Correction de l`épreuve commune niveau troisième Octobre 2011

Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011

Partie numérique Exercice 1 𝟏𝟐 𝟑 𝟕 𝑨= − × 𝟓 𝟓 𝟗

𝟐 𝟏 𝑩 = ( − 𝟑) ÷ 𝟑 𝟗

𝑪=

𝟏 𝟏 𝟏+𝟑−𝟐 𝟐+

𝟑 𝟏 + 𝟒 𝟑

𝑫=

𝟓 𝟐 𝟑 − × (𝟏 − ) 𝟕 𝟕 𝟒

12 3×7 = − 5 5×3×3

2 9 1 =( − )÷ 3 3 9

6 2 3 + − = 6 6 6 24 9 4 12 + 12 + 12

=

5 2 4 3 − ×( − ) 7 7 4 4

12 7 = − 5 5×3

7 1 = (− ) ÷ 3 9

5 = 6 37 12

=

5 2 1 − × 7 7 4

=

5 12 × 6 37

=

5 2×1 − 7 7×2×2

=

5×6×2 6 × 37

=

5 1 − 7 14

=

10 37

=

10 1 9 − = 14 14 14

=

12 × 3 7 − 5×3 5×3

7 =− ×9 3

=

36 − 7 15

=−

=

29 15

= −21

7×3×3 3

Exercice 2 𝑩=

𝟎, 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟓𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟕 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎𝟏𝟓 × (𝟏𝟎𝟒 )−𝟐

= 25 × 10−4−7

=

0,4 × 1500 103 × 10−7 × 15 24 10 × (104 )−2

= 25 × 10−11

=

4 × 6 × 25 103+(−7) × 15 4×6 10 × 104×(−2)

= 2,5 × 101 × 10−11

= 25 ×

103−7 1015 × 10−8

= 25 ×

10−4 1015+(−8)

10−4 = 25 × 107

𝐵 = 2,5 × 10−10

𝑪 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐 × 𝟏𝟎𝟏𝟐 = 1,2 × 10−3 × 1012 = 1,2 × 10−3+12 = 1,2 × 109

Exercice 3



Un nombre 𝒓 est dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante : 𝑝 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝: 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑡 𝑞: 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑞 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑧é𝑟𝑜. 𝑟=



Un nombre 𝒅 est dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante : 𝑑=



𝑎 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎: 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑡 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙. 10𝑛

Puisque 𝒂 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐟, et que 𝟏𝟎𝒏 𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐝𝐢𝐟𝐟é𝐫𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐞 𝐳é𝐫𝐨 . On en déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.

Exemple : 2,1054 = 

21054 104

𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙, 𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙.

Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.

Exemple : 2 ′ 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙. 3 Sinon, il existe 𝑎 entier relatif et 𝑛 entier naturel tels que : 2 𝑎 = 𝑛 3 10

𝑑𝑜𝑛𝑐

2 × 10𝑛 = 3 × 𝑎

On en déduit que 3 divise 2 × 10𝑛 absurde car la somme des chiffres du nombre 2 × 10𝑛 est égale à 2 n’est pas un multiple de 3. Conclusion : 2 ′ 𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙. 3

Exercice 4 Calcul du 𝑃𝐺𝐶𝐷(1515; 1789) à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Dividende 1789 1515 274 145 129 16

diviseur 1515 274 145 129 16 1

Reste 274 145 129 16 1 0

Le dernier reste non nul

Dans l’algorithme d’Euclide le 𝑃𝐺𝐶𝐷 est le dernier reste non nul, donc 𝑃𝐺𝐶𝐷(1515; 1789) = 1 Les deux nombres 1515 𝑒𝑡 1789 sont premiers entre eux.

Partie géométrie Exercice 1 Construction :

1- Calcul de BC : Remarque : Condition nécessaire : On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle. 

𝐴𝐵𝐶 ∶ Est un triangle rectangle en 𝐴 .



D’après le théorème de Pythagore. « La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. » 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 Application numérique : 𝐵𝐶 2 = 652 + 1562 𝐵𝐶 2 = 4225 + 24336 𝐵𝐶 2 = 28561 𝐵𝐶 = √28561 𝐵𝐶 = 169 𝑚𝑚

𝐵𝐶 = 16,9 𝑐𝑚

2- Calcul d’aire : Soit : 𝒜(𝐴𝐵𝐶) L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 2 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 𝒜(𝐴𝐵𝐶) = 2

𝒜(𝐴𝐵𝐶) =

Application numérique : 𝒜(𝐴𝐵𝐶) =

65 × 156 2

𝓐(𝑨𝑩𝑪) = 𝟓 𝟎𝟕𝟎 𝒎𝒎𝟐

3- Calcul de 𝑨𝑯 : Expression de l’aire en fonction de 𝐴𝐻. Dans cette question, on prend comme base le côté ∶ [𝐵𝐶] et pour hauteur la droite (𝐴𝐻). 𝐵𝐶 × 𝐴𝐻 𝒜(𝐴𝐵𝐶) = 2 169 × 𝐴𝐻 𝒜(𝐴𝐵𝐶) = 2 On en déduit que :

169 × 𝐴𝐻 = 5070 2 2×

169 × 𝐴𝐻 = 2 × 5070 2

169 × 𝐴𝐻 = 10140 169 × 𝐴𝐻 10140 = 169 169

𝑨𝑯 = 𝟔𝟎 𝒎𝒎

Exercice 2

1- Le triangle 𝐿𝑆𝐾 est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a : 𝑆𝐾 2 = 𝐿𝐾 2 + 𝐿𝑆 2 Application numérique : 𝑆𝐾 2 = 482 + 642 𝑆𝐾 2 = 6400 𝑆𝐾 = √6400 𝑺𝑲 = 𝟖𝟎 𝒎𝒎

Le triangle 𝐾𝐿𝑀 est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a : 𝑀𝐾 2 = 𝐿𝑀2 + 𝐿𝐾 2 Application numérique : 602 = 𝐿𝑀2 + 482 3600 = 𝐿𝑀2 + 2304 3600 − 2304 = 𝐿𝑀2 + 2304 − 2304 1296 = 𝐿𝑀2 𝐿𝑀 = √1296

𝑳𝑴 = 𝟑𝟔 𝒎𝒎

2- Le triangle 𝑆𝐾𝑀 est rectangle en 𝐾. Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois côtés de ce triangle.

 



La longueur de [𝐾𝑀]. 𝐾𝑀 = 60 𝑚𝑚. La longueur de [𝑆𝐾]. D’après la question 1 : 𝑆𝐾 = 80 𝑚𝑚 La longueur de [𝑆𝑀]. 𝐿 ∈ [𝑆𝑀] Donc 𝑆𝑀 = 𝑆𝐿 + 𝐿𝑀 𝑆𝑀 = 64 + 36 𝑆𝑀 = 100 𝑚𝑚

Le côté le plus long est [𝑆𝑀]. D’une part : 𝑆𝑀2 = 1002 𝑆𝑀2 = 10 000 D’autre part : 𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 602 + 802 𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 3 600 + 6 400 𝐾𝑆 2 + 𝐾𝑀2 = 10 000 On constate que 𝑺𝑴𝟐 = 𝑲𝑴𝟐 + 𝑲𝑺𝟐. Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse le côté le plus long.

Problème I-

Première partie : 1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants. 3 2 1 3 × 5 + 2 × 7 + 1 × 5 15 + 14 + 5 34 + + = = = 7 5 7 35 35 35 Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants. 34 35 < 35 35 Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants. 2- Le pourcentage du gâteau qui reste.

Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera : 35 34 1 − = 35 35 35 Quantité Pourcentage

𝟑𝟓 100

𝟏 𝑥

Il s’agit d’un tableau de proportionnalité. 100 𝑥 = 35 1 Donc 35 × 𝑥 = 100 × 1 100 𝑥= 35 𝑥 ≅ 2,85 % 3- La masse totale du gâteau : On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité. 3 Fraction du gâteau 7 Masse en grammes 315

1 𝑥

3 × 𝑥 = 1 × 315 7 7 3 7 × × 𝑥 = × 1 × 315 3 7 3 7 × 315 7 × 3 × 105 𝑥= = 3 3

𝒙 = 𝟕𝟑𝟓 𝒈

II-

Deuxième partie : « Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro » 1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique. 3003 = 143 × 𝑞 2- Deux phrases équivalentes : 3003 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 143. 143 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 3003

III-

Troisième partie : 1- Le plus grand nombre de bouquets identiques : Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres. Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc le 𝑃𝐺𝐶𝐷(3003; 286). On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le 𝑃𝐺𝐶𝐷(3003; 286)

Dividende 3003 286

diviseur 286 143

Reste 143 0

On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ». 2- La composition de chaque bouquet : 3003 ÷ 143 = 21 286 ÷ 143 = 2 Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.

Le dernier reste non nul