loi vers X0 mais pas en probabilités.

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