COURS à trous + TP Info ( PDF

Chap.12 Probabilités.

I Vocabulaire des événements. Définition1: Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut décrire les résultats possibles a priori, sans être capable de déterminer à l'avance celui qui se produira. Définition2: Un résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé issue.

Activité : On effectue l’expérience aléatoire suivante : on lance un dé, dodécaèdre régulier, à 12 faces numérotées de 1 à 12. On lit ensuite le numéro apparaissant sur la face supérieure. Chaque résultat possible est appelé une issue de cette expérience, l’ensemble des issues est appelé l’univers, on le note  . Ici :   1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12



1°) Quel est l’ensemble A des issues paires ? 2°) Quel est l’ensemble B des issues multiples de 3 ? 3°) Quel est l’ensemble C des issues paires et multiples de 3 ? 4°) Quel est l’ensemble des issues qui ne sont pas multiples de 3 ?

1°) Univers et événements d’une expérience aléatoire. Définition: Un événement d’une expérience aléatoire est une partie quelconque de l’univers.Un événement ne comprenant qu’une seule éventualité est un événement élémentaire.

Exemple: Lors du lancer d’un dé à 6 faces : A : "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l’on peut noter A = {5}, B : "obtenir un numéro pair" est un événement que l’on peut noter B =

Définition : 

L’événement qui ne contient aucune éventualité est l’événement impossible, noté ,



L’événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain.

1/8

Exemples :  Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison 3 − 25 − 38 − 59 − 67 − 91" est un événement impossible (les numéros vont de 1 à 49). 

Lancer d’un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain. 2°) Evénements contraires, réunion et intersection d’événements. Définition : Pour tout événement A il existe un événement noté A et appelé événement contraire de A, qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A. On a en particulier A  A   .

Exemple :  

Lancer d’une pièce de monnaie : si A = {pile} alors son événement contraire est : Lancer d’un dé à six faces : si A est l’événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4", alors son événement contraire est :

Définition : ➤ Intersection d’événements: événement constitué des éventualités appartenant à A et à B noté

A  B (Se lit "A inter B" ou "A et B"),

➤ Réunion d’événements: événement constitué des éventualités appartenant à A ou à B noté A  B (se lit "A union B" ou "A ou B").

Remarque : Si A ∩ B = , on dit que les événements sont incompatibles. Exemple : On choisit un chiffre au hasard. On note A l’événement "obtenir un chiffre pair" et B l’événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six"  A∩B: 

A B :

Application : Comment déterminer les issues d’un événement à l’aide d’un tableau ou d’un arbre ? 2/8

1°) On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Par exemple, l’issue « pile au premier lancer et face au second lancer » sera notée PF. a) Déterminer, à l’aide d’un tableau, l’univers de cette expérience aléatoire. b) Ecrire sous forme d’ensemble chacun des événements : A : « obtenir pile au premier lancer » B : « obtenir exactement un fois face » A  B et A  B

2°) Reprendre les questions précédentes à l’aide d’un arbre.

Exercice : Une urne contient deux boules rouges, numérotées 1 et 2, et une boule verte. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne. 1°)a) A l’aide d’un arbre, déterminer l’univers de cette expérience. b) Déterminer le nombre d’issues des événements : -

A : « la première boule tirée est verte » B : « la deuxième boule tirée est rouge »

2°) Ecrire sous forme d’ensemble les événements A  B et A .

II Notion de probabilité.

3/8

Activité : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 puis on lit le chiffre de la face supérieure. 1°) Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire ?

2°) A votre avis, chacune de ces issues a-t-elle les mêmes chances de se réaliser ? 3°) Comment estimer la « chance » d’obtenir 6 ?

Nous allons simuler cette expérience grâce à la calculatrice En effet, la calculatrice a une fonction qui lui permet d’afficher un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 : la fonction random (hasard). CASIO

TI

Menu RUN

Taper MATH

Taper OPTN

Sélectionner PRB

Sélectionner PROB

Choisir RAND

Choisir RAN#

Taper sur ENTER

Taper sur EXE

Pour faire afficher un nouveau nombre aléatoire, il suffit d’appuyer à nouveau sur Exe ou Enter Pour obtenir un entier, nous allons utiliser la fonction Int de la calculatrice qui permet d’afficher la partie entière d’un nombre CASIO

TI

OPTN

MATH

NUM

NUM

INT

INT

Nous cherchons, pour simuler notre lancer de dé, à faire afficher par la calculatrice un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6.

Pour cela, il suffit de taper la séquence suivante : Casio ♦ Int(6×Ran#+1)

ou

TI ♦ Int(6×RanD+1) 4/8

Taper sur Exe ou Enter, un nombre entier compris entre 1 et 6 s’affiche.

Effectuer les manipulations nécessaires pour compléter le tableau :

Nombre de lancers Nombre de « 6 » obtenus Fréquence des « 6 » en %

4

8

12

16

4°) Si l’on augmentait toujours le nombre de lancers, de quel nombre peut-on penser que la fréquence se rapprocherait ?

COURS : Soit    x1 ; x2 ;...; xn  l’univers d’une expérience aléatoire, où chaque xi désigne une issue. Définition : à chaque issue xi on associe un nombre réel pi tel que :

0  pi  1

et

p1  p2  ...  pn  1

Ce nombre pi est appelé probabilité de l’événement élémentaire « obtenir xi ». Définition : soit un événement A. La somme des probabilités de toutes les issues de A est appelée probabilité de l’événement A. On la note p( A) . Exemple : les gains possibles pour chaque ticket d’une loterie sont : 50 € avec une chance sur 10, 20 € avec deux chances sur 10 et O€ avec 7 chances sur 10. Soit G l’événement « gagner une somme non nulle avec un ticket ». Calculer p(G ) .

5/7

Définition : on dit qu’il y a équiprobabilité sur l’univers  lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si  est constitué de n issues, la probabilité de chaque issue est alors

1 . n

Propriété : S’il y a équiprobabilité sur l’univers  , alors la probabilité d’un événement A est :

p( A) 

nombre d ' issues de

A

nombre d ' issues de 

.

Exemple : dans sa poche, Lucas a mis : cinq billes araignées dont 2 bleues, 2 jaunes et 1 verte, deux billes dauphins dont 1 bleue et 1 jaune, et une bille clown jaune. Ces billes sont indiscernables au toucher. Il en prend une au hasard. Quelle est la probabilité de chacun des événements : C : « il sort la bille clown »

A : « il sort une bille araignée »

J : « il sort une bille jaune » ?

APPLICATION : Comment calculer la probabilité d’un événement lorsque les issues sont équiprobables ? Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une carte au hasard. 1°) Quelle est la probabilité d’obtenir l’as de pique ? 2°) Calculer la probabilité de chacun des événements : A : « obtenir un as »

B : « obtenir un pique »

C : « obtenir une figure »

III Propriétés.

6/7

COURS : Propriété : soient A et B deux événements alors : -

p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)

-

p( A)  1  p( A)

Exemple :

7/7