CORRIGE CCP TSI 2011 PROBLEME 1 MICROPHONES 1 partie

CORRIGE

CCP TSI 2011

PROBLEME 1 MICROPHONES 1ère SDUWLH pWXGH G¶XQ FRQGHQVDWHXU I.1 Soit le plan infini chargé xOy. Aì A,,,&) ',& :/; est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M,A,,,,,&,A ë ,,,&; í et ( M, ,,,,&á í : ',& :/; L ':Tá Uá V;A,,,&í Les charges sont invariantes par translation selon Ox et Oy donc E ne dépend ni de x, ni de y ,,,& ' :/; L 'í :V;A ,,,&í Le plan z=0 est un plan de symétrie des charges donc Ez(z) = - Ez(-z). I.2 Eq de Maxwell-Gauss div(',& :/;; = Donc

×¾ ×í

"Ú

= 0 en tout point hors du plan xOy

= 0 : le champ est uniforme GH SDUW HW G¶DXWUH GX SODQ ]

2Q FRQVLGqUH XQ F\OLQGUH G¶D[H ]¶]F GH UD\RQ 5F VH WURXYDQW HQWUH OHV SODQV ] HW ±z ( z>0). ,,,,& = Ez(z) SR2 ± Ez(-z) SR2 = 2 Ez(z) SR2 = V SR2/H0 Le théorème de Gauss donne : ð ',& ä @5 '¶R• SRXU ]! F ',& :/; =

Q ,,,& 6"Ú V

Öìß

;

z x

Pour z 0, V:/; = F E(z)

ê V tóK

;

Pour z

Ø

Ø 6

,,,,&5 :/; E ,,,,& : ',& (M) = ' '6 :/; =[ - (

> soit $$$ >aZ et mñ~ , soit $$$$ >

¾,.

Ge ©

: on a alors

ǧ =

WI, iV

’$ : le rapport i/p est bien indépendant de la fréquence.

3ème Partie

Microphone électrodynamique

I.30 Lorsque la membrane bouge, la bobine conductrice est mobile dans un champ magnétique : DSSDULWLRQ G¶XQH IHP LQGXLWH HW G¶XQ FRXUDQW LQGXLW BFLUFXLW IHUPpC Cas de Lorentz †Ž ^ ,& = i.dl— ,,,,&.B ,,,& —p = - i dl.B ,,,,& —x Force élémentaire de Laplace : ,,,,,& †ˆP = i ,,,& ˜ Résultante de la force de Laplace sur la bobine : ,,,,&P = - i 2Nƒ

.B — ,,,,&x

I.31Champ électromoteur dans la bobine : ,,,,,& ,& ^ ,& = V6 — ,,,,&x ^ B ,,,& —p = V6 .B — ,,,,&˜ k= ˜ ,,,& —˜ . dl— ,,,,&˜ = V6 2Nƒ Fem induite e = ï ,,,,,& k ä †Ž = ï V6 ä ,,,,& Loi des mailles e = R i(t) + L

bg

br

.B

(3)

I.32 Force de pression : ,,,,&n = [-(Pa + p(t)) + Pa ] S ,,,,& Qì = - p(t) S ,,,,& Qí I.33

mV7 = - kz - ÚV6 - i 2Nƒ

PFD projeté sur Oz

I.34 en notation complexe : ŒX V§ 2Nƒ

$$$$$$ W>(§ 6 _ R äF n:r; '¶R• $$$$$ kœ = h©

I.36 en éliminant z des deux équations complexes : ? 6 _ R äFW

^[ ^c > : 6 _ R äF;.

,

(4)

.B = (R + ŒFX; ǧ = $$$c ǧ (3)

m (jZ)² V§ = - kV§ ± >ŒX V§ ± $2Nƒ

I.34 en notation complexe

'¶R• : ǧ = $$$$$$$$$

.B - p(t) S

’$

.B - ’$ S

(4)

$$$$$$ n:r; W>(§ 6 _ R äF ŒX $$$$$ h©^ c

2Nƒ

.B = $$$c ǧ

O¶DPSOLWXGH GX FRXUDQW GpSHQG GH la fréquence.

Pour que cela ne soit pas le cas on choisira R >> LZ , E >> mZ et E >> k/Z sur la gamme de fréquence utilisée, on aura alors : ǧ =

? 6 _ R äFW V ’> : 6 _ R äF;.

’$

PROBLEME II

SISMOGRAPHE HORIZONTAL

1ère partie : Référentiels non galiléens II.1 Les directions des axes O2x2 O2y2 O2z2 sont fixes par rapport aux axes O1x1 O1y1 O1z1. On choisit souvent O2x2// O1x1 , O2y2// O1y1 , O2z2// O1z1 Les dérivées des vecteurs sont égales dans (R1) et (R2) FDU LOV VRQW HQ WUDQVODWLRQ O¶XQ SDU UDSSRUW j O¶DXWUH ,,,,,,,,,,&

b S- Q ,,,&5 = ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& 8:/ 45 ; = )R1

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& ,,,,&6 = 8:/ 46 ; =

br b ,,,,,,,,,,& S. Q br

,,,,,,,,,,& bS .Q

)R2 =

br

)R1L

b ,,,,,,,,,,,& S. Sbr

E

b ,,,,,,,,,,& S- Q br

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& = - ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& 8:16 45 ; + 8:/ 45 ;

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& '¶R• ,,,&5 L ,,,,&6 + 8:1 6 45 ; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& De même ,,,& ƒ5 L ,,,,& ƒ6 + =:1 6 45 ; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& II.2 les accélérations sont égales lorsque =:1 6 45 ; est nulle, càd quand O2 a un mvt rectiligne et uniforme dans (R1) : (R1) est alors en translation rectiligne et uniforme par rapport à (R2) II.3 (R1) est galiléen VL OH SULQFLSH G¶LQHUWLH V¶applique dans ce référentiel cad ssi tout point matériel isolé ( ou pseudo-isolé) a un mouvement rectiligne et uniforme dans (R1). Exemples, dans un ordre décroissant du caractère galiléen : Copernic, Kepler, géocentrique, terrestre : ces UpIpUHQWLHOV SHXYHQW rWUH FRQVLGpUpV FRPPH JDOLOpHQV VL RQ SHXW QpJOLJHU O¶HIIHW GHV IRUFHV G¶LQHUWLH (expériences de durée « courte »), si on peut considérer leur mouvement comme rectiligne et uniforme dans le référentiel « immédiatement plus galiléen » que celui considéré . soit un point matériel isolé, en mvt dans (R1) galiléen, on a alors ,,,& ƒ5 L ,& r, , & donc ,,,,& ƒ6 L r si la condition de II.2 est remplie comme ce résultat est vérifié par tout point matériel isolé, (R2) est galiléen. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& ƒ5 = m [ƒ,,,,&6 + =:1 ,, VL OD FRQGLWLRQ GH ,, Q¶HVW SDV UHPSOLH : ,& = m ,,,& 6 45 ; ] ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& ,& Si le point M est isolé, soit ,& L ,r&, alors ,,,,& ƒ6 = - =:1 6 45 ; M r , (R2C Q¶HVW SDV JDOLOpHQ

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& Dans (R2C OD UHODWLRQ IRQGDPHQWDOH GH OD G\QDPLTXH V¶pFULW DORUV P ƒ,,,,&6 = ,,&- =:1 6 45 ; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,& On pose ,&ie = -m =:1 6 45 ; IRUFH G¶LQHUWLH G¶HQWUDvQHPHQW 2ème partie : Sismographe horizontal — ,,,,&x V C&

O

,,,,& QF Q ,,,,&å

,,,,&ë Q II.5 Actions mécaniques sur la barre quand le sol ne vibre pas : ,,& O = - ½ L mgsin(à) Q Poids mC& appliqué en G de moment / ,,,,&í Liaison en O, de moment nul en projection sur Oz car sans frottement

Frottements de moment résistant - D à6 ,,,,& Qí $ O¶pTXLOLEUH OD VRPPH GHV PRPHQWV HVW QXOOH GRQF VLQBà) = 0. /¶pTXLOLEUH stable correspond à à= 0. ,, /D EDUUH HVW HQ URWDWLRQ DXWRXU G¶XQ D[H IL[H GDQV XQ UpIpUHQWLHO JDOLOpHQ /H WK GX PRPHQW FLQpWLTXH SURMHWp VXU O¶D[H 2] V¶pFULW : J à7 = 1/3 m L² à7 = - ½ L mgsin(à; - D à6 7e 7‘ pour de petits angles : 1/3 m L² à7 = - ½ L mg à - D à6 soit à7 E à6 E à kP.

6P

Energie cinétique GH OD EDUUH HQ URWDWLRQ DXWRXU G¶XQ D[H IL[H (c = ½ J à6 ² bIY = (- ½ L mgsin(à; - a à6 ) à6 Théorème de la puissance cinétique : br

on obtient bien la même équation. ,, OD VROXWLRQ JpQpUDOH GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH HVW GH OD IRUPH H[SBUWC U YpULILH O¶pTXDWLRQ FDUDFWpULVWLTXH Uð E le discriminant est ¿ = (

7‘ kP.

;² -

:e

7‘ kP.

”E

7e 6P

P

soit Ù = § ¥‰ •6 F7 7 6

régime critique ¿ = 0

soit Ù < § ¥‰ •6 F7 7 6

régime pseudo-périodique ¿ < 0 régime apériodique ¿ > 0

soit Ù > § ¥‰ •6 F7 7 6

&¶HVW HQ UpJLPH FULWLTXH que OH UHWRXU j OD SRVLWLRQ G¶pTXLOLEUH HVW OH SOXV UDSLGH. II.8 soit un petit élément de barre, sa masse est : dm =

k P

dr

,,,,,,& ,,,,&v , ,O HVW VRXPLV j OD IRUFH G¶LQHUWLH G¶HQWUDvQHPHQW †ˆ (c = - dm a(t) — GH PRPHQW SDU UDSSRUW j O¶D[H Oz : k ,,,,,,& ,,,,&x = [ r ,,,& —p ^ (- dm a(t) ,,,,&) —v ]. — ,,,,&x = r dr a(t) cos(à; d/ ie = [ ,,,,,,& ^ †ˆ (c ]. — •

P

0RPHQW UpVXOWDQW SDU UDSSRUW j O¶D[H 2] : Mie = ì ” †” ƒ:–; …‘•:E; = ½ m L a(t) cos(E) F Le moment de la force résultante - m a(t) ,,,,& —v appliquée en G est : ,,,,,& A ^(- m a(t) — ,,,,&) ,,,,&x , on retrouve le même résultat. v = ½ m L a(t) cos(E) — II.9 Théorème du moment cinétique projeté sur Oz, dans le référentiel lié au bâti : J à7 = 1/3 m L² à7 = - ½ L mgsin(à; - D à6 E ½ m L a(t) cos(E) $ O¶pquilibre tan T a/g , soit T a/g dans le cas des petites oscillations (pas dit dans énoncé) II.10 En régime sinusoïdal permanent, en notation complexe, dans le cas des petites oscillations : [ - 1/3 m L² Z² + j D Z E ½ L mg @ ৠ= ½ m L ao e(jZt) G¶R• To ejI =

Ô . Ú Ò :§@ A > h¥Å . 7;. ; .

'¶R• To = ,,

_e . /

e > P©.

) = - 2 arctan (¥tFX6 u‰)

II. 12 fréquences faibles : Z > §

7Ú 6Å

To = To =

_e e _e . P©. /

avec

_e ©.

TXL HVW O¶DPSOLWXGH GX GpSODFHPHQW GX VRO .