Corrige TP 2

Novembre 2016

Statistique et Probabilité TP 2 : corrigé Exercice 8 (TP 1) Trouvez, au moyen des tables, les probabilités suivantes pour une variable normale standardisée Z. P(Z ≥ 1,645) = 0,05 P(Z  1.96) = 1 – 0,025 = 0,9750 P(-0.9  Z  0) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≥ 0,9) = 0,50 – 0,184 = 0,316 P(-1.56  Z  -0.2) = P(Z ≥ 0,2) – P(Z ≥ 1,56) = 0,421 – 0,059 = 0,362 Exercice 1 Une étude nationale sur les ménages a montré que le taux d’écoute d’une certaine émission télévisée était de 30% pour les femmes et de 50% pour les hommes. Elle a montré par ailleurs que si la femme suivait cette émission, la proportion de maris la suivant en même temps passait à 60%. On choisit un couple au hasard. a) Quelle est la probabilité que les deux conjoints suivent l’émission ? b) Quelle est la probabilité que si le mari suit l’émission, la femme la suive aussi ? Solution : P(F) = 0,3

P(H) = 0,5

P(H / F) = 0,6

a) P(F et H) = P(H / F) * P(F) = 0,6 * 0,3 = 0.18 b) P(F / H) = P(F et H) / P(H) = 0.18 / 0.5 = 0.36

Exercice 2 Un joueur lance simultanément 2 dés (6 faces numérotées de 1 à 6). Les dés sont parfaitement équilibrés (non truqués). a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 ? b) Si les deux dés étaient lancés successivement 4 fois, quelle est la probabilité que la somme soit supérieure à 9 au moins 3 fois ? (Remarque : si vous utilisez les tables, vous pouvez prendre la valeur de probabilité donnée, la plus proche de celle calculée). Solution : a) Le joueur lance simultanément deux dés à 6 faces. Les résultats possibles, au nombre de 36, sont repris dans le tableau suivant :

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1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Considérons la variable aléatoire X qui représente la somme des 2 dés, ses valeurs vont donc de 2 à 12. Valeur de la Fréquence somme, Xi absolue Fi 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 5 9 4 10 3 11 2 12 1 La probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 est donnée par : P(X  9) = 10 / 36 = 0,2778, soit 27,78%. En effet, en consultant le tableau des résultats, nous observons que la somme des deux dés vaut 9, 10, 11 ou 12 dans 10 cas sur 36.

b) Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? Déterminons tout d’abord la probabilité de l’événement « somme des dés est strictement supérieure à 9 ». X peut donc valoir 10, 11 ou 12. En consultant le tableau des résultats cidessus, nous observons que la somme des deux dés vaut 10, 11 ou 12 dans 6 cas sur 36. D’où, Pr (X > 9) = 6 / 36 = 0,1667, soit 16,67%. Nous utilisons la table des probabilités binomiales, avec le nombre de tentatives n = 4, la probabilité de succès  = 0.20 (approximation la plus proche de 0,1667), et le nombre de succès s valant 3 ou 4. D’après la table, Pr (X > 9, au moins 3 fois) = 0,027, soit 2,7%

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Note Nous pouvons également calculer plus précisément la valeur de cette probabilité en utilisant la formule (avec le nombre de succès étant égal à 3 ou 4) : P(s = 3) = 𝐶𝑛𝑠 𝑝 𝑠 (1 − 𝑝)𝑛−𝑠 = 𝐶43 (0,1667)3 (1 − 0,1667)1 = 4 ∗ 0,0046 ∗ 0,8333 = 0,0153 P(s = 4) = 𝐶𝑛𝑠 𝑝 𝑠 (1 − 𝑝)𝑛−𝑠 = 𝐶44 (0,1667)4 (1 − 0,1667)0 = 1 ∗ 0,0008 ∗ 1 = 0,0008 Nous obtenons ainsi que Pr (X > 9, au moins 3 fois) = 0,0153 + 0,0008 = 0,0161, soit 1,61%

Exercice 3 Un boulanger achète des œufs pour la réalisation de ses pâtisseries. Afin de s’assurer de la fraîcheur de tous les œufs contenus dans une boîte, il effectue le test suivant : de chaque boîte (une boîte contient 100 œufs), il retire 5 œufs et les casse afin de constater leur fraîcheur (il fait confiance à son odorat qui est fiable à 100%). Si les 5 œufs sont déclarés frais, il accepte la boîte car il considère que tous les œufs de la boîte sont frais. Si un œuf ou plus sont déclarés pourris, il rejette impitoyablement la boîte. a) Quel est la probabilité qu’il accepte une boîte qui contient 20 œufs pourris ? b) Combien d’œufs devrait-il casser pour s’assurer que la probabilité d’accepter une boîte qui contient 20 œufs pourris est inférieure à 10% ? Solution : Les épreuves ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. On peut cependant donner une approximation du résultat en utilisant les tables de la Loi Binomiale. (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 130-136 pour la théorie et pp. 869-871 pour les tables). a) Probabilité du succès (c’est-à-dire de choisir un œuf pourri, sachant que la boite en contient 20) =  = 20 / 100 = 0,2 ; le nombre d’épreuves n = 5 et le nombre total de succès en n épreuves = s. On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite (autrement dit, il n’a trouvé aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a cassés), soit P(s = 0) = n! 5!  s (1   ) n s  0,2 0 (1  0,2) 5  0,3276 , soit 32,76% s! (n  s)! 0!5! La table portant sur les probabilités binomiales individuelles (p. 870) donne également directement la valeur trouvée par calculs ci-dessus : n = 5, s = 0 et π = 0,2  Pr(s = 0) = 0,328. Notez que notre calcul est plus précis. b) Il s’agit, en augmentant le nombre d’épreuves n, de faire tomber la Pr(s = 0) en dessous de 10%. En consultant la table, nous trouvons que le nombre d’épreuves nécessaires pour que la probabilité soit inférieure à 10% est de 11 (= n). Dans ce cas, Pr(s = 0) = 0,086, soit 8,6%.

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Exercice 4 Un garagiste accorde une garantie d’un an sur les véhicules d’occasion. La probabilité d’une panne dans la période de garantie est de 25% et le coût moyen de la réparation est de 1 000 €. Le garagiste achète des véhicules d’occasion au prix moyen de 4 000 € et il les revend avec une marge de 20%. a) Quelle est la marge espérée après déduction des frais de garantie ? Le garagiste a mis au point un test qui lui permet de vérifier l’état de la voiture. Ce test lui permet d’affirmer, avec une fiabilité de 90%, que la voiture n’aura pas de panne dans la première année. b) Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ? Solution : a) Marge espérée après déduction des frais de garantie : (0,2 * 4 000) - (0,25 * 1 000) = 800 € - 250 € = 550 €.

Quelles informations nous donne l’énoncé ? Il donne la probabilité qu’une voiture tombe en panne : P(Panne) = 0,25 et nous déduisons par conséquent que P(Sans panne) = 0,75. L’énoncé donne également la fiabilité du test mis au point par le garagiste (90%), laquelle se traduit par : « » signifiant « déclaré Sans panne (ou avec Panne) » par le garagiste, P(« Sans panne » / Sans panne) = 0,90 P(« Sans panne » / Panne) = 0,10 P(« Panne » / Panne) = 0,90 P(« Panne » / Sans panne) = 0,10 b) Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ? Autrement dit, nous cherchons la probabilité suivante : P(Panne / « Sans panne ») = ? La résolution du problème requiert l’application du théorème de Bayes. P(Panne / « Sans panne ») =

P("Sans panne"/ Panne) ∗ P(Panne) P("Sans panne")

=

0.10 ∗ 0.25 𝑃("𝑆𝑎𝑛𝑠 𝑝𝑎𝑛𝑛𝑒")

Pr (« Sans panne ») = ? Vous pouvez vous aider par la construction d’un arbre de probabilités.

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Pr (« Sans panne ») = (Pr (« Sans panne » / Sans panne) * Pr (Sans panne)) + (Pr (« Sans panne » / Panne) * Pr (Panne)) Pr (« Sans panne ») = (0.90 * 0.75) + (0.10 * 0.25) = 0,70 Pr (Panne / « Sans panne ») = (0,10 * 0,25) / 0,70 = 0, 036, soit 3.6% ; ce qui est nettement meilleur que la probabilité initiale d’acheter une voiture qui tombe en panne (= 25%).

Exercice 5 Les cotes à un examen sont supposées distribuées normalement avec une espérance de 78 et une variance de 36. a) Quelle est la probabilité qu’une personne passant cet examen obtienne un score supérieur à 72 ? b) Supposons que les étudiants se situant dans les 10 % supérieurs de cette distribution reçoivent la cote A. Quelle est la cote minimum que doit réaliser un étudiant pour obtenir la note A ? Solution : La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 78 et de variance 36 : X ~ N(78, 36) a) P(X > 72) = P(X -78 / 6 > 72 – 78 / 6) = P(Z > -1) = 1 - P(Z > 1) = 1 – 0,159 = 0,841 b) P(Z  A) = 0,10 Des tables statistiques de la loi normale réduite, nous pouvons déduire que Z0 = 1,28. De plus, nous savons que Z0 = (X0 – 78)/6  X0 = 6Z0 + 78 = 6 * 1,28 + 78 = 85,68 = A. La cote minimum à obtenir pour recevoir la note A est de 85,68 points.

Exercice 6 Soit X une variable aléatoire distribuée normalement, telle que P(X ≤ 3) = 0,8413 et P(X ≥ 9) = 0,0228. Déterminez sa moyenne et son écart type. Solution : Tout d’abord, nous pouvons déduire de la première probabilité que P(X ≤ 3) = 0,841 ou P(X ≥ 3) = 1 - 0,841 = 0,159. En lisant les tables statistiques de la loi normale réduite, nous pouvons ainsi écrire le système d’équations suivant : 3 -  /  = 1,00

et

9 -  /  = 2,00

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Ainsi, de la première équation, nous obtenons que  = 3 -  ; relation que nous pouvons introduire dans la seconde égalité, soit 9 – (3 - ) /  = 2. Nous obtenons que  = 6 et par conséquent,  = -3.

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