Correction exercice 8 – Probabilités

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 8 – Probabilités Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. 1 Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de ou bien ne rien gagner. 50 G désigne l’événement "le joueur gagne au grattage". Il participe alors à la loterie avec le même billet. Il peut alors gagner 100 euros, 200 euros ou ne rien gagner. L1 désigne l’événement : "le joueur gagne 100 euros à la loterie" L2 désigne l’événement : "le joueur gagne 200 euros à la loterie" P désigne l’événement ; "le joueur ne gagne rien à la loterie". 1 Si le joueur n’a pas gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est et la probabilité qu’il gagne 70 1 L1 : gain : 190 200 euros à la loterie est . 490 1 1. 10 a. Faisons un arbre (complété) L2 : gain : 290 8 10

G 1 50

49 50

1 10

P : gain : 90

L1 : gain : 90

1 70

Ò G

1 490

L2 : gain : 190 241 245

P : gain : -10 D’après l’énoncé :

1 Ò )=1− 1 = 49 donc p (G 50 50 50 1 1 p (L1)= et p (L2)= Ò Ò G G 70 490 p(G)=

b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. L1, L2 et P forment une partition de l’univers donc pÒ G (L1)+pÒ G (L2)+pÒ G (P)=1 1 1 241 donc pÒ − = G (P) =1− pÒ G (L1)−pÒ G (L2)=1− 70 490 245 La probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage est

241 . 245

c. Gain alébrique : voir arbre

2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD

Proba – Correction ex 8

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La probabilité des événements "X=90" et "X=190" sont respectivement

2 1 et 125 250

a. Montrons que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au 1 1 grattage, est égale à càd montrons que pG (L1)= . 10 10 Ò ∩L2. D’après l’arbre, l’événement "X=190" est la réunion des événements incompatibles G∩L1 et G Ò ∩L2) . Donc p(X=190)=p (G∩L1)+p (G 1 Ò ∩L2)=pÒ Ò ) donc p (G∩L1)= 1 − 49 × 1 = 1 Or, p(X=190)= et p (G G (L2)p (G 250 250 50 490 500 1

p (G∩L1) 500 1 donc pG (L1)= = = 1 p(G) 10 50

La probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage est

1 . 10

b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage, càd calculons pG (P) Ò ∩L1 L’événement "X=90" est la réunion des événements incompatibles G∩P et G Ò ∩L1) . donc p(X=90)=p(G∩P)+p (G 2 Ò ∩L1)=pÒ Ò ) donc p(G∩P)= 2 − 49 × 1 = 1 et p (G Or, p(X=90)= G (L1)p (G 125 125 50 70 500 1 500 p(G∩P) 1 donc pG (P)= = = 1 p(G) 10 50

La probabilité que le joueur perde à la loterie sachant qu’il a gagné au grattage est

1 10

c. Déterminons la loi de probabilité de X. X peut prendre les valeurs -10, 90, 190 et 290. Ò ∩P donc L’événement "X=-10" est l’événement " le joueur perd au grattage et à la loterie" càd G Ò ∩P ) =pÒ Ò )= 49 × 241 = 241 p(X=-10)=p ( G G (P)×p (G 50 245 250 L’événement "X=290" est l’événement "le joueur gagne au grattage et 200 euros à la loterie" càd G∩L2 donc 1 8 8 2 p(X=290)=p (G∩L2)=pG (L2)×p(G)= × = = 50 10 500 125 D’où la loi de probabilité de X donnée dans le tableau suivant : xi 90 190 290 -10 241 2 1 2 p ( X=xi ) 250 125 250 125 Calculons l’espérance de X. 4

E(X)= ∑xi p ( X=xi ) =-10× i=1

L’espérance de X est -

241 2 1 8 14 +90× +190× +290× =250 125 250 500 5

14 càd que le jeu n’est pas avantageux pour le joueur . 5

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD

Proba – Correction ex 8

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