Correction au format pdf - XMaths

January 12, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
Share Embed Donate


Short Description

Download Correction au format pdf - XMaths...

Description

CORRECTION Exercice supplémentaire n° 22 Partie A 1°) La situation correspond à l'arbre pondéré ci-dessous. On estime à 0,07 la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, donc P(M) = 0,07 . On sait que la probabilité que le test soit positif sachant que l'animal est malade est égale à 70% = 0,7 . et que la probabilité que le test soit négatif sachant que l'animal n'est pas malade est 90% = 0,9 . On peut compléter cet arbre en sachant que la somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. 0,7

T

0,3



M 0,07

T

0,1

T

0,93 

M 0,9



T 2°) On a : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x 0,07 . Donc

P(M∩T) = 0,049 .

En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire :   P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P  M (T) x p( M ) = 0,7 x 0,07 + 0,1 x 0,93 = 0,049 + 0,093 Donc

P(T) = 0,142 .

3°) La probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif est PT(M). On a PT(M) = P(M∩T) = 0,049 P(T) 0,142

http://xmaths.free.fr/

donc

PT(M) = 49 ≈ 0,345 . 142

TES - Révisions - Exercice supplémentaire n°22 - Corrigé

1/2

Partie B 1°) Si on estime maintenant à x la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, l'arbre pondéré devient : 0,7

T

0,3



M x

T

0,1

T

1-x 

M 0,9



T 2°) On a alors : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x x Donc

P(M∩T) = 0,7 x .

En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire :   P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P  M (T) x p( M ) = 0,7 x x + 0,1 x (1 - x) = 0,7x + 0,1 - 0,1x Donc

P(T) = 0,6x + 0,1 .

0,7x 0,7x x 10 3°) On a PT(M) = P(M∩T) = = P(T) 0,6x + 0,1 (0,6x + 0,1) x 10 4°) f est définie sur [0 ; 1] par : f(x) = f(x) ³ 0, 9 donc



f(x) ³ 0, 9

7x ³ 0,9 6x + 1 ⇔



donc

PT(M) =

7x . 6x + 1

7x 6x + 1 7x ³ 0,9 (6x + 1)

7x ³ 5,4x + 0,9



1,6x ³ 0,9

(6x + 1 est un nombre positif) ⇔

x ³ 0,9 1,6

Sur [0 ; 1] l’inéquation f(x) ³ 0 a donc pour ensemble de solutions



x ³ 0,5625

[0,5625 ; 1] .

Pour que la probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif soit supérieure à 90%, il faut que la proportion d'animaux malades soit supérieure à 56,25%.

http://xmaths.free.fr/

TES - Révisions - Exercice supplémentaire n°22 - Corrigé

2/2

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF