Corrigé : Probabilités

Ld

3MR

Corrigé : Probabilités Exercice 1 Lorsque l’on choisit au hasard un nombre entier compris entre 1 et 100, quelle est la probabilité a) qu’il soit plus grand que 30 si l’on sait qu’il est plus petit que 51 ? b) qu’il soit divisible par 3 si l’on sait qu’il se termine par un 5 ? c) qu’il finisse par 5 si l’on sait qu’il est divisible par 3 ? d) qu’il soit divisible par 6 s’il est divisible par 8 ? Solution

a) A = {être plus grand que 30} B = {être plus petit que 51} 50 1 20 1 P(A ∩ B) 1 2 2 P(B) = = P(A ∩ B) = = P(A|B) = = · = 100 2 100 5 P(B) 5 1 5 b) A = {être divisible par 3} B = {se terminer par un 5} 10 1 3 P(A ∩ B) 3 10 3 P(B) = = P(A ∩ B) = P(A|B) = = · = 100 10 100 P(B) 100 1 10 c) A = {être divisible par 3} B = {se terminer par un 5} 3 P(A ∩ B) 3 100 1 33 P(A ∩ B) = P(B|A) = = · = P(A) = 100 100 P(A) 100 33 11 d) A = {être divisible par 6} B = {être divisible par 8} 3 4 1 P(A ∩ B) 1 25 1 12 = P(A ∩ B) = = P(A|B) = = · = P(B) = 100 25 100 25 P(B) 25 3 3

Exercice 2 Pour sa confrontation annuelle sur les courts de tennis avec Gaston Lagaffe, Achille Talon dispose de deux cartons remplis de balles de tennis : – le carton I contient 9 balles neuves et 6 balles usagées, mais jouables ; – le carton II contient 10 balles neuves et 5 usagées, mais jouables. Achille Talon tire du carton I successivement 3 balles au hasard. a)

1) Quelle est la probabilité qu’il ait choisi 3 balles neuves ? 2) Quelle est la probabilité qu’il ait choisi au moins une balle usagée ? 3) Sachant que les deux premières balles tirées sont usagées, calculer la probabilité que la troisième le soit aussi.

b) Achille Talon choisit un carton au hasard et en sort une balle, prise au hasard également. 1) Dessiner l’arbre décrivant cette situation. 2) Quelle est la probabilité que cette balle soit neuve ? 3) Sachant qu’elle est usagée, calculer la probabilité qu’elle ait été tirée du carton II. Solution

a)

1) p(3 balles neuves)=

12 9 8 7 · · = 15 14 13 65

ou aussi :

2) p(au moins 1 balle usagée) = 1 - p(3 balles neuves) =

C93 C15 3 53 65

3) Il reste 4 balles usagées et 9 balles neuves ⇒ p(3e balle soit usagée) =

4 13

Corrigé : Probabilités

II

1/2

1) 2) p(balle soit neuve) =

3) p(II|U)=

n

9/15

u

6/15

1/2

I

b)

2

Ld

n

10/15

u

5/15

1 9 1 10 19 · + · = 2 15 2 15 30 5 30 11 30

p(II ∩ U) = p(U)

5 11

=

Exercice 3 Oscar a acheté des pêches au supermarché : deux fois plus de jaunes que de blanches. Quand il prend une pêche au hasard, il y a une chance sur quatre qu’elle soit blanche et avariée. Si elle est jaune, il y a trois chances sur huit qu’elle soit avariée. Il en prend une au hasard. a) Calculer la probabilité qu’elle soit jaune et avariée. b) Sachant qu’elle est blanche, calculer la probabilité qu’elle soit avariée. c) Quelle est la probabilité qu’elle soit jaune ou non avariée ? d) La pêche est bonne. Quelle est la probabilité qu’elle soit jaune ?

Solution

A : pêche jaune

p(A) =

C : pêche avariée

2 3

B : pêche blanche

a) p(A ∩ C) = p(C|A) · p(A) = b) p(C|B) =

1 4

p(B ∩ C) =

p(B ∩ C) = p(B)

1 4 1 3

=

1 3 2 · = 8 3 4 3 4

c) p(A ∪ C) = 1 − p(B ∩ C) = 1 −

3 1 = 4 4

3/12

av

3/8

1/4

bo

5/8

5/12 5/12

av

3/4

1/4 3/12

1/4

1/12 1/12

2/3

J

B

p(C|A) =

1/3 bo

d) p(A|C) =

5 12 5+1 12

=

5 6

p(B) = 3 8

1 3

Corrigé : Probabilités

3

Ld

Exercice 4 Dans un établissement scolaire, chaque année, la course d’école est fixée un jour de mai. Elle n’a lieu que par temps sec : s’il pleut le jour fixé, elle est reportée au lendemain. S’il pleut les deux jours suivant la date fixée, elle est annulée. On sait que la probabilité qu’il pleuve un jour de mai est égale à 40%. On sait aussi que s’il pleut un jour du mois de mai, la probabilité qu’il pleuve le lendemain est égale à 70%. a) Montrer que la probabilité que la course soit annulée est 0,196. b) Quelle est la probabilité que la course soit reportée au plus une fois ? c) Sachant que la course a eu lieu, quelle est la probabilité qu’elle se soit déroulée le jour fixé ? d) Quelle est la probabilité que, sur 5 ans, elle ait lieu exactement 3 fois le jour fixé ? e) Quelle est la probabilité que, sur 5 ans, elle soit annulée au moins une fois ?

Solution .

P

S

40%

P

70% 19,6%

S

30% 8,4%

P

70%

S

30% 12%

60%

a) p(PPP) = 40% · 70% · 70% = 19, 6%

b) p(S) + p(PS) = 60% + 40% · 30% = 72%

c) p(S|S ou PS ou PPS)=

60% p(S) = = 74, 63% p(S) + p(PS) + p(PPS) 60% + 12% + 8, 4%

d) C53 · (60%)3 · (40%)2 = 34, 56%

e) 1 - p(jamais annulée) = 1 − (80, 4%)5 = 66, 4%