Correction exercice 4 – Probabilités 2

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 4 – Probabilités 2 On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au toucher. 1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ? Les 9 boules de l’urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc 9 constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc   càd 84 tirages possibles . 3 2. a. Calculons la probabilité de l’événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges" Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges. Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4 4 donc il y a  =6 possibilités faire un tel tirage. 2 5   Et il y a  =5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges. 1 D’où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges. 4 5  ×   2 1 donc en supposant l’équiprobabilité des tirages, p(A) =     = 30 = 5 ó0,36 9 84 14     3 La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)= 5 ó0,36 14 b. Calculons la probabilité de l’événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges". "Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges" Il y a donc 30+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges. 4 5 Or, nous avons vu qu’il y a  ×  =30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules 2 1 4 rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit  =4 possibilités 3 5 5 4 4          ×  +  ×   1 0 2 3 Donc en supposant l’équiprobabilité, p(B) =         = 34 = 17 ó0,4 84 42 9   3 La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)= 17 ó0,4 42 c. Calculons la probabilité de l’événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même couleur" ? Pour que C se réalise, on peut : - tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc  3  6    =18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.  2  1  - ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc  2  7    =7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.  2  1 

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons

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4 5 ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu’il y a  ×  =30 possibilités de la faire. 2 1 - D’où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc 3 6 2 7 4 5  ×  +  ×  +  ×   1 1 1 2 2 2 en supposant l’équiprobabilité p(C) =             = 55 ó0,65 84 9   3 55 La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)= ó0,65 84 -

d. Calculons la probabilité de l’événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur" Pour que D se réalise, il faut : - tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4. - et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3. - et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.  4  3  2  Il y a donc    =24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur  1  1  1  Donc p(D)= 24 = 2 ó0,29 84 7 La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)= 2 ó0,29 . 7 3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne rien. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d’un jeu. a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. X X peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0. o p(X=15)=p(A)= 5 14 o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a 4 donc  =4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)= 4 = 1 3 84 21 o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une  5  4  boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc   =40  2  1  40 10 possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X=4)= = 84 21 o p(X=0)=1−(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1− 10 − 5 − 1 = 5 21 14 21 42 D’où la loi de probabilité de la v.a. X : xi 100 15 4 0 1 5 10 5 P ( X=xi ) 21 14 21 42 b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ? i=3

Calculons l’espérance de X : E(X)= ∑xi p ( X=xi ) =100× 1 +15× 5 +4× 10 +0× 1 = 505 ó12,02 21 14 21 14 42 i=0 En moyenne, le joueur peut donc espérer gagner 2,02 euros environ. Pour une mise de 10 euros, le jeu est favorable au joueur .

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons

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