Correction_TS.eval2.12

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TS. Évaluation 2 - Correction

E X 1 : ( 3 points ) Les deux questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. 0, 68 B Toute trace de recherche sera valorisée. A 0, 2 0, 32 B 1. On considère l’arbre de probabilités suivant : • 0, 6 B A 0, 8 0, 4 B Affirmation : la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est égale à 0, 32. On a complété en rouge le premier arbre et on l’inverse : ?

B

 0,  32 

A A

•

Avec la formule des probabilités totales, on calcule d’abord p(B). p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A) × p A (B) + p(A) × p A (B) = 0, 2 × 0, 68 + 0, 8 × 0, 6 = 0, 616. On peut ajouter 0, 616 à la place du ? sur l’arbre inversé. Enfin, la formule des probabilités conditionnelles : p B (A) =

A B A

p(A ∩ B) 0, 2 × 0, 68 = ≈ 0, 22. Donc p B (A) 6= 0, 32. p(B) 0, 616

L’affirmation est fausse 2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l’urne. Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est 9 égale à . 22 L’urne contient n + 3 boules. L’univers est l’ensemble des paires de boules tirées. Comme elles sont « indiscernables » au toucher, il y a équiprobabilité. Ã ! n +3 (n + 3)(n + 2) Le nombre de tirages possibles est = . 2 2 Ã ! n Le nombre de tirages contenant 2 boules rouges est . 2 Ã ! 3 Le nombre de tirages contenant 2 boules noires est . 2 Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! Ã ! n +3 n 3 3 n Le nombre de tirages contenant 1 boule de chaque couleur est − − ou bien × = 3n. 2 2 2 1 1 3n × 2 La probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est donc (n + 3)(n + 2) 3n × 2 9 2 Le problème revient à résoudre = ⇐⇒ 3n − 29n + 18 = 0. (n + 3)(n + 2) 22 C’est une équation du second degré. On cherche une solution entière positive. Plusieurs façons de répondre ici : – On peut calculer le discriminant, il est positif, puis les solutions 9 et 32 . . . – On peut aussi utiliser les variations que l’on connait bien ! On affiche la courbe, et on vérifie que 9 est OK. L’affirmation est vraie E X 2 : ( 5 points ) On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle, x % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0, 12 + 0, 004x.

Si on note les événements : B : "le cube est bleu" R : "le cube est rouge" C : "le cube a ses faces marquées d’un cercle" L : "le cube a ses faces marqués d’un losange" E : "le cube a ses faces marquées d’une étoile".

60 %

B

40 %

C

20 %

L

40 %

E

20 %

C

x%

L

• 40 %

R

(80 − x) %

E

La probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à : x = 0, 12 + 0, 004x . 60 % × 20 % + 40 % × x % = 0, 6 × 0, 2 + 0, 4 × 100 2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile. Notons P(L) la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange et P(E) celle de tirer un cube marqué d’une étoile. 80 − x P(L) = P(E) ⇐⇒ 0, 12 + 0, 004x = 0, 6 × 0, 4 + 0, 4 × La probabilité de tirer un cube marqué d’un losange 100 est égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile ⇐⇒ 0, 12 + 0, 004x = 0, 24 + 0, 32 − 0, 004x pour x = 55 . ⇐⇒ 0, 008x = 0, 44 ⇐⇒ x = 55 3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants. Les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » sont indépendants équivaut à P(B ∩ L) = P(B) × P(L). Ce qui équivaut à : 0, 6×0, 2 = 0, 6×(0, 12+0, 004x) ⇐⇒ 0, 12 = 0, 072+0, 0024x ⇐⇒ 0, 048 = 0, 0024x ⇐⇒ x = 20 4. On suppose dans cette question que x = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange. P(L ∩ B) 0, 6 × 0, 2 0, 12 PL (B) = = = = 0, 375 P(L) 0, 12 + 0, 004 × 50 0, 32 La probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange est donc 0, 375 . Partie B : expérience 2 On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis au millième. 1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ? La de ne tirer aucun cube rouge est : Ã probabilité ! 60 60! 3 60 × 59 × 58 3 × 20 × 59 × 2 × 29 1711 57!3! Ã != = = = ' 0, 212 100! 100 × 99 × 98 5 × 20 × 3 × 3 × 11 × 2 × 49 8085 100 97!3! 3 La probabilité de tirer au moins un cube rouge est donc 1 − 1711 8085 =

6374 8085

' 0, 788

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? D’après les calculs précédents la probabilité que les trois cubes soient bleus est La que les trois cubes soient rouges est : Ã probabilité ! 40 40! 3 40 × 39 × 38 2 × 20 × 3 × 13 × 2 × 19 494 Ã ! = 37!3! = = = ' 0, 061. 100! 100 × 99 × 98 5 × 20 × 3 × 3 × 11 × 2 × 49 8085 100 97!3! 3 La probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur est donc

1711 8085

1711 8085 .

494 + 8085 =

2205 8085

' 0, 273

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ? Il marqués d’un cercle donc la probabilité d’avoir tiré exactement un cube marqué d’un cercle est à y !a 32à cubes ! 32 68 × 1 2 3 × 32 × 68 × 67 27 × 3 × 17 × 67 54672 à ! = = 3 = ' 0, 451. 2 2 2 100 × 99 × 98 2 × 3 × 5 × 7 × 11 121275 100 3 La probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle est environ 0, 451

E X 3 : ( 2 points ) Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme suivant, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. L’algorithme affiche le nombre de fois où le tirage aléatoire d’un numéro entre 1 et 7 donne un résultat strictement supérieur à 5 lors de 9 tirages. On peut assimiler ces 9 tirages indépendants à un schéma de Bernoulli où l’évènement « succès » est « le numéro obtenu est strictement supérieur à 5 », alors la variable aléatoire X suit la loi binomiale de pa2 ramètres n = 9 et p = (probabilité qu’un nombre entier 7 entre 1 et 7 soit strictement supérieur à 5).

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si Fin répéter Afficher C.