Corrigé

EXAMEN ANNEE 2014-2015 Licence Economie 2e année 1re SESSION

3e SEMESTRE

Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction

Durée : 2H

fX(x)

Exercice I (30 min, 5 points)

On considère une variable aléatoire continue X de densité fX représentée ci-dessous :

0,5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

1) Le graphe ci-dessus correspond bien à une densité car la fonction est positive (courbe au dessus de l’axe des x),

continue (courbe continue) sauf en 1; 3; 4 et 6 et d’intégrale égale à 1 (aire entre la courbe et l’axe des x égale à l’aire de 2 triangles (1=4 chacun) et d’un rectangle (1=2). 2) En justifiant graphiquement vos réponses, déterminer les probabilités suivantes : a) P .X < 1/ D P .X > 6/ D car la densité est nulle sur  1; 1 et sur Œ6; C1Œ. b) P .3 6 X 6 4/ D 1=2 car c’est l’aire du rectangle entre x D 3 et x D 4. c) P .1 6 X 6 3/ D 1=4 car c’est l’aire du triangle entre x D 1 et x D 2. d) P .3 6 X 6 7/ D 3=4 car c’est l’aire du rectangle précédent et du triangle entre x D 5 et x D 6. e) P .2 6 X 6 5/ D 1=2 car c’est l’aire du rectangle précédent. 3) La courbe est symétrique par rapport à x D 3:5. On en déduit que 3:5 est la médiane et l’espérance de X. 4) La variable X varie (avec une probabilité non-nulle) entre 1 et 6. D’où 1 3:5 6 X E.X / 6 6 3:5. Les variations de X autour de sa moyenne sont donc inférieures à 2:5. Il en est donc de même de son écart-type X . Exercice II (30 min, 4 points)

En moyenne, un automobiliste effectue le trajet en voiture via la N21 de Limoges à Périgueux en 1h30. On suppose que la durée X du trajet de cet automobiliste (exprimée en minutes) suit une loi normale. (Rappel : 1 h = 60 min) 1) On observe que dans 10 % des cas, l’automobiliste effectue le trajet en plus de 1h45. On sait donc que X ,! N .90;  / et que P .X > 105/ D 0:10. On a donc P .X > 105/ D 0:10 ” P X  6

105 90 




D 0:90 H)

105

90 

D z0:90 D 1:285 H)  D 11:67

2) On suppose que X suit (approximativement) une loi N .90; 12/. a) La probabilité que l’automobiliste fasse le trajet en moins de 1h10 est

P .X 6 70/ D P X  6

70 90 12




D P .X  6

1:66/ D 1

P .X  6 1:66/ D 1

0:9515 D 0:0485

b) On sait que E.X / D 90. Donc P .X 6 90/ D 0:50. La probabilité que le trajet dure entre 1h10 et 1h30 est donc

P .70 6 X 6 90/ D P .X 6 90/

P .X 6 70/ D 0:5

0:0485 D 0:4515

c) On cherche la durée maximale M du trajet les trois-quarts du temps, c’est-à-dire

 P .X 6 M /0:75 H) P X  6

M 90 12



D 0:75 H)

M

90 12

D z0:75 D 0:675 H) M D 98:1

Exercice III (30 min, 5 points)

En 2010, on considère que 2 % des automobilistes de France métropolitaine circulent sans permis de conduire. Soit X le nombre d’automobilistes sans permis parmi 125 automobilistes contrôlés (au hasard). 1) Le contrôle de 125 automobilistes correspond à un tirage sans remise de 125 automobilistes. Toutefois, le nombre d’automobilistes circulant étant très supérieur au nombre controlé, on peut considérer que le tirage est effectué avec remises. On compte le nombre d’automobiliste circulant sans permis dont la proportion dans la population est p D 0:02. D’on X ,! B.125; 0:02/. 2) Le nombre moyen d’automobilistes sans permis peut-on s’attendre à trouver (parmi les 125 contrôlés) correspond à l’espérance de X , soit E.X / D 125  0:02 D 2:5. 3) La probabilité qu’aucun des 125 automobilistes contrôlés soit sans permis est ! 125 P .X D 0/ D  0:020  0:98125  0:0:08 0 4) La probabilité qu’au moins 2 des 125 automobilistes contrôlés soient sans permis est

P .X > 2/ D 1

P .X < 2/ D 1 P .X D 0/ P .X D 1/ ! 125 P .X D 1/ D  0:021  0:98124  0:2042 1 P .X > 2/  1

0:08

0:2042 D 0:7158

5) Comme n D 125 est grand et p D 0:02 petit, on peut approcher la loi binomiale par la loi de Poisson P .2:5/. Dans

la table, on peut lire P .P .2:5/ 6 8/  0:9989. C’est la probabilité qu’au plus 8 des 125 automobilistes contrôlés soient sans permis. Exercice IV (20 min, 4 points)

Une brigade de gendarmerie teste une nouvel alcootest. Les résultats observés sont les suivants : – lorsque la personne a consommé de l’alcool, le test se révèle positif dans 95 % des cas ; – lorsque la personne n’a pas consommé d’alcool, le test se révèle (faussement) positif dans 3 % des cas. Ce test a été expérimenté dans une zone géographique où 2 % des conducteurs conduisent en état d’ébriété. 1) On note POS l’événement « le test sur l’individu contrôlé est positif » et ALC l’événement « l’individu contrôlé a consommé de l’alcool ». D’après l’énoncé, on a les probabilité suivante : P .POSjALC/ D 0:95

P .POSjALC/ D 0:03

P .ALC/ D 0:02

2) D’après la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un individu contrôlé soit déclaré positif est

P .POS/ D P .POSjALC/  P .ALC/ C P .POSjALC/  P .ALC/ D 0:95  0:02 C 0:03  0:98 D 0:0484 3) D’après la formule de Bayes, la probabilité qu’un individu controlé positif ait effectivement consommé de l’alcool

est P .ALCjPOS/ D

P .POSjALC/  P .ALC/ 0:95  0:02 D  0:3925 P .POS/ 0:0484

4) D’après le dernier calcul, l’utilisation de ce test donne plus de 60 % de faux positifs (1

raisonnable de continuer à l’utiliser !

2

0:3925). Il n’est donc pas