Correction au format pdf - XMaths
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CORRECTION Exercice supplémentaire n° 22 Partie A 1°) La situation correspond à l'arbre pondéré ci-dessous. On estime à 0,07 la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, donc P(M) = 0,07 . On sait que la probabilité que le test soit positif sachant que l'animal est malade est égale à 70% = 0,7 . et que la probabilité que le test soit négatif sachant que l'animal n'est pas malade est 90% = 0,9 . On peut compléter cet arbre en sachant que la somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. 0,7
T
0,3
M 0,07
T
0,1
T
0,93
M 0,9
T 2°) On a : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x 0,07 . Donc
P(M∩T) = 0,049 .
En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire : P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P M (T) x p( M ) = 0,7 x 0,07 + 0,1 x 0,93 = 0,049 + 0,093 Donc
P(T) = 0,142 .
3°) La probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif est PT(M). On a PT(M) = P(M∩T) = 0,049 P(T) 0,142
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donc
PT(M) = 49 ≈ 0,345 . 142
TES - Révisions - Exercice supplémentaire n°22 - Corrigé
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Partie B 1°) Si on estime maintenant à x la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, l'arbre pondéré devient : 0,7
T
0,3
M x
T
0,1
T
1-x
M 0,9
T 2°) On a alors : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x x Donc
P(M∩T) = 0,7 x .
En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire : P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P M (T) x p( M ) = 0,7 x x + 0,1 x (1 - x) = 0,7x + 0,1 - 0,1x Donc
P(T) = 0,6x + 0,1 .
0,7x 0,7x x 10 3°) On a PT(M) = P(M∩T) = = P(T) 0,6x + 0,1 (0,6x + 0,1) x 10 4°) f est définie sur [0 ; 1] par : f(x) = f(x) ³ 0, 9 donc
⇔
f(x) ³ 0, 9
7x ³ 0,9 6x + 1 ⇔
⇔
donc
PT(M) =
7x . 6x + 1
7x 6x + 1 7x ³ 0,9 (6x + 1)
7x ³ 5,4x + 0,9
⇔
1,6x ³ 0,9
(6x + 1 est un nombre positif) ⇔
x ³ 0,9 1,6
Sur [0 ; 1] l’inéquation f(x) ³ 0 a donc pour ensemble de solutions
⇔
x ³ 0,5625
[0,5625 ; 1] .
Pour que la probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif soit supérieure à 90%, il faut que la proportion d'animaux malades soit supérieure à 56,25%.
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