Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités

Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités continues Attention, la correction peut contenir des erreurs de calcul. Ecrivez-moi si vous ne comprenez pas.

Exercice 1 : Calculer la fonction de répartition d’une variable aléatoire X de loi uniforme sur ]0, 1[. Quelle est la probabilité que X soit dans l’intervalle ]1/4, 3/4[, dans l’intervalle [1/2, 3], dans l’intervalle ] − 5, 1/3] ? FX (x) = 0 si x < 0 FX (x) = x si 0 ≤ x < 1 FX (x) = 1 si x ≥ 1 P(X ∈]1/4, 3/4[) = 1/2 ; P(X ∈]1/2, 3[) = 1/2 ; P(X ∈] − 5, 1/3[) = 1/3 Exercice 2 : Calculer la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ > 0. C’est du cours ! F (x) = 0 si x < 0 , F (x) = 1 − e−λx si x ≥ 0 . Exercice 3 : Etant donnée une variable aléatoire X de loi uniforme sur ]0, 1[, donner la loi de la variable λX + µ pour λ et µ deux réels. Méthode. On écrira, pour a < b, P{a ≤ λX + µ ≤ b}, comme l’intégrale entre a et b d’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement de variable y = λx + µ. On pose Y = λX + µ (Y est une variable aléatoire). On suppose λ > 0 (sinon il faut juste faire attention aux bornes des intégrales). Par définition de la densité de Y , notée fY , on a Z b P(Y ∈ [a, b]) = fY (y)dy a

Par ailleurs : P(Y ∈ [a, b]) = P(λX + µ ∈ [a, b]) = P(X ∈ [(a − µ)/λ, (b − µ)/λ] Z (b−µ)/λ = fX (x)dx (a−µ)/λ b

Z

fX ((y − µ)/λ)dy/λ

= a

On a utilisé un changement de variable dans la dernière égalité. Cette égalité est vraie pour tous a et b. En comparant avec la définition de fY , on voit donc que fY (y) = fX ((y − µ)/λ)/λ Donc fY (y) = 0 si y < µ, fY (y) = 0 si y > µ + λ, fY (y) = 1/λ sinon. Y est donc une v.a. de loi uniforme sur l’intervalle [µ, µ + λ]. Exercice 4 Etant donnée une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre 1, donner la loi de λ−1 X, pour λ réel strictement positif. Méthode. On écrira, pour a < b, P{a ≤ λ−1 X ≤ b}, comme l’intégrale entre a et b d’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement de variable y = λ−1 x. Même méthode. On pose Y = X/λ. P(Y ∈ [a, b]) = P(X/λ ∈ [a, b]) = P(X ∈ [λa, λb] Z λb = fX (x)dx λa Z b fX (λy)dy × λ = a

Comme à l’exercice précédent, on en déduit fY (y) = fX (λy)λ Donc fY (y) = 0 si y < 0, et fY (y) = λe−λy si y ≥ 0. Donc Y est une v.a. de loi exponentielle de paramètre λ. Exercice 5 Etant donnée une variable aléatoire X de loi gaussienne centrée réduite, i.e. de loi de densité x2
1 √ exp − x ∈ R 7→ . 2 2π donner la loi de m + σX, pour m réel et σ réel strictement positif. Méthode. On écrira, pour a < b, P{a ≤ m + σX ≤ b}, comme l’intégrale entre a et b d’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement de variable y = m + σx. C’est encore le même principe; on trouve que Y = m + σX est une v.a. de loi N (m, σ 2 ). Exercice 6 Une machine-outil débite des plaques carrées dont le côté, mesuré en centimètres, est une v.a.

X de loi U([9, 11]). a. Donner la densité de probabilité de la variable aléatoire S représentant la surface d’un carré. On a S = X 2 . Toujours la même méthode pour calculer la densité de S. Bien sûr, S ne prend que des valeurs positives. Soient donc a et b positifs; on a : P(S ∈ [a, b]) = P(X 2 ∈ [a, b]) √ √ = P(X ∈ [ a, b] Z √b = √ fX (x)dx Z =

a b

√ √ fX ( y)dy/(2 y)

a

√ On en déduit que fY (y) = 1/(4 y) si y ∈ [92 , 112 ], et 0 sinon. b. En utilisant le a., calculer la probabilité qu’un carré ait une surface au moins égale à 110 centimètre carrés. Z

112

P(S ≥ 110) = 110

√ dy √ 2 110/2 ' 0.256 √ = [ y/2]11 110 = 5.5 − 4 y

c. Calculer directement à partir de la loi de X, la même probabilité qu’au b. et vérifier en comparant les résultats. √ √ 1 P(S ≥ 110) = P(X 2 ≥ 110) = P(X ≥ 110) = (11 − 110) ' 0.256 2 Exercice 7 Soit X une v.a. de loi U([0, 1]). Pour a > 0, on définit Y = − ln(X)/a. Déterminer la loi de Y . Pour changer des exercices 3, 4, 5 et 6, on utilise une méthode un peu différente. On note FX la fonction de répartition de X, et FY celle de Y . Remarquons d’abord que puisque X prend ses valeurs entre 0 et 1, Y prend ses valeurs entre 0 et +∞. Donc FY (y) = 0 si y ≤ 0. On a X = e−aY , donc, pour y > 0 (en prenant garde que la fonction y 7→ e−ay est décroissante) : P(Y ≤ y) = P(e−aY ≥ e−ay ) = P(X ≥ e−ay ) = 1 − FX (e−ay ) e−ay est compris entre 0 et 1; en utilisant l’expression de la fonction de répartition d’une v.a. uniforme sur [0, 1], on a FX (e−ay ) = e−ay . Donc FY (y) = 1 − e−ay , pour y > 0. On reconnaît la fonction de répartition d’une loi exponentielle, et on conclut que Y est de loi E(a). Exercice 8 Calculer l’espérance et la variance de la loi uniforme sur le segment [a, b], a < b, i.e. la loi de densité 1 x ∈ R 7→ 1[a,b] (x). b−a Cours. Exercice 9 Calculer l’espérance et la variance de la loi exponentielle de paramètre λ > 0. Cours.

Exercice 10 Soit X une variable aléatoire de loi gaussienne centrée réduite. Calculer E[exp(X)]. On utilise le cours Z E[exp(X)] = = = = =

fX (x)ex dx Z +∞ 1 2 √ e−x /2+x dx 2π −∞ Z +∞ 1 2 √ e−(x−1) /2+1/2 dx 2π −∞ Z +∞ 2 1/2 1 e √ e−y /2 dy 2π −∞ 1/2 e

On a utilisé le changement de variable y = x − 1. Exercice 11 : On lance un dé équilibré 3000 fois. On s’intéresse à la v.a. N qui compte le nombre de résultats supérieurs ou égaux à 5. a. En utilisant la loi des grands nombres, de quel nombre N/3000 devrait être proche ? On pose Xi = 1 si le lancer de dé i donne 5 ou 6, et Xi = 0 sinon. Chaque Xi suit une loi B(1/3), et les Xi sont indépendants. De plus, N = (X1 + . . . + X3000 . La loi des grands nombres dit que (X1 + . . . + Xn )/n tend vers E(Xi ) = 1/3 quand n tend vers l’infini. Donc N/3000 doit être proche de 1/3. b. Quel est l’écart-type de N ? N est la somme de 3000 v.a. indépendantes et de même loi, de variance 1/3(1 − 1/3) = 2/9. La variance de N est donc 3000 × 2/9 = 2000/3 c. En utilisant le TCL : quelle est la probabilité que N soit plus grand que 1030 ? Compris entre 950 et 1050 ? N √ est la somme de 3000 v.a.p indépendantes et de même loi. Le TCL dit que la loi de n[(X1 + . . . + Xn )/n − 1/3]/ 2/9 tend vers une loi N (0, 1) quand √ n tend vers l’infini.p3000 est suffisamment grand pour que l’on puisse approximer la loi de ( 3000(N/3000 − 1/3)/ 2/9 par une loi N (0, 1). Alors p p √ √ P(N ≥ 1030) = P( 3000(N/3000 − 1/3)/ 2/9 ≥ 3000(1030/3000 − 1/3)/ 2/9) ' P(Z ≥ 1.16) ' 0.123 où Z est une v.a. de loi normale centrée réduite. On a utilisé une table de la loi normale pour la dernière ligne. Exercice 12 : Je prends un bus 240 fois dans l’année. On peut considérer que les temps d’attente sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi. Je sais que le temps moyen d’attente est de 5 minutes. Je sais de plus que le temps d’attente d’un bus suit une loi exponentielle.

Quelle est le paramètre cette loi exponentielle ? Puis-je évaluer la probabilité que mon temps d’attente total sur une année soit inférieur à 19h ? Une loi exponentielle de paramètre λ a une espérance 1/λ. Le temps d’attente (exprimé en minutes) suit donc une loi E(1/5). Le temps total d’attente sur un an est X = (T1 + . . . + T240 ). Les Ti sont des v.a. de même loi, d’espérance 5 et de variance 52 . On peut supposer que les Ti sont indépendantes. 240 est assez grand pour √ qu’on puisse utiliser l’approximation fournie par le TCL. On écrit donc que (X − 240 × 5/( 240 × 5) suit approximativement une loi normale centrée réduite. Donc √ √ P(X ≤ 19 × 60) = P((X − 240 × 5)/( 240 × 5) ≤ (19 × 60 − 240 × 5)/( 240 × 5)) √ ' P((X − 240 × 5)/( 240 × 5) ≤ −0.775) ' P(Z ≤ −0.775)

où Z est une v.a. de loi normale centrée réduite. On a utilisé l’approximation donnée par le TCL pour la dernière ligne. La proba cherchée est environ 0.22 (en utilisant une table de la loi normale).