Corrigé - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
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Université de Picardie Jules Verne Faculté de Mathématiques et d’Informatique
Année 2005-2006
Licence mention Mathématiques - Deuxième année - Semestre 4 Probabilités élémentaires Corrigé du devoir 2 Exercice 1 - Histoire de QCM Partie I 1) a) On suppose construit un espace probabilisé , A, P adapté à l’expérience étudiée. Il est clair que N est à valeurs dans N n, −p, et que PN n 1 et PN −p 2 . 3 3 n − 2p . Ainsi, EN 0 si et seulement si n 2p. b) On a EN nPN n −pPN −p 3 2) On peut considérer que le candidat répète n 4 fois la même expérience "répondre au hasard à une question" au cours de laquelle l’événement A "répondre correctement" a la probabilité p 1 de se réaliser. 3 Ainsi, la variable aléatoire X égale au nombre de réponse correctes, c’est-à-dire au nombre de réalisations de A, suit la loi Binomiale Bn, p B 4, 1 . 33 1 2 1 ≃ 0, 0988. 3 On a alors PX 3 C 4 3 3 Partie II 1) Réponse 3 : 110. En effet, il y a C 310 120 paquets différents, dont C 35 10 paquets ne contenant que des jetons ayant un numéro impair, et donc 120 − 10 110 paquets contenant au moins un jeton ayant un numéro pair. 2) Réponse 2 : 0, 25. En effet, 0, 65 1 − PA B PA B PA PB − PA ∩ B 0, 9 − PA ∩ B, d’où PA ∩ B 0, 25. 1 PB ∩ A PB ∩ A 2 A , et donc PA 6 2. 3) Réponse 1 : . En effet, PB/A P B 1 3 3 PA P A B 4 3 . En effet, EX ∑ x i p i 2, EX 2 ∑ x 2 p i 11 , i 2 2 2 3 3 2 . VarX EX − EX , et donc X VarX 2 2 4) Réponse 2 :
Exercice 2 - Problème de pannes (première partie) Première partie : cas discret. A. Loi de survie et coefficient d’avarie. 1) Pour tout entier naturel n non nul, on a T n − 1 T n T n, cette réunion étant disjointe, donc PT n − 1 PT n PT n, et PT n PT n − 1 − PT n Dn − 1 − Dn. PT n ∩ T n − 1 PT n Comme n P T n / T n − 1 , on en déduit que PT n − 1 PT n − 1 Dn − 1 − Dn n . Dn − 1
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2) On suppose que p est un réel de l’intervalle 0, 1 et que T suit la loi géométrique de paramètre p. a) Rappelons le résultat suivant : ′ ′ 1 x . pour tout réel x de −1, 1, ∑ nx n−1 ∑x n ′ ∑ x n 1 − x − x 2 1 n1 n1 n1 Comme 1 − p est dans 0, 1 ⊂ −1, 1, on a 1 1p . ET ∑ nPT n ∑ np1 − p n−1 p ∑ n1 − p n−1 p 2 1 − 1 − p n1 n1 n1 b) Pour tout entier naturel n, on a 1 1 − p n Dn PT n P T k ∑ p1 − p k−1 p 1 − p n 1 − 1 − p kn1 kn1 c) De 1) et 2)b), on déduit que pour tout entier naturel n non nul, Dn − 1 − Dn 1 − p n−1 − 1 − p n 1 − p n−1 1 − 1 − p n p. Dn − 1 1 − p n−1 1 − p n−1 3) Réciproquement, on suppose dans cette question qu’il existe un réel strictement positif tel que pour tout entier naturel n non nul, n . a) De 1), on déduit que pour tout entier naturel n non nul, Dn − 1 − Dn , et donc Dn − 1 Dn − 1 − Dn, c’est-à-dire Dn 1 − Dn − 1. n Dn − 1 b) Ainsi, la suite Dn est géométrique, de raison r 1 − , et de premier terme D0 PT 0 1. On en déduit que pour tout entier naturel n, Dn D0r n 1 1 − n 1 − n . c) De 1) on déduit alors que pour tout entier naturel n non nul, PT n Dn − 1 − Dn 1 − n−1 − 1 − n 1 − n−1 1 − 1 − 1 − n−1 , c’est-à-dire que T suit la loi géométrique de paramètre . B. Nombre moyen de pannes successives dans un cas particulier. 1) a) On a ET 1PT 1 2PT 2 p 21 − p 2 − p. b) Remarquons d’abord pour tout entier naturel n non nul, r n ER n 0PR n 0 1PR n 1 PR n 1. Ainsi, R n suit la loi de Bernoulli de paramètre r n . On a ainsi r 1 PR 1 1 p, probabilité que le composant tombe en panne à l’instant 1, et donc qit une durée de vie de 1. De plus, utilisant la formule des probabilités complètes avec le système complet d’événements (de probabilité non nulle) R 1 0, R 1 1, on a r 2 PR 2 1 PR 1 0P R 2 1 / R 1 0 PR 1 1P R 2 1 / R 1 1 . Or P R 2 1 / R 1 0 1, car sachant que le composant ne tombe pas en panne à l’instant 1, il tombe en panne à l’instant 2 de façon certaine car la durée de vie d’un composant est 1 ou 2 ; de façon analogue P R 2 1 / R 1 1 p, car sachant que le composant tombe en panne à l’instant 1, il est instantanément remplacé et la probabilité que ce nouveau composant tombe en panne à l’instant 2 est égale à la probabilité que sa durée de vie soit 1. On en déduit que r 2 1 − p 1 p p p 2 − p 1. 2) Soit n un entier naturel non nul. a) Utilisant la formule des probabilités complètes avec le système complet d’événements (de probabilité non nulle) R n1 0, R n1 1, on a PR n2 1 PR n1 0P R n2 1 / R n1 0 PR n1 1P R n2 1 / R n1 1 1 − PR n1 1 1 PR n1 1 p p − 1PR n1 1 1. De façon analogue, on obtient PR n1 1 p − 1PR n 1 1. On en déduit que PR n2 1 pPR n1 1 − PR n1 1 1 pPR n1 1 − p − 1PR n 1 1 1 pPR n1 1 1 − pPR n 1. b) On a déjà remarqué que pour tout entier naturel n non nul, r n PR n 1. On en déduit donc que r n2 pr n1 1 − pr n .
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3) a) La suite r n n≥1 est donc récurrente linéaire d’ordre 2. L’équation caractéristique associée est EC r 2 − pr p − 1 0, équation polynomiale de degré 2. Le discriminant du polynome r 2 − pr p − 1 est Δ −p 2 − 4 1 p − 1 p 2 − 4p 4 p − 2 2 0, p − p − 2 2 p − |p − 2| pp−2 p − 1 et donc EC admet les deux solutions réelles r 1 21 21 2 2 p p − 2 p |p − 2| p2−p 1. r2 21 21 2 Ainsi, il existe deux constantes A et B telles que pour tout entier naturel n non nul, r n Ap − 1 n B1 n B Ap − 1 n . D’après 1)b), on a r 1 B Ap − 1 p et r 2 B Ap − 1 2 p 2 − p 1. En calculant r 2 − r 1 , p−1 . De r 1 on déduit alors B 1 . on trouve Ap − 1p − 2 p 2 − 2p 1 p − 1 2 , d’où A 2−p p−2 p−1 n 1 1 Ap − 1 Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, r n p − 1 n 2−p 2−p p−2 b) Comme p vérifie 0 p 1, on a −1 p − 1 0 et donc lim p − 1 n 0. On en déduit que n→ lim r n 1 1 . 2−p ET n→ 4) Soit n un entier naturel non nul. A chaque instant i compris entre 1 et n, la variable aléatoire R i indique s’il y a une panne (R i 1) ou pas (R i 0). Il est donc clair que le nombre de pannes survenues jusqu’à l’instant n inclus est donné par n
Un ∑ Ri. i1
n
On en déduit que EU n E ∑ R i i1 n
n
∑ ER i (par linéarité de l’espérance mathématique). i1
n 1 p − 1 p − 1 i n p − 1 p − 1 1 − p − 1 Ainsi, on a EU n ∑ r i ∑ 2−p p−2 2−p p−2 1 − p − 1 i1 i1 2 − 1 p et donc EU n n − 1 − p − 1 n . 2−p 2 − p 2 p − 1 2 p − 1 2 n n . . De plus, lim Comme lim p − 1 n 0, on a lim − − 1 1 p 2 n→ n→ 2 − p n→ 2 − p 2 − p 2 n . On en déduit que EU n 2 − p n
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