Correction du brevet blanc de mathématiques Exercice 1 : 5 points

Correction du brevet blanc de mathématiques Exercice 1 : 5 points 1. Développer et réduire l’expression E. 1,5 point E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2) E = 4x2 − 9 + 2x2 – 4x + 3x −6 E = 6x2 – x − 15 2. Factoriser 4x2 −9. En déduire la factorisation de l’expression E. 1,5 point 4x2 −9 = (2x + 3)(2x – 3) On en déduit E = 4x2 − 9 + (2x +3)(x −2) E = (2x + 3)(2x – 3) + (2x +3)(x −2) E = (2x + 3)(2x – 3 + x −2) E = (2x + 3)(3x – 5) 3. a. Résoudre l’équation 1 point (2x +3)(3x –5) = 0 Si un produit est nul, alors au moins iun de ses facteurs est nul donc 2x +3 = 0 ou 3x –5 = 0 d’où 2x = 0 – 3 d’où 3x = 0 + 5 d’où 2x = – 3 d’où 3x = 5 −3 5 d’où x = 2 d’où x = 3 −3 2

5 3

L’équation admet deux solutions : et b. Solution entière de l’équation. 0,5 point −3 = - 1,5 Ce n’est pas un nombre entier. 2 5 3

ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est égal à 1. Ce n’est pas un nombre entier. Cette équation n’a pas de solution entière. c. Solution décimale de l’équations. 0,5 point −3 = - 1,5 ceci est un nombre décimal. 2 Cette équation a une solution décimale. Exercice 2 : 5 points Question 1

2 3

Réponse est inférieure à la moyenne de cette série de valeurs multiplier ce prix par 0,85. −18

Question 4

Réponse admet une solution : −4.

5

supérieurs ou 28 égaux à 3

Exercice 3 : 3 points On donne x = √72 et y = √98. 1. Ecrire x et y sous la forme 𝑎√𝑏 (a et b entiers, a étant le plus grand entier possible). 2 points x = √72 y = √98 x = √36 × 2 y = √49 × 2 x = √36√2 y = √49√2 x = 6 √2 y = 7√2 2. Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 – y2 et x + y. 1 point x2 – y2 x+y 2 2 = 6 √2 + 7√2 = (√72) − (√98 ) = ( 6 + 7) √2 = 72 – 98 = 13√2 = - 26 Exercice 4 : 6 points ̂ . 1 point 1. Calcul de la mesure de l’angle•𝐸𝐹𝐺 EFG est un triangle rectangle en E, alors on a : ̂ = 𝐸𝐹 cos 𝐸𝐹𝐺 𝐹𝐺 5

̂= cos 𝐸𝐹𝐺 13 d’après la calculatrice on obtient : ̂ ≈ 67 arrondi à l’unité. 𝐸𝐹𝐺 ̂ et égale à 67°. L’arrondi au degré de la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐺 2. Montrons que EG = 12 cm. 1 point EFG est un triangle rectangle en E, alors d’après le théorème de Pythagore on a : FG2 = FE2 + EG2 d’où 132 = 52 + EG2 d’où 169 = 25 + EG2 d’où EG2 = 169 – 25 d’où EG2 =144 d’où EG = √144 d’où EG = 12 EG est égale à 12 cm. 3. On considère le point M sur [EG] tel que EM= 3 cm. 0,5 point. Calculons GM. Les points E, M et G sont alignés dans cet ordre alors MG = EG – EM MG = 12 – 3 MG = 9 MG est égale à 9 cm

4. On sait que EFG est un triangle rectangle en E (2 points) alors (FE) est perpendiculaire à (EG) de plus (MN) est perpendiculaire à (EG) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles donc les droites (MN) et (EF) sont parallèles. 5. Calculons GN. 1,5 point Les triangles GEF et GMN de sommet commun G sont tels que : - M ∈ (GE) - N ∈ (GF) - (MN) et (EF) sont parallèles alors d’après le théorème de Thalès on a : 𝐺𝑀 𝐺𝑁 𝑀𝑁 = = 𝐺𝐸 𝐺𝐹 𝐸𝐹 9 𝐺𝑁 𝑀𝑁 = = 12 13 5 9 × 13 D’où GN = 12 GN = 9,75 GN est égale à 9,75 cm

L’expression en fonction de x de FD est égale à x – 2. 2. Expression de l’aire de FECD. 1 point Aire(FECD) = FE × FD = (2x +1)(x −2) L’expression en fonction de x de l’aire de FECD est égale à (2x +1)(x −2) 3. Expression en fonction de x, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF. 1 point Aire(ABCD) Aire(ABEF) = AB2 = AB×AF = (2x +1)2 = (2x +1)( x +3) 4. Aire du rectangle FECD 1 point Aire(FECD) = Aire(ABCD) - Aire(ABEF) = (2x +1)2 − (2x +1)(x +3) L’expression en fonction de x de l’aire du rectangle FECD est (2x +1)2 − (2x +1)(x +3). 5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc : (2x +1)2 − (2x +1)(x +3) = (2x +1)(x −2) Cette égalité traduit une factorisation 0,5 point Exercice 6 :

Exercice 5 : 6 points

Partie 1

Partie A : Étude d’un cas particulier x = 3.

1. Compléter le tableau 1 de l’Annexe 1. 1 point (enlever 0,5 par erreur) 2. On appelle x le montant de la réduction (en euros). Compléter le tableau 2 de l’annexe 1. 1,5 point (0,5 par réponse juste.) 3. Développer l’expression de la recette obtenue à la question 2. 0,5 point (20 – x)(500 + 50x) = 20 × 500 + 20 × 50x – 500x – 50x2 = 10 000 + 1 000x – 500x – 50x2

1. calcul de AB et AF. 1 point AF = 3 + 3 AB = 2 × 3 + 1 AF = 6 AB = 6 + 1 AB = 7 AB est égal à 7cm et AF à 6 cm 2. Calcul de l’aire du rectangle FECD. 0,5 point Aire(FECD) = Aire(ABCD) - Aire(ABEF) = AB2 - AB×AF = 72 - 7 × 6 = 49 – 42 =7 L’aire du rectangle FECD est égale à 7 cm2 Partie B : Étude du cas général : x désigne un nombre supérieur à deux. 1 point 1. Expression la longueur FD en fonction de x. On sait que F ∈ [AD] alors FD = AD – AF FD = 2x +1 – (x +3) FD = 2x +1 – x – 3 FD = x – 2

= 10 000 + 500x – 50x2 Partie 2 1. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 2 euros est 10 800 € 0,5 point 2. Par lecture graphique, une valeur approchée du montant de la réduction pour une recette de 4 050 euros est 17 € . 0,5 point Prix d’une place 20 – 17 = 3 Le prix d’une place est de 3 € 0,5 point 3. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette pour une réduction de 8 euros est égale à 10 800 € 0,5 point

4. Par lecture graphique, une valeur approchée de la recette maximale est égale à 11 250 €. 0,5 point Dans ce cas, la réduction est égale à 5 €. Prix de la place : 20 – 5 = 15 Le prix d’une place est de 15 € 0,5 point Exercice 7 : 5 points 1. Figure 1 point 2. Calcul de la longueur exacte du segment [BE] et de sa valeur arrondie au millimètre près. On sait que ABC est un triangle isocèle en A, alors AB = AC On sait que ACE est un triangle équilatéral alors AC = AE = CE On en déduit que AE = AB = 5 cm. De plus, si un triangle est isocèle, alors ses angles à la bases sont de même mesure ̂ = 𝐴𝐶𝐸 ̂ = 75° donc 𝐴𝐶𝐵 dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180° alors ̂ + 𝐴𝐵𝐶 ̂ + 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 180 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 180 75 + 75 + 𝐵𝐴𝐶 ̂ 150 + 𝐵𝐴𝐶 = 180 ̂ = 180 – 150 d’où 𝐵𝐴𝐶 ̂ 𝐵𝐴𝐶 = 30 ̂ mesure 30° 1 point 𝐵𝐴𝐶 On sait que ACE est un triangle équilatéral, si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent 60° ̂ = 60° 0,5 point donc 𝐶𝐴𝐸 ̂ et 𝐶𝐴𝐸 ̂ sont adjacents de plus, 𝐵𝐴𝐶 ̂ ̂ ̂ d’où 𝐵𝐴𝐸 = 𝐵𝐴𝐶 + 𝐶𝐴𝐸 ̂ = 30 + 60 𝐵𝐴𝐸 ̂ = 90 𝐵𝐴𝐸 ̂ mesure 90° 𝐵𝐴𝐸 alors (AB) est perpendiculaire à (AE) 0,5 point d’où ABE est un triangle rectangle en A alors d’après le théorème de Pythagore on a : BE2 = AB2 + AE2 BE2 = 52 + 52 BE2 = 25 + 25 BE2 = 50 D’où BE = √50

BE = √25 × 2 BE = 5√2 1,5 points BE ≈ 7,1 arrondi au dixième. 0,5 point La valeur exacte de la longueur BE est égale à 5√2 cm, son égal à 7,1 cm. ANNEXE 1 Tableau 1 Réduction en € Prix de la place Nombres de en € spectateurs 0 20 500 1 19 500 + 50 = 550 600 2 18 4 16 500 + 4×50 = 700 Tableau 2 Réduction en € Prix de la place Nombres de en € spectateurs x 20 – x 500 + 50x

ANNEXE 2

arrondi au millimètre est

Recette du spectacle 20 ×500 = 10 000 19 ×550 = 10 450 18 ×600 = 10 800 16 ×700 = 11 200 Recette du spectacle (20 – x)(500 + 50x)