Corrigé : Construction d`un pentagone régulier (Exercice)

Classe de Seconde

Corrigé : Construction d'un pentagone régulier (Exercice)

2007/2008

Partie I : ABC est un triangle isocèle en A,  BAC = 36° et BC = 4 cm. La bissectrice de  ABC  coupe [AC] en D et celle de BDC coupe [BC] en E.

2) a) On sait que  BAC = 36°. Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180° D'où :  ABC +  ACB = 180° - 36° = 144° Or, ABC est isocèle en A, d'où :  ABC =  ACB ° 144 Alors :  = 72° =  ABC = ACB 2 D'autre part, [BD) est la bissectrice de l'angle  ABC Définition de la bissectrice d'un angle : La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. 72 D'où :  = 36° ABD = 2 Dans le triangle ABD,  BAD = 36° =  ABD Propriété : Un triangle ayant deux angles égaux est isocèle Par conséquent : le triangle ABD est isocèle en D 72 Comme [BD) est la bissectrice de l'angle  = 36° ABC ,  DBC = 2 Comme ABC est isocèle en A,  ACB = 72° =  DCB Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180° Dans le triangle DBC,  BDC = 180° - (72° + 36°) = 180° - 108° = 72° Le triangle DBC ayant deux angles égaux est isocèle en B De la même façon, on démontre que : EDC est isocèle en D

et BED est isocèle en E b) Les deux droites (AB) et (DE) sont coupées par la sécante (BD) Les angles  BDE et  BDE = 36° et  DBA sont alternes-internes. Or,  DBA = 36° Propriété : Si deux droites sont coupées par une sécante formant deux angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. Par conséquent : (DE) // (AB) 3) AB = AC = x a) Comme BDC isocèle en B, alors BC = BD, d'où : BD = 4 cm Comme ADB est isocèle en D, alors BD = AD, d'où AD = 4 cm Or, AC = x , DC = AC – AD c'est-à-dire : DC = x - 4 Comme DEC est isocèle en D, DE = DC c'est-à-dire : DE = x – 4 BED est isocèle en E, BE = ED BE = x – 4 BC = 4 BE + EC = BC D'où : x – 4 + EC = 4 Donc : EC = 4+4 – x = 8 - x b) On se place dans le triangle ABC : Comme (ED) // (AB), on peut appliquer le théorème de Thalès dans ce triangle.

CE CD ED 8– x x–4 = = . D'où : = x CB CA AB 4 c) Produit en croix : x(8 – x) = 4(x – 4) D'où : 8x – x2 = 4x – 16 16 = x2 - 4x Or, (x – 2)2 = x2 -4x + 4 D'où : 16 + 4 = (x – 2)2 c'est-à-dire : (x – 2)2 = 20 On fait passer le 20 du côté gauche de l'égalité : (x – 2)2 – 20 = 0 D'où : (x – 2)2 – (  20 )2 = 0 On utilise l'identité remarquable : a2 – b2 = (a+b)(a-b) Alors : [(x – 2) +  20 ] [(x – 2) -  20 ] = 0 D'où : (x – 2 +  20 )(x – 2 -  20 ) = 0 Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul. x – 2 +  20 = 0 ou x – 2 -  20 = 0 x = 2 -  20 ou x = 2 +  20 Or, x est une longueur, donc x  0. D'où : x = 2 +

 20

=2+

4 x 5

AH 4) Dans le triangle AHD, rectangle en H, cos  DAH = AD x AH AB cos 36° = . Or, AH = = 2 4 2 D'où : cos 36° =

x 2 4

22  5 =

2 4

=

1 5 4

= 22  5

Partie II : 1) a) Dans le triangle CIO, rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : CI2 = IO2 + OC2 D'où : CI =

 IO



CO 2 = 2242 = On a : IC = IJ or, IJ = IO + OJ IJ – IO = OJ 2

 20

=

4 x 5

= 25

D'où : OJ = 2  5 – 2 b) CJ et CM sont les mesures de deux rayons du même cercle. Donc : CJ = CM Dans le triangle COJ, rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : CJ2 = CO2 + OJ2 CJ =

 4 2 5 – 2 2

2

 16204 – 8 5 =  40 – 8  5 =  8×5 –  5 = 2  2×5 –  5 =

Donc : CJ = 2

 10 – 2  5

2) a) MOC est isocèle en O car MO = OC (ce sont deux rayons du même cercle) (OK) est la hauteur issue du sommet principal du triangle MOC. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane, médiatrice et bissectrice. Alors (OK) étant médiane, K est milieu de [MC] b) Dans le triangle OKC, rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore : OC2 = OK2 + KC2 D'où : 16 = OK2 + 10 – 2  5 OK2 = 6 + 2  5 or, (1 +  5 )2 = 1 + 5 + 2  5 = 6 + 2  5 Comme OK > 0 (c'est la longueur d'un segment), donc : OK = 1 +  5 OK Dans le triangle COK, rectangle en K, cos  COK = OC 1 5 D'où : cos  COK = 4 c) Comme [OK) est la bissectrice de  MOC ,  COM = 2x  COK  Or, COK = 36° d'après la question 4) de la partie I D'où :  COM = 72° On a : 5x72° = 360° (= un tour complet) [CM] est bien le côté d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle. 3) a) Voir figure après b) Pour terminer la construction, il suffit de reporter au compas CM en partant de M sur le cercle pour les quatre côtés manquants.

CMNPF est le pentagone régulier