Correction du devoir 10 classe de 5 e

Correction du devoir 10 classe de 5 e Pour les parents qui aident leur enfants. Le but à atteindre dans ce devoir est de montrer que la médiane dans un triangle partage le triangle en deux triangles de même aire. Les enfants ne doivent donc pas utiliser cette propriété et ils n'ont pas pas besoin de connaître la définition de la médiane. Le bilan est fait en classe afin de montrer aux élèves le fil conducteur de l'exercice. Pour atteindre ce but, les élèves doivent utiliser uniquement les propriétés de la symétrie centrale . Ce devoir leur permet donc de réinvestir tout ce qui a été vu sur cette symétrie et dans ce corrigé j'ai mis en rouge toutes les propriétés que les élèves ont à leur disposition pour mener à bien ce travail. Ce corrigé va leur permettre de revoir les propriétés essentielles de géomètrie auxquelles il faudra ajouter les proprietés sur les parallélogrammes particuliers.

Données: RCO est un triangle RC = 7 cm, RO = 6 cm et CO = 10 cm I le milieu de [CO] T le milieu de [RC] A le symétrique du point I par rapport au point T J milieu de [RO] V est le symétrique du point I par rapport au point J

4) Que puis-je dire des droites (AC) et (VO) ? Ma démarche: Sur le dessin , je vois que les droites sont parallèles. Rappel de cours: que puis-je utiliser pour montrer que des droites sont parallèles? Ma boîte à outils: J'ai à ma disposition les théorèmes suivants: Propriété 1: Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles Propriété 2: Si deux droites sont parallèles à la même droite alors elles sont parallèles Propriété 3: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.

Propriété 4: Si une droite est parallèle à l'axe dans une symétrie axiale alors la droite symétrique est parallèle à l'axe. Propriété 5: Si deux droites sont symétriques dans une symétrie centrale alors elles sont parallèles. Propriété 6: Si deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants sont égaux alors ils sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante

Que puis-je utiliser? Dans le texte on m'a fait tracer des symétriques de triangles par rapport à un point, donc je vais utiliser le théorème 5 et le théorème 2. Ma démonstration: Etape 1: je montre que :les droites (AC) et (RI) sont parallèles. Données Propriété Etape 1: Par la symétrie de Si deux droites sont centre T, l'image du point A est symétriques par rapport à un le point I et l'image du point C point alors elles sont parallèles est le point R , l'image de la droite (AC) est la droite (RI)

Conclusion

Donc les droites (AC) et (RI) sont parallèles.

Etape 2: je montre que :les droites (AC) et (RI) sont parallèles. Données

Propriété

Etape 2: : Par la symétrie de Si deux droites sont centre J, l'image du point R est symétriques par rapport à un le point O et l'image du point I point alors elles sont parallèles est le point V , l'image de la droite (RI) est la droite (VO)

Conclusion Donc les droites (VO) et (RI) sont parallèles.

Etape 3: je montre que :les droites (AC) et (VO) sont parallèles. Données

Propriété

Conclusion

Etape 3: les droites (AC) et (RI) Si deux droites sont parallèles à Les droites (AC) et (VO) sont sont parallèles une même droite alors elles sont parallèles. et les droites (VO) et (RI) sont parallèles. parallèles. 5) Je montre que le point R est le milieu du segment [AV]. Ma boîte à outil: comment montrer qu'un point est le milieu d'un segment Propriété 1: Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités du segment alors ce point est au milieu du segment Propriété 2: Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle coupe le segment en son milieu. Propriété 3: Si un point est la milieu d'un segment alors le symétrique de ce point est le milieu du segment symétrique.

Propriété 4: Si un point est situé sur un segment et qu'il est à égale distance des extrémités du segment alors c'est le milieu du segment Propriété 5: si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu

Ici pour montrer que le point est le milieu d'un segment, je dois montrer que le point est sur le segment et à égale distance des deux extrémités du segment Démarche: Pour prouver que R est milieu de [AV], je dois montrer que les points A, R et V sont alignés. et que AR = RV. Pour prouver que les points sont alignés, je vais montrer que les droites (AR) et (RV) sont parallèles et commes ces droites ont un point commun alors elles seront confondues. Rappel de cours: que puis-je utiliser pour montrer que des droites sont parallèles? Ma boîte à outils: J'ai à ma disposition les théorèmes suivants: Propriété 1: Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles Propriété 2: Si deux droites sont parallèles à la même droite alors elles sont parallèles Propriété 3: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles et égaux.. Propriété 4: Si une droite est parallèle à l'axe dans une symétrie axiale alors la droite symétrique est parallèle à l'axe. Propriété 5: Si deux segments sont symétriques par rapport à un point ils sont parallèles et égaux Propriété 6: Si deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants sont égaux alors ils sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante

Que puis-je utiliser? Dans le texte on m'a fait tracer des symétriques de triangles par rapport à un point, donc je vais utiliser la propriété 5

Je montre que le point R est le milieu de [AV] Méthode 1: en utilisant la symétrie centrale Je prouve d'abord que les points A, R et V sont alignés Etape 1 : je montre que les droite (AR) et (CI) sont parallèles Données

Propriété

Etape 1: Par la symétrie de Si deux droites sont centre T, l'image du point A est symétriques par rapport à un le point I et l'image du point C point alors elles sont parallèles est le point R , l'image de la droite (AR) est la droite (CI)

Conclusion Donc les droites (AR) et (CI) sont parallèles

Etape 2: Je montre que les droites (RI) et (VO)sont parallèles Données

Propriété

Etape 2: Par la symétrie de Si deux droites sont centre J, l'image du point R est symétriques par rapport à un le point O et l'image du point I point alors elles sont parallèles est le point V , l'image de la droite (RI) est la droite (VO)

Conclusion Donc les droites (RI) et (VO)sont parallèles

Etape 3: Je montre que les points A, R et V sont alignés Données Etape 3: les droites (AR) et) (CI) sont parallèles et les droites (RI) et (VO)sont parallèles

Propriété

Conclusion

Si deux droites sont parallèles à Donc les droites (AR) et (RV) une même droite alors elles sont sont parallèles comme elles ont parallèles. un point commun alors elles sont confondues donc les points A, R et V sont alignés

Je vais montrer que : AR = RV

Données Par la symétrie de centre T l'image du segment [AR] est le segment [CI] et par la symétrie de centre J l'image du segment [VR] est le segment [IO] CI = IO

Propriété Si deux segments sont symétriques alors ils ont la même mesure

Conclusion Donc AR = CI et VR = IO et comme CI =IO alors AR = VR

Les points A, R et V sont alignés dans cet ordre et AR = VR donc R est le milieu du segment [AV]

Méthode 2 en utilisant le théorème 2 mais au préalable il faut prouver que les quadrilatères ARIC et RVOI sont des parallélogrammes. Ma boîte à outil pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme Propriété 1: Si un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme Propriété 2: si un quadrilatère non croisé a un centre de symétrie alors c'est un parallélogramme Propriété 3: si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme

Pour prouver que ARIC et RVOI sont des parallélogrammes, je vais utiliser la proporiété 2 Je montre que les quadrilatères ARIC et RVOI sont des parallélogrammes Données

Propriété

Conclusion

Par la symétrie de centre T Si un quadrilatère non croisé a Les quadrilatères ARIC et l'image du point A est le point I un centre de symétrie alors c'est RVOI sont des et l'image du point C est le un parallélogramme parallélogrammes point R et par la symétrie de centre J l'image du point V est le point I et l'image du point O est le point R

Je montre que les points A, R et V sont alignés

Données Les quadrilatères ARIC et RVOI sont des parallélogrammes

Propriété

Conclusion

Si un quadrilatère est un Donc les droites ( AR) et (CI) parallélogramme alors ses côtés d'une part et les droites ( VR) et opposés sont parallèles (IO) sont parallèles et comme les points I, O et C sont alignés alors les droites (AR) et (RV) sont parallèles et elles passent par le point R donc elles sont confondues et les points A, R et V sont alignés

Je montre que le point R est le milieu du segment [AV]

Données Les quadrilatères ARIC et RVOI sont des parallélogrammes et CI = IO

Propriété

Conclusion

Si un quadrilatère est un Donc AR = CI et RV = IO et parallélogramme alors ses côtés comme IO = CI donc AR = RV opposés sont égaux

Les points A, R et V sont alignés dans cet ordre et AR = VR donc R est le milieu du segment [AV] 6) Que dire des aires des triangles ARC et RCI?

Données Les triangles ARC et RCI sont symétriques par rapport au point T

Propriété

Conclusion Aire ARC =Aire RCI

Si deux triangles sont symétriques alors ils ont la même aire

7) Que dire des aires des triangles RIO et RVO?

Données Les triangles RIO et RVO sont symétriques par rapport au point J

Propriété

Conclusion Aire RIO = Aire RVO

Si deux triangles sont symétriques alors ils ont la même aire

8) Que dire des aires des quadrilatères ARIC et RVOI ? Les deux parallélogrammes ont la même aire car la hauteur relative aux côtés (CI) et (IO) est la même et CI =I O Aire ARIC = Aire RVOI

9) On montre que les aires des triangles RIC et RIO sont égales Aire ARIC =Aire ARI Aire ACI

et comme

Aire RVOI =Aire RIO Aire RVO et comme

et comme

Aire ARIC = Aire RVOI alors

Aire ARC =Aire RCI alors Aire RIO = Aire RVO

alors

Aire ARIC =2×Aire ARI Aire RVOI =2× Aire RIO

Aire RIC =Aire ROI

Donc nous venons de démontrer que : la droite (RI) partage le triangle en deux triangles de même aire.