corrige_de_la_serie_1

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SERIE DES EXERCICES N°1 : Exercice 1 : Une urne contient 10 boules de forme et de masse identiques. Quatre des boules sont numérotées 1, trois des boules sont numérotées 2, deux des boules sont numérotées 3 et la dernière est numérotée 4. Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à prélever successivement, au hasard et avec remise deux boules de l’urne. Soit « A1 »" l’événement défini par « le numéro de la première boule prélevée est un nombre pair» et « A2 » l’événement défini par «le numéro de la deuxième boule prélevée est un nombre pair». a) Décrire de la façon la plus complète possible l’ensemble fondamental des résultats (Ω). b) Décrire par une phrase chacun des événements c) Décrire par une phrase chacun des événements A1∩A2 et A1UA2. d) Que valent les probabilités qui suivent : P(A1), P(A2|A1) et P(A2) ? e) Les événements A1 et A2 sont-ils indépendants en probabilité ? f) Que valent P(A1∩A2) et P(A1|A2) ? g) Soit E l’événement défini par «la somme des 2 numéros des boules prélevées donne un nombre pair» et F l’événement défini par «le produit des 2 numéros des boules prélevées donne un nombre pair». Que valent P(E) et P(F) ? h) Refaire toutes les questions lorsque l’expérience aléatoire consiste à prélever les deux boules sans remise ? Exercice 2 : Considérons A et B deux événements définis à partir d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,1 et P(B) = 0,4. Déterminer la valeur de P (A U B) sous chacune des hypothèses suivantes :

Exercice 3 : La compagnie CXE s’approvisionne chez trois fournisseurs afin d’obtenir un certain type de transistor. 60% de ces transistors sont commandés chez le fournisseur A, 30% sont commandés chez le fournisseur B et 10% le sont chez le fournisseur C. Les contrôles effectués par CXE ont révélé que seulement 2% des transistors fabriqués par le fournisseur A sont défectueux tandis que les pourcentages correspondants pour les fournisseurs B et C s’élèvent respectivement à 5% et 6%. On s’apprête à vérifier l’état d’un transistor prélevé au hasard dans l’ensemble des transistors en stock chez CXE. a) Quelle est la probabilité pour que le transistor examiné soit défectueux ? Quelle est la probabilité pour qu’il ne soit pas défectueux ? 1

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b) Si l’examen du transistor révèle que celui-ci est défectueux, que deviennent les trois probabilités respectives pour qu’il provienne du fournisseur A, du fournisseur B, ou du fournisseur C ? c) Si l’examen du transistor révèle que celui-ci n’est pas défectueux, que deviennent les trois probabilités respectives pour qu’il provienne du fournisseur A, du fournisseur B, ou du fournisseur C ? Exercice 4 : Lors de son arrestation, un conducteur a reçu deux contraventions, une pour excès de vitesse et l’autre pour conduite dangereuse. Criant à l’injustice, il décide de les contester. Considérant les circonstances, il évalue à 10% ses chances d’être acquitté de l’accusation d’excès de vitesse et à 20% celles d’être acquitté de l’accusation de conduite dangereuse. Il est aussi persuadé que s’il est acquitté de l’accusation d’excès de vitesse, il le sera aussi pour l’accusation de conduite dangereuse. Répondre aux questions qui suivent en supposant que les estimations du conducteur soient exactes. a) Quelle est la probabilité pour que le conducteur soit acquitté des deux accusations ? b) Quelle est la probabilité pour qu’il soit acquitté d’au moins une des deux accusations ? c) Si le conducteur est acquitté de l’accusation de conduite dangereuse, quelle est la probabilité pour qu’il le soit aussi pour celle d’excès de vitesse? Exercice 5 : Le responsable des ressources humaines d’une compagnie a classé les 400 employés de l’entreprise selon leur ancienneté et leur catégorie salariale. Voici les résultats :

On choisit au hasard un employé de l’entreprise. Répondre directement aux questions qui suivent. a) Quelle est la probabilité pour que l’employé sélectionné possède moins de 5 ans d’ancienneté et gagne 50 000$ ou plus ? b) Quelle est la probabilité pour que l’employé sélectionné gagne 30 000$ ou plus mais moins de 50 000$ ? c) Quelle est la probabilité pour que l’employé sélectionné possède au moins 5 ans d’expérience ? d) Si l’employé sélectionné gagne 50 000$ ou plus, quelle est la probabilité pour qu’il possède 10 ans d’expérience ou plus ? e) Si l’employé sélectionné possède 10 ans d’expérience ou plus, quelle est la probabilité qu’il gagne au moins 30 000$ ?

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RESOLUTION DES EXERCICES : EXERCICE 1 : a) Pour décrire de façon complète les résultats possibles de l’expérience aléatoire, on peut utiliser un ensemble de couples. Le premier élément d’un couple correspond au numéro de la première boule prélevée alors que le second membre du couple correspond au numéro de la 2eme boule prélevée. On obtient : Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),(4,2), (4,3), (4,4)}. Notons que les résultats de cet ensemble fondamental ne sont pas équiprobables. b) Ā1 = «le numéro de la première boule prélevée est impair», Ā2 = «le numéro de la deuxième boule prélevée est impair». c) A1∩A2 = «les numéros des 2 boules prélevées sont tous deux pairs», A1UA2 = «au moins un des numéros des 2 boules prélevées est pair». d) P(A1) = 4/10 = 0,4 (quatre des 10 boules présentes dans l’urne lors du premier prélèvement portent un numéro pair). P(A2|A1) = P(A2) = 4/10 = 0,4 (ce qui se produit lors du 2ème prélèvement ne dépend en rien de ce qui s’est produit lors du 1er étant donné que le tirage se fait avec remise et quatre des 10 boules présentes dans l’urne lors du second prélèvement portent un numéro pair). e) Les événements A1 et A2 sont indépendants en probabilité puisque P(A2|A1) = P(A2) f) P(A1∩A2) =P(A1) P(A2) = 0,4 x 0,4 = 0,16, car les 2 événements sont indépendants en probabilité. P(A1|A2) = P(A1) = 0,4 car les 2 événements sont indépendants en probabilité. g) Pour résoudre, on peut écrire les événements E et F à partir d’opérations sur les événements A 1, A2, Ā1 et Ā2. E= (A1∩A2) U (Ā1∩ Ā2), (la somme de 2 nombres est paire si et seulement si les 2 nombres ont la même parité, c’est-à-dire si et seulement si ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs). P(E) = P(A1∩A2) + P(Ā1∩ Ā2) , puisque les événements (A1∩A2) et (Ā1∩ Ā2) sont incompatibles. P(E) = P(A1 ) P(A2) +P(Ā1) P(Ā2), à cause de l’indépendance en probabilité P(E) = (0,4 x 0,4) + (0,6 x 0,6) = 0,52. F = A1UA2, (le produit de 2 nombres est pair si et seulement si au moins un des 2 nombres est pair). P(F) = P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1∩A2) = 0,4 + 0,4 - 0,16 = 0,64.

h) Tirage des deux boules successives sans remise. a) Le tirage s’effectuant sans remise, il n’est pas possible de prélever deux fois une boule portant le numéro 4 puisqu’il n’y a qu’une seule boule de ce type. L’ensemble fondamental correspond à celui du tirage avec remise 3

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duquel on retire le couple (4,4). On obtient : Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}. Notons que les probabilités de réalisation des événements simples ne sont plus les mêmes qu’au tirage avec remise. b) La solution est la même qu’au prélèvement avec remise. c) La solution est la même qu’au prélèvement avec remise. d) La valeur de P(A1) est la même qu’au prélèvement avec remise, c’est-à-dire P(A1) = 4/10. P(A2|A1) = 3/9 (lorsque le numéro de la première boule est pair, 3 des 9 boules présentes dans l’urne lors du 2e prélèvement portent un numéro pair). Pour calculer P(A2), il faut étudier ce qui se passe lors du premier prélèvement. On utilise la partition définie par A1 et Ā1. On sait déjà que P(A2|A1) = 3/9 et P(A2|Ā1) = 4/9 (lorsque le numéro de la première boule est impair, 4 des 9 boules présentes dans l’urne lors du 2e prélèvement portent un numéro pair). P(A2) = P(A1∩A2) + P(A2∩ Ā1) P(A2) = P(A2|A1) P(A1) + P(A2|Ā1) P(Ā1) P(A2) =

(3/9 x 4/10)

+

(4/9 x 6/10)

= 12/90 + 24/90 = 36/90 = 0,4.

e) Les événements A1 et A2 ne sont pas indépendants en probabilité puisque P(A2|A1) ≠ P(A2). f) P(A1∩A2) a déjà été calculé en d) : P(A1∩A2) = P(A2|A1) P(A1)= 12/90 = 0,133. P(A1/A2)= P(A1∩A2)/P(A2)= (12/90)/(4/10) = 1/3 = 0,33 g) P(E) = P(E) = P(A1∩A2) + P(Ā1∩ Ā2) et P(F) = P(A1UA2) pour les mêmes raisons que dans le tirage avec remise. P(E) = P(E) = P(A1∩A2) + P(Ā1∩ Ā2) P(E) = P(A2|A1) P(A1) + P(Ā 2| Ā1 )P(Ā1) P(E) = (3/9 x 4/10)

+

(5/9 x 6/10)

= 12/90 + 30/90 = 42/90 = 0,467.

P(F) = P(A1UA2)= P(A1) + P(A2) - P(A1∩A2) = 4/10 + 4/10 - 12/90 = 0,667. Exercice 2 : a) Étant donné que 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ est la négation de A ∪ 𝐵 (loi de Morgan),

b) Étant donné que A et B sont incompatibles,

c) Étant donné que

car A et B sont indépendants,

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d) Étant donné que

e) Étant donné que

f) Étant donné que

g) Étant donné que EXERCICE 3 :

D 0,02 A 0,98

ND

0,6

D 0,05

0,3

B

0,95 ND

0,1

0,06

D

C 0,94

ND

1. Définition des événements : Pour résoudre ce problème on définit 5 événements : A = le transistor examiné provient du fournisseur A B = le transistor examiné provient du fournisseur B C = le transistor examiné provient du fournisseur C D = le transistor examiné est défectueux. ND = le transistor examiné est non défectueux. 2. Information fournie dans l’énoncé, elles sont présentées dans le schéma ci-dessus. P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,3 ; P(C) = 0,1 ; P(D|A) = 0,02 ; P (D| B) = 0,05 et P(D|C) = 0,06. 3. Questions posées : ̅ ) =? a) P(D) = ? et P(D 5

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b) P(A|D) = ?, P(B| D) = ? et P(C|D)= ? ̅ ) = ?, P(B| D ̅ ) = ? et P(C| D ̅ )= ? c P(A| D 4. Réponses : a) P(D) =

P(D∩A) +

P(D∩B) +

P(D∩C)

P(D) = P(D|A) P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C) P(D) = (0,02 x 0,6) + (0,05 x 0,3) + (0,06 x 0,1) = 0,012 + 0,015 + 0,006 = 0,033 ̅ ) = 1 - P(D) = 0,967. P(D b) P(A/D)= [P(A∩D)]/P(D)= [P(D/A) P(A)]/P(D)= (0,02) (0,6)/(0,033)= 0,364 P(B/D)= [P(B∩D)]/P(D)= [P(D/B) P(B)]/P(D)= (0,05) (0,3)/(0,033)=0,455 P(C/D)= [P(C∩D)]/P(D)= [P(D/C) P(C)]/P(D)= (0,06) (0,1)/(0,033)=0,182 c) Pour résoudre, il faut connaître P(Ď), P(Ď/A), P(Ď/B) et P(Ď/C) En a) on a trouvé P(Ď) =0,967 et les 3 autres probabilités se déduisent des informations fournies dans l’énoncé (Voir le schéma ci-dessous) : ̅ /A) = 1- 0,02= 098 : P(D ̅ /B)= 1- 0,05= 0,95 et P(D ̅ /C)=1- 0,06= 0 ;94. P(D ̅ )= [P(A∩ D ̅ )]/P(D ̅ )= [P(D ̅ /A) P(A)]/P(D ̅ )= (0,98) (0,6)/( 0,967)= 0,608 P(A/ D ̅ )= [P(B∩ D ̅ )]/P(D ̅ )= [P(D ̅ /B) P(B)]/P(D ̅ )= (0,95) (0,3)/( 0,967)=0,295 P(B/ D ̅ )= [P(C∩ D ̅ )]/P(D ̅ )= [P(D ̅ /C) P(C)]/P(D ̅ )= (0,94) (0,1)/( 0,967)=0,097 P(C/ D EXERCICE 4 : Définition des événements : A = le conducteur est acquitté de l’accusation d’excès de vitesse. B = le conducteur est acquitté de l’accusation de conduite dangereuse. Information fournie par l'énoncé : P(A) = 0,1 ; P(B) = 0,2 et P(B/A) = 1. Questions posées : a) ) P(A∩B) = ? b) P(AUB) = ? c) P(B/A) = ? Reponses: a) P(A∩B) = P(B/A) P(A)= 1 * 0,1= 0,1 b) P(AUB) = P(A)+ P(B)- P(A∩B)= 0,1+0,2-0,1= 0,2 c) P(B/A) = [P(A∩B)]/P(B)= (0,1)/(0,2)= 0,5.

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Exercice 5 :

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