Cours 2

Chapitre 2. Probabilités

1. Introduction. Les probabilités sont nées des jeux du hasard sans se douter qu’elles vont jouer un rôle important dans domaines divers allant du génie aux sciences sociales. Les modèles probabilistes sont un pont entre les statistiques descriptives et l’inférence statistique qui conduit à des prises de décision. 2. Terminologie. Une expérience aléatoire est un processus dont le résultat ne peut être prédit à l’avance avec certitude. Par exemple, le lancer d’un dé, la durée de vie d’un téléviseur ou la résistance d’un contenant. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est dit événement élémentaire. L’ensemble des éléments élémentaires sera noté S. Exemples. Lancer d’un dé : S  1, 2,3, 4,5,6 qui est fini. Durée de vie d’un transformateur : S  0,   qui est infini Souvent on s’intéresse à un sous ensemble de S qu’on appelle événement. Un événement est donc formé d’un ou plusieurs événements élémentaires. Par exemple si une machine produit des pièces, leurs longueurs fluctuent à cause de certains facteurs. On peut considérer l’événement : la longueur de la pièce reste dans un intervalle spécifié. Notons que S et  sont des événements. Comme les événements sont des sous-ensembles, on peut leur appliquer les opérations sur les ensembles pour former d’autres événements.

17



Union. L’union de deux événements A et B notée A  B est l’événement formé des événements élémentaires qui sont dans A ou dans B ou dans les deux.



Intersection. L’intersection de deux événements A et B notée A  B est l’événement formé des événements élémentaires qui sont dans A et dans B.



Complément. Le complément A noté A est l’événement formé des événements élémentaires qui ne sont pas dans A.

Les deux formules suivantes sont dites lois de Morgan comme en logique.

A  B  A  B et A  B  A  B 

Événements incompatibles.

Deux événements A et B sont dits incompatibles ou mutuellement exclusifs si A  B   . Dans ce cas la réalisation de l’un empêche la réalisation de l’autre. 3. Probabilités. La probabilité d’un événement est une mesure qualitative des chances qu’a cet événement de se réaliser. En général, on peut attribuer des probabilités à des événements de façon à respecter certaines règles qui seront énoncés après. Cependant, il y a deux manières qu’on rencontre le plus souvent. La première est l’approche classique qui s’applique lorsque tous les événements élémentaires ont les mêmes chances de réalisation comme par exemple les jeux de hasard ou dans des situations présentant des symétries. La deuxième que l’on rencontre est l’approche fréquentielle et qui attribue comme probabilité à un événement, la proportion de fois que cet événement se réalise dans un certain nombre de répétitions de l’expérience, ce qui rejoint la notion de fréquence en statistiques descriptives. 

Axiomes de probabilités.

On notera la probabilité d’un événement A par P( A) . 

P( S )  1



Pout tout événement, P( A)  0



Si A1 , A2 ,.......... est une suite d’événements incompatibles deux à deux alors

P( A1  A2  ..........)  P( A1 )  P( A2 )  .............. 18

De ces axiomes, découlent les propriétés suivantes : 

P ()  0



P( A)  1  P( A)



P( A  B )  P( A)  P( A  B)



Si A  B alors P ( A)  P ( B )



P ( A)  1 pout tout événement A



P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

Remarque. Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on a

P( A) 

n où N est le nombre d’éléments de S et n le nombre d’éléments de A. N

Exemple. Un générateur de chiffres aléatoires est activé deux fois pour simuler un nombre à deux chiffres. Tous les chiffres entre 0 et 9 ont la même chance d’apparaître. a) Décrire l’espace de toutes les résultats possibles. L’espace de tous les résultats possibles est l’ensemble de nombres ab où a et b sont des nombres de 0 à 9. Par le principe de multiplication, il y a 102  100 événements élémentaires. b) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 22 ? La probabilité d’obtenir 22 est 1

100

et est la même pour tous les autres nombres.

c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2 Il y’a 10 nombres qui finissent par 2 et 10 qui commencent par 2. Mais le nombre 22 doit être compté une seule fois. La probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2 est 19

100 .

On peut aussi écrire p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) où A et B sont respectivement les événements : “Le nombre finit par 2” et “Le nombre commence par 2”. A  B est alors formé d’un

seul

p( A  B)  10

événement

100

 10

100

élémentaire

qui

. 1  19 100 100

19

est

le

nombre

22

et

Exemple. Expliquez pourquoi les énoncés suivants sont faux : a) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,7 et la probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques ou d’informatique est 0,65. Notons par M l’événement : « L’étudiant réussit le cours de mathématiques » et par I l’événement : « L’étudiant réussit le cours d’informatique ». On ne peut pas avoir p( M )  0.7 et p( M  I )  0.65 . La raison est que M  M  I et par conséquent p( M ) ne peut pas dépasser p( M  I ) . b) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,8 et la probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques et d’informatique est 0,82. Avec les mêmes notations que a), on ne peut pas avoir p( M )  0.8 et p( M  I )  0.82 . La raison est que M  I  M et par conséquent p( M  I ) ne peut pas dépasser p( M ) . c) Une personne veut assister à la projection de deux films le samedi et le dimanche. La probabilité qu’elle aimera le film du samedi est 0,4, la probabilité qu’elle aimera celui du dimanche est 0,2 et la probabilité qu’elle aimera celui du samedi mais pas celui du dimanche est 0,15. Notons par S l’événement: « La personne aimera le film du samedi » et par D l’événement : « La personne aimera le film du dimanche». On a

p(S )  0,4 , p(D)  0,2 et p( S  D c )  0,15 .

De la formule p( S  D c )  p ( S )  p ( S  D) , on déduit

p(S  D)  0,25 .

Ceci est

impossible car S  D  D et donc p( S  D) ne peut pas dépasser p( D) .

Exemple. Soit A l’événement qu’un ordinateur a un virus et B l’événement qu’un ordinateur a un ver. On suppose P( A)  0.20 , P( B)  0.15 et P( A  B)  0.25 . a) Quelle est la probabilité qu’un ordinateur a un virus et un ver? On calcule P( A  B) . De la formule

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) on obtient

P( A  B)  0.10 . 20

b) Quelle est a probabilité qu’un ordinateur n’a ni un virus ni un ver? On calcule P( A  B )  P( A  B)  1  P( A  B)  0.75 c) Quelle est la probabilité qu’un ordinateur a un virus mais pas un ver ? On calcule P( A  B )  P( A)  P( A  B)  0.10 4. Probabilité conditionnelle et indépendance. Dans certaines situations, la connaissance d’une certaine information limite les possibilités de réalisation à une certaine partie de S. Dans ces cas, la probabilité d’un événement est basée sur la réalisation des événements élémentaires le composant qui sont dans cette partie de S seulement. Ce genre de probabilité s’appelle probabilité conditionnelle. Pour illustrer ce concept, considérons les données suivantes concernant la longueur et le diamètre de 1000 tiges en cuivre. Longueur Diamètre

Trop courte

Dans les normes

Trop longue

Trop mince

15

5

4

Dans les normes

25

910

6

5

20

10

Trop épais

Avec ces données, on peut par exemple attribuer

941 comme probabilité que la tige a un 1000

diamètre dans les normes. Supposons maintenant que la tige sélectionnée a un diamètre dans les normes. Quelle est alors la probabilité que la tige ait une longueur dans les normes ? La connaissance de cette information réduit l’espace des éventualités car on sait que la tige est sélectionnée parmi les 941 qui ont un diamètre dans les normes. Comme parmi ces 941, 910 ont une longueur dans les normes, la réponse à la question est

21

910 . 941

910 910 1000 , on voit que le numérateur est la probabilité que la tige a une Si on écrit  941 941 1000 longueur et un diamètre dans les normes et le dénominateur est la probabilité que la tige a un diamètre dans les normes. Si on note par L : la tige a une longueur dans les normes et par D : la tige a un diamètre dans les normes on a donc :

P( L se réalise sachant D est réalisé) 

P( L  D) P ( D)

Il est donc légitime de définir la probabilité conditionnelle comme ceci : Si A et B sont des événements avec P ( B )  0 , la probabilité de réalisation de A si B est réalisé est P( A / B) 

P( A  B) . P( B)

Les probabilités conditionnelles P ( A / B ) et P ( B / A) ne sont pas en général égales mais il y a une relation entre les deux. En appliquant les formules P( A  B)  P( A / B) P( B) et P( A  B)  P( B / A) P( A) , si

P( A)  0 et P(B)  0 on obtient

P( A / B) 

P( B / A) P( A) P( B)

On dit que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la réalisation de l’autre. Ce qui se traduit par

P( A / B)  P( A) ou P( B / A)  P ( B ) Si P( A)  0 ou P( B)  0 , on dira que A et B sont indépendants.

22



Loi de multiplication.

Si A et B sont des événements avec P( B)  0 , on a P( A  B)  P( A / B) P( B) Si A et B sont des événements avec P( A)  0 , on a P( A  B)  P( B / A) P( A) Si A et B sont indépendants, on a P( A  B)  P( A) P( B) . Exemple. Un modèle probabiliste donne la probabilité qu’une batterie soit en vie après un temps t comme étant égale à e

t



, où   0 est donné.

Un lot de 5 batteries identiques est testé. On suppose que les durées de vie des batteries sont indépendantes. On veut calculer la probabilité qu’au moins une des batteries soit en vie après

t 0 heures . Soit Ei , l’événement : la i ème batterie dure plus de t 0 heures. Il est plus facile de calculer la probabilité de l’événement contraire : toutes les batteries vivent moins de t 0 heures . Cet

événement

est

E1  E2  E3  E4  E5

et

comme

on

a

l’indépendance

P( E1  E2  E3  E4  E5 )  P( E1 ) P( E2 ) P( E3 ) P( E4 ) P( E5 )  (1  e

t 0

 5

)

La probabilité cherchée est alors 1  (1  e

t 0

 5

)

Exemple. La probabilité de pannes d’électricité sur une ligne d’assemblage pendant un mois donné est de 10%. On suppose que les pannes dans des mois successifs sont indépendantes. Quelle est la probabilité d’avoir une période de trois mois sans pannes ? Soit Ai l’événement « il n’ y a pas de pannes au ième mois. On veut P( A1  A2  A3 ) . Comme ces événements sont indépendants, on a :

P( A1  A2  A3 )  P( A1) P( A2 ) P( A3 )  0.93  0.729 . 23

Exemple. Le schéma d’un réseau reliant deux villes A et B à la forme suivante :



A



B



La probabilité de défaillance de chaque lien dans le réseau est p. On suppose les liens indépendants. Quelle est la probabilité d’établir une connexion entre les deux villes ? La probabilité d’une connexion par le chemin supérieur est (1  p) 2 par conséquent la probabilité de défaillance est 1  (1  p)2 . La probabilité d’une connexion par le chemin inférieur est (1  p)3 par conséquent la probabilité de défaillance est 1  (1  p)3 . La probabilité de ne pas établir de connexion entre les deux villes et alors

(1  (1  p)2 )(1  (1  p)3 ) . Enfin, La probabilité d’établir une connexion entre les deux villes est :

1  (1  (1  p)2 )(1  (1  p)3 ) . 5. Probabilités totales. Formule de Bayes ou probabilités à postériori. 

Loi des probabilités totales.

Soient A1 , A2 ,........, An des événements qui forment une partition de S, c'est-à-dire que les événements sont deux à deux incompatibles et recouvrent S. Si B est un événement, alors il peut s’écrire B  ( B  A1 )  ( B  A2 )  ........( B  An ) et comme ces événements sont incompatibles deux à deux, on obtient :

P( B)  P( B  A1 )  P( B  A2 )  ........  P( B  An ) . Si les P( Ai ) sont non nuls on obtient 24

P( B)  P( B / A1 ) P( A1 )  P( B / A2 ) P( A2 )  ........  P( B / An ) P( An )

P( A / B) 

P( B / A) P( A) P( B / A) P( A)  P( B / A) P( A)

De façon plus générale, si A1 , A2 ,........, An forment une partition de S et ont des probabilités non nulles, on obtient en utilisant la loi des probabilités totales :

P( Ak / B) 

P( B / Ak ) P( Ak )



n i 1

P( B / Ai ) P( Ai )

+

Exemple. L’ingénieur responsable de la maintenance d’une centrale nucléaire doit vérifier constamment la corrosion des conduites du système de refroidissement. L’intérieur des conduites ne peut être observé directement mais par un test non destructif qui n’est pas infaillible. Le test a une probabilité de 0.9 d’indiquer la présence de la corrosion correctement et 0.05 d’indiquer une anomalie incorrectement. La probabilité de corrosion dans une section de la conduite est 0.2. a) Quelle est la probabilité qu’une section de la conduite présente de la corrosion si le test l’indique ? Notons par C l’événement : la corrosion est présente dans la conduite et par P : le test indique la présence de la corrosion. On a le diagramme suivant : 0.9

C

0.2 0.8

P

P

0.1 0.05

C

0.95

P

P

P( P / C ) P(C ) P( P / C ) P(C )  P( P / C ) P(C ) 02*0.9   81.81% 02*0.9  0.8*0.05

P(C / P) 

25

Cette probabilité à postériori se calcule en divisant le chemin allant de C à P (0.2*0.9) sur la somme des chemins qui arrivent à P. b) Quelle est la probabilité qu’une section de la conduite présente de la corrosion si le test ne l’indique pas ?

P( P / C ) P(C ) P( P / C ) P(C )  P( P / C ) P(C ) 02*0.1   2.56% 02*0.1  0.8*0.95

P(C / P ) 

26