corrigé activité 2 : la conservation de châteaux

Avril 2016

Formation Mathématique-FBD

Activité 2 Rendre compte de la mobilisation des connaissances et des stratégies de résolution mobilisées par l’élève en la contrastant aux attentes de fin de cours. Cours ciblés pour alimenter la réflexion Cours de représentations géométriques : MAT-3053, MAT-4153, MAT-4163, MAT-4173, MAT-5153, MAT-5163, MAT-5173 Préalables possibles Il faut ici distinguer les préalables selon les cours.  Distinguer et interpréter les représentations d’un objet sous différentes vues (projections orthogonales).  Reconnaissance de prismes droits.  Reconnaissance de triangles rectangles.  Établissement et recherche de mesures manquantes à l’aide de rapports trigonométriques.  Établissement d’un système d’équations du 1er degré.  Recherche d’une inconnue dans une équation du 1er degré.  Recherche de mesures manquantes, dans un triangle quelconque, à l’aide de la loi des sinus.  Recherche de mesures manquantes, dans un triangle quelconque, à l’aide de la loi des cosinus.  Recherche de mesures manquantes à partir de l’équivalence de volumes de solides. Intention didactique  Résoudre la situation-problème, de type contexte nouveau, en vue de discuter avec l’adulte des stratégies de résolution mobilisées. Intentions de l’activité À partir, de la mise en situation « Conservation de châteaux » et des programmes des cours mentionnés ci-haut, compléter le tableau proposé. Le participant doit : 1) préciser pour chacune des tâches de la situation si celles-ci pourraient être proposées à l’adulte réalisant l’un des cours donnés. 2) dans l’affirmative, identifier les savoirs qu’il pourra mobiliser. 3) identifier les stratégies de résolution dont on espère la mobilisation pour résoudre les deux tâches du problèmes.

Conservation de châteaux Quand le travail de l’arpenteur-géomètre est essentiel Les châteaux forts, vestiges d’une autre époque, font encore aujourd’hui la fierté des Européens. Ces monuments sont une preuve de savoirs faire hors pair. Il n’est pas surprenant de tout mettre en place pour les conserver. La conservation de ces monuments exige l’expertise de plusieurs professionnels. C’est le cas de l’arpenteur-géomètre. En effet, certains châteaux ont été bâtis à des endroits stratégiques et difficiles d’accès. Les arpenteurs-géomètres, agissant comme vigiles du patrimoine, doivent utiliser des techniques de mesure précises et des techniques de calcul rigoureuses afin de s’assurer que les monuments sont sécuritaires pour les touristes qui parcourent la planète pour les visiter. Suite à l’analyse comparative d’une année à l’autre de ces mesures, les gestionnaires de ces sites historiques peuvent intervenir au besoin en vue de le rénover et de les maintenir un état presque identique à celui du moment de leur construction. Un château fort, entouré de cours d’eau, est délimité de quatre tours ayant la forme de prismes droits à base carrée. Dans le but de s’assurer que les mouvements de sol liés aux tremblements de terre n’ont pas trop altéré les fondations des tours, des arpenteursgéomètres prennent des mesures, à l’aide d’instruments, qu’ils colligent par la suite dans un carnet.

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Voici les résultats des mesures d’une des tours telles que consignées dans le carnet des arpenteurs-géomètres. Ils sont accompagnés des schémas de la tour. Hauteur de la tour

Tour 1 - Vue de face Nord

̅̅̅̅ = 30𝑚 𝑚𝐾𝐿 Identification de l’angle

Mesure de l’angle (en degré)

∠𝐺𝐾𝐻

26,92o

∠𝐺𝐿𝐻

38,12o

Dimension de la base de la tour ̅̅̅̅ = 47,17𝑚 𝑚𝐸𝐹

Tour 1 - Vue de dessus

Identification de l’angle

Mesure de l’angle (en degré)

∠𝐶𝐸𝐴

21,11o

∠𝐴𝐸𝐹

88,85o

∠𝐶𝐹𝐴

14,32o

∠𝐶𝐹𝐸

37,66o

∠𝐸𝐴𝐷

21,03o

∠𝐹𝐶𝐷

15,48o

Tâche 1 : Déterminez les dimensions de la tour 1.

Tâche 2 : Sachant que la hauteur des trois autres tours correspond aux trois quarts de la hauteur de la tour 1 et sachant que les tours sont toutes de volume équivalent, déterminez les dimensions des trois autres tours.

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Analyse des tâches La tâche estelle pertinente pour le cours

Tâche 1

Tâche 2

Déterminez les dimensions de la tour 1.

Sachant que la hauteur des trois autres tours correspond aux trois quarts de la hauteur de la tour 1 et sachant que les tours sont toutes de volume équivalent, déterminez les dimensions des trois autres tours.

Identifiez les savoirs mobilisés :

MAT-3053 ?

Identifiez les savoirs mobilisés :

-

Il est possible d’adapter cette situation pour le MAT-3053. Pour ce faire, nous pourrions fournir les mesures des segments GK et GL. L’élève pourra alors établir un système d’équations en s’appuyant sur le théorème de Pythagore. Par contre, l’élève doit obligatoirement avoir réussi le cours MAT-3051 pour être en mesure d’appliquer le système d’équations et déduire toutes les autres mesures.

Encerclez

-

Oui ou Non

-

Reconnaissance de triangles - Volumes équivalents dans rectangles ou non ; son sens premier (volumes de Somme des angles intérieurs même grandeur) ; dans un triangle ; - Reconnaissance de prismes à Angles supplémentaires ; base carrée ; Selon la démarche des élèves, - Déduction de mesures à partir recherche de mesures de la formule de volume d’un manquantes par déduction : prisme ; o s’appuyant sur des rapports trigonométriques (tangente d’un angle à privilégier) et par l’établissement d’un système d’équations. Ou o s’appuyant sur les rapports trigonométriques et la *Les solides équivalents ne sont pas loi des sinus traités dans ce cours.

Encerclez

Oui ou Non

MAT-4153 ?

-

-

Le schéma proposé pour déterminer les mesures de la base de la tour ne comporte aucun triangle rectangle. Il y aurait tout lieu de proposer un autre schéma si l’on souhaite proposer cette tâche dans le cadre de ce cours. Dans sa forme actuelle, cette tâche n’est pas propice au cours.

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MAT-4163 ? Encerclez

Oui ou Non

-

MAT-4173 ? Encerclez

-

Oui ou Non

-

-

Rapports trigonométriques ; Reconnaissance de triangles rectangles ou non ; Somme des angles intérieurs dans un triangle ; Angles supplémentaires ; Recherche de mesures manquantes par déduction s’appuyant sur des rapports trigonométriques (tangente d’un angle à privilégier) et par l’établissement d’un système d’équations.

Reconnaissance de triangles rectangles ou non ; Somme des angles intérieurs dans un triangle ; Angles supplémentaires ; Selon la démarche des élèves, recherche de mesures manquantes par déduction : o s’appuyant sur des rapports trigonométriques (tangente d’un angle à privilégier) et par l’établissement d’un système d’équations. Ou o s’appuyant sur les rapports trigonométriques et la loi des sinus. Il est possible d’adapter cette situation pour permettre la mobilisation de la loi des cosinus. Pour ce faire, nous pourrions enlever les mesures des angles EAD et FCD.

-

Volumes équivalents ; Reconnaissance de prismes à base carrée ; Déduction de mesures à partir de la formule de volume d’un prisme ;

-

*Les solides équivalents ne sont pas traités dans ce cours.

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Reconnaissance de prismes à base carrée ; L’adulte peut approcher le problème en référant aux volumes équivalents ou aux solides équivalents :

-

-

-

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Déduction de mesures à partir de la formule de volume d’un prisme ; Ou Recherche du rapport de similitude à partir des mesures des hauteurs des tours. Recherche du volume de la tour 1 par l’application de la formule du volume d’un prisme. Recherche du rapport de similitude des volumes des prismes équivalents et déduction du volume des autres tours puis de leurs dimensions.

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MAT-5153 ? Encerclez

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Oui ou Non

-

Reconnaissance de triangles rectangles ou non ; Somme des angles intérieurs dans un triangle ; Angles supplémentaires ; Selon la démarche des élèves, recherche de mesures manquantes par déduction : o s’appuyant sur des rapports trigonométriques (tangente d’un angle à privilégier) et par l’établissement d’un système d’équations. Ou o s’appuyant sur les rapports trigonométriques et la loi des sinus et la loi des cosinus.

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MAT-5163 ? Encerclez

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Oui ou Non

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Reconnaissance de triangles rectangles ou non ; Somme des angles intérieurs dans un triangle ; Angles supplémentaires ; Selon la démarche des élèves, recherche de mesures manquantes par déduction : o s’appuyant sur des rapports trigonométriques (tangente d’un angle à privilégier) et par l’établissement d’un système d’équations. Ou o s’appuyant sur les rapports trigonométriques et la loi des sinus

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-

-

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Reconnaissance de prismes à base carrée ; L’adulte peut approcher le problème en référant aux volumes équivalents ou aux solides équivalents : Déduction de mesures à partir de la formule de volume d’un prisme ; Ou Recherche du rapport de similitude à partir des mesures des hauteurs des tours. Recherche du volume de la tour 1 par l’application de la formule du volume d’un prisme. Recherche du rapport de similitude des volumes des prismes équivalents et déduction du volume des autres tours puis de leurs dimensions.

Reconnaissance de prismes à base carrée ; L’adulte peut approcher le problème en référant aux volumes équivalents ou aux solides équivalents : Déduction de mesures à partir de la formule de volume d’un prisme ; Ou Recherche du rapport de similitude à partir des mesures des hauteurs des tours. Recherche du volume de la tour 1 par l’application de la formule du volume d’un prisme.

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Il est possible d’adapter cette situation pour permettre la mobilisation de la loi des cosinus. Pour ce faire, nous pourrions enlever les mesures des angles EAD et FCD.

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Recherche du rapport de similitude des volumes des prismes équivalents et déduction du volume des autres tours puis de leurs dimensions.

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Reconnaissance de prismes à base carrée ; L’adulte peut approcher le problème en référant aux volumes équivalents ou aux solides équivalents :

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MAT-5173 ? Encerclez

Oui ou Non

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Loi des sinus et des cosinus. Peut-être une situation de réinvestissement, mais on ne serait pas dans les savoirs traités dans le cadre du cours.

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Déduction de mesures à partir de la formule de volume d’un prisme ; Ou Recherche du rapport de similitude à partir des mesures des hauteurs des tours. Recherche du volume de la tour 1 par l’application de la formule du volume d’un prisme. Recherche du rapport de similitude des volumes des prismes équivalents et déduction du volume des autres tours puis de leurs dimensions.

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Identifier les stratégies de résolution dont on espère la mobilisation pour résoudre les deux tâches du problème.

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Tâche 1

Tâche 2

Déterminez les dimensions de la tour 1.

Sachant que la hauteur des trois autres tours correspond aux trois quarts de la hauteur de la tour 1 et sachant que les tours sont toutes de volume équivalent, déterminez les dimensions des trois autres tours.

Indiquer les mesures sur la figure. Surligner d’une certaine couleur les triangles rectangles. Surligner les triangles quelconques. Décomposer les triangles en triangles plus simples. Estimer l’ordre de grandeur des dimensions attendues.

Inventorier les mesures d’angles et les rapports des côtés dont les mesures sont connues. Décomposer le problème en sous-tâches. Valider les résultats obtenus en tenant compte du contexte.

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