COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

January 15, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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L2 Économie

Probabilités

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y dont la loi de couple est donnée par le tableau X\Y

−1

1

−2

29 100 13 100

33 100

2

p2

(a) Pour quelle(s) valeur(s) de p ce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires ? (b) Déterminer les lois marginales de X et Y puis calculer leurs espérances et variances. (c) Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = XY, son espérance et sa variance. (d) Déterminer la covariance Cov(X, Y). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?

Corrigé de l’exercice. (a) Il faut que tous les coefficients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la somme des éléments du tableau vaille 1 ; on a 29 33 13 75 3 1 + + + p2 = 1 ⇐⇒ + p2 = 1 ⇐⇒ + p2 = 1 ⇐⇒ p2 = 100 100 100 100 4 4 1 ⇐⇒ p = ± . 2 Les deux valeurs de p qui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple 25 sont p = 12 et p = − 21 . Dans tous les cas, on a p2 = 14 = 100 1

(b) La loi marginale de X est donnée par k

P(X = k)

−2

62 100 38 100

2 On a donc X

E(X) =

xP(X = x) = (−2) ×

x∈X(Ω)

38 48 62 + (+2) × =− 100 100 100

38 400 62 + (+2)2 × = =4 100 100 100 x∈X(Ω)  2 48 2304 40000 − 2304 37696 2 2 Var(X) = E(X ) − E(X) = 4 − − =4− = = 100 10000 10000 10000 E(X 2 ) =

X

x2 P(X = x) = (−2)2 ×

La loi marginale de Y est donnée par k P(Y = k)

−1

1

42 100

58 100

On a donc X

E(Y) =

yP(Y = y) = (−1) ×

y∈Y(Ω)

42 58 16 + (+1) × = 100 100 100

42 58 100 + (+1)2 × = =1 100 100 100 y∈Y(Ω)  2 16 10000 − 256 9744 256 2 2 Var(Y) = E(Y ) − E(Y) = 1 − = = =1− 100 10000 10000 10000 E(Y 2 ) =

X

y2 P(Y = y) = (−1)2 ×

(c) Les valeurs prises par Z sont −2 et 2. On a 25 54 29 + 100 = 100 100 33 13 46 = 100 + 100 = 100

P(Z = 2) = P(X = 2, Y = 1) + P(X = −2, Y = −1) = P(Z = −2) = P(X = −2, Y = 1) + P(X = 2, Y = −1) La loi de Z est donc donnée par le tableau suivant : k P(Z = k)

−2

2

46 100

54 100

On a donc X

E(Z) =

z∈Z(Ω)

zP(Z = z) = (−2) ×

46 54 16 + (+2) × = 100 100 100

46 54 400 + (+2)2 × = =4 100 100 100 z∈Z(Ω)  2 16 256 40000 − 256 39744 2 2 Var(Z) = E(Z ) − E(Z) = 4 − =4− = = 100 10000 10000 10000 E(Z 2 ) =

X

z2 P(Z = z) = (−2)2 ×

2

(d) La covariance de X et Y est donnée par   48 16 2368 16 − − × = . Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = 100 100 100 1000 Les variables X et Y ne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées.

3

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