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January 17, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilités Cours

1. Loi de probabilité Définition : On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire Une expérience aléatoire associe à chaque résultat possible une fréquence d’apparition.

Lorsque le nombre d’expériences augmente, la fréquence d’apparition de chaque résultat se rapproche d’une fréquence « théorique », la probabilité. La répartition de ces fréquences « théorique » est la

loi de probabilité de l’expérience.

La fréquence théorique peut être déterminée de façon totalement théorique comme dans le cas d’un lancé de dé mais peut aussi être le résultat de la répétition des expériences. Simuler une expérience c’est créer une expérience ayant la même loi de probabilité.

Définition : Soit E un ensemble fini de résultats : E = {e1, e2, … ,en}. Une loi de probabilité P sur E associe à chaque résultat ei sa probabilité, le nombre pi. On a donc pi = P(ei) Une loi de probabilité est souvent donnée sous la forme d’un tableau. Exemple pour la loi de probabilité d’un dé non truqué : Résultat ei 1 2 3 4 5 6 Probabilité pi

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Propriétés d’une loi de probabilité : – Toutes les probabilités sont comprises entre 0 et 1. On note : pi –

La somme des probabilités est 1. On note :

n

[0 ; 1]

pi = 1

i=1

Objectif 1 : savoir déterminer une loi de probabilité (C13–05). Exercices p300 n°5, 6, 8 puis 10 et 12 Définition : Une situation d’équiprobabilité est une situation où tous les n résultats sont équiprobables. Dans ce cas la probabilité de chaque résultat est de 1/n

2. Vocabulaire des probabilités Définition : Dans le cas d’une expérience aléatoire, on appelle univers l’ensemble de tous les résultats possibles. Notation : L’univers est souvent noté E ou parfois Ω (oméga). C’est un ensemble fini on le note entre accolades.

Définition : Un événement élémentaire est une partie de l’univers constituée d’un résultat unique. Définition : Un événement est une partie de l’univers. Un événement est noté par une lettre majuscule. Un événement est défini par une phrase entre guillemet ou par un ensemble de valeurs entre accolades (notation ensembliste)

Définition : L’événement A B (A union B ; A ou B) est l’ensemble des résultats qui font partie de A ou de B. Définition : L’événement A B (A inter B ; A et B) est l’ensemble des résultats qui font partie de A et de B. Définition : L’événement contraire de l’événement A (noté A ) est l’ensemble de tout les résultats de l’univers qui ne sont pas dans A.



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Thierry Loof

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Définition : Deux événements incompatibles sont deux événements dont l’intersection est vide. Objectif 2 : Connaitre le vocabulaire et les notations (C13 01 à 04). Exercices p 300 n° 15, 16, 19,21 Définition : On dit que les évènements A et B d’un univers fini sont équiprobables pour la probabilité P si et seulement si : P(A) = P(B). C’est le bon moment pour parler des phrases avec quantificateur, de leur négation et de la négation des intersections et des unions.

3. Modéliser Avec un tableau Un tableau permet de déterminer tous les résultats possibles lorsqu’il y a deux expériences ou répétition de la même expérience. Exemple : On lance deux dés à quatre faces, non truqués et on multiplie les deux nombres obtenus.

1 1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 4 6 8

3 3 6 9 12

4 4 8 12 16

La loi de probabilité de l’expérience aléatoire est donc :

1 2 3 4 6 8 9 12 16 1/16 2/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 2/16 1/16

Produit Probabilité

Avec un arbre Un arbre permet de déterminer tous les résultats possibles lorsqu’il y a deux expériences ou plus ou plusieurs répétitions de la même expérience. Exemple : Trois naissances à la maternité. G G

F

G

G F

F G

G

F

F

G

F

F Objectif 3 : Savoir modéliser une expérience aléatoire (C13–06 et 07). Exercice p 303 n°44, 45

4. Calcul avec des probabilités Définition : Si A est la réunion de p évènements élémentaires, A = {e1, e2, … ep} alors P(A) = P(e1) + P(e2) + … P(ep) Théorème : Soit un ensemble fini et P une loi de probabilité sur . Si tous les événements nombre de cas favorables élémentaires sont équiprobables alors : P(A) = nombre de cas possibles Théorème : P( A ) = 1 – P(A) Théorème : p(A 2°

B) = P(A) + P(B) – P(A

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B)

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Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A P(B)

B) = 0 B) = P(A) +

Exercices p 301 n° 23, 24 et 27 Exercice p 302 n°39 Exercice p 305 n°66 p 308 n° 89



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