cours - ambition

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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COURS Gestion de données

Mme MAINGUY 1

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1 1ere S I. Rappels 1 / Loi de probabilité définition On appelle expérience aléatoire toute expérience ayant plusieurs issues (ou éventualités) possibles et dont on ne peut prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée. Ces issues sont notées e1 ; e2 ; e3 ;…; en . Leur ensemble est noté Ω , appelé univers.

{

}

On a donc Ω = e1 ; e2 ; e3 ;…; en . Exemple On lance un dé à six faces : l'univers est : Ω = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} définitions ’ Chaque éventualité ei est affectée d'une probabilité, c'est-à-dire d'un nombre pondéré noté pi tel que :



0 ≤ pi ≤ 1

et

p1 + p2 + …+ pn = 1

’ On appelle loi de probabilité la donnée des pi vérifiant ces conditions. ’ Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu'ils sont équiprobables, ou que la loi de probabilité p est équiprobable (ou équirépartie). Exemple 1 On lance un dé à 6 faces bien équilibré. Chaque face ayant le même nombre de chances de sortir, chaque éventualité a une 1 probabilité de . La loi de probabilité est donc : ei 3 5 6 1 2 4 6 pi 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 Remarque : De manière générale, si une expérience aléatoire est équiprobable et comporte n issues différentes, chacune des issues a une probabilité de 1 n Exemple 2 Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 noires, 2 blanches, 5 rouges. On tire une boule au hasard dans l'urne. L'univers est : Ω = {noire ; blanche ; rouge} . L'univers Ω est muni de la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

ei

noire

blanche

rouge

pi

0,3

0, 2

0,5

2 / Vocabulaire des événements définitions ’ Un événement A est une partie de Ω . On écrit A ⊂ Ω . Si e est un élément de A , on dit que l'issue e réalise l'événement A . ’ ∅ est l'événement impossible. ’ Ω est l'événement certain.

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Exemple On lance un dé à 6 faces bien équilibré. On note : A l'événement " obtenir un nombre pair " : A = {2 ; 4 ; 6}

B l'événement " obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 " : B = {1; 2}

C l'événement " obtenir 7 " : C = {7}

D l'événement " obtenir un nombre négatif " : D = ∅ , événement impossible E l'événement " obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 " : E = {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ω , événement certain. définitions Soient A et B deux événements d'un univers Ω . ’ L'événement A ∩ B est l'événement " A et B " : il est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux.une partie de ’ L'événement A U B est l'événement " A ou B " : il est réalisé si l'un au mois des deux événements est réalisé. ’ L'événement A est l'événement contraire de A ou "non A ". ’ Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps, c'est-à-dire si AI B = ∅ Exemple On considère un jeu de 32 cartes. L'espérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard. L'univers Ω est l'ensemble des 32 cartes du jeu. On considère les événements A : " la carte tirée est un cœur " et B " la carte tirée est un roi ". A U B événement : " la carte tirée est un cœur ou un roi " A ∩ B = { roi de cœur } A : événement " la carte tirée est un pique, ou trèfle ou carreau

A ∩ B : événement "la carte tirée est n'importe quelle carte du jeu à l'exception du roi de cœur "

3 / Probabilité d'un événement définition Si Ω est un univers de probabilités muni d'une loi p , alors la probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent A . Remarques : ● p ( Ω ) = 1 ; p (∅ ) = 0

● Dans le cas de l'équiprobabilité, si l'univers Ω comporte n issues, on a : 1 nombre d ′elements de A nombre de cas favorables et pi = p ( A) = = n nombre d ′elements de Ω nombre de cas possibles propriété Si A et B sont deux événements : ’ p A ∪ B = p A + p B − p A ∩ B

Cas particulier : si A et B sont incompatibles alors :





(

)

( ) ( ) (

( )

’ p A = 1 − p ( A )

)

p ( A U B ) = p ( A) + p ( B )

Exemple Dans une urne, on place 35 éléphants (si, si !) . 28 sont des éléphants d'Afrique (les autres sont des éléphants d'Asie), 18 sont des femelles dont 15 sont des éléphantes d'Afrique. On prend un éléphant au hasard. Quelle est la probabilité pour que l'éléphant choisi soit d'Afrique ou une femelle ?

II. Modèles de référence : à l'aide d'exemples 1 / Diagrammes Exemple Dans un groupe de 20 personnes, 10 font du surf, 8 de la pêche, et 3 pratiquent les deux. On choisit au hasard une personne du groupe. 1 / Calculer la probabilité qu'elle s'intéresse à la pêche ou au surf. 2 /

Calculer la probabilité qu'elle ne s'intéresse ni à la pêche, ni au surf.

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2 / Tableau Exemple Un institut de sondage a interrogé 800 personnes qui résident soit en zone urbaine U , soit en zone rurale R . Ce sondage a eu lieu soit par téléphone T soit par entretien E . On donne : ● 320 personnes ont été interrogées au cours d'un entretien. Parmi elles, 50 vivent en zone rurale. ● 320 personnes ont été interrogées pa rtéléphoen et vivent en zone urbaine Réunir les informations sous forme de tableau à compléter. On choisit une personne au hasard : 2 / Calculer la probabilité des événements U et E . 1 /

3 /

Calculer la probabilité qu'une personne habite en zone urbaine sachant qu'elle a été sondée par entretien.

3 / Arbre de probabilité Règles Un arbre de probabilité respecte trois règles : ’ la somme des probabilités partant d'une même racine est toujours égale à 1 ; ’ la probabilité d'un chemine est égale au produit des probabilités rencontrées sur ce chemin ; ’ la probabilité d'un événement est a somme des probabilités des chemins qui réalisent cet événement. Exemple 1 Un magasin de matériels informatiques propose deux types d'ordinateurs : des ordinateurs de bureau et des ordinateurs portables. Une enquête sur le type des ordinateurs achetés permet d'affirmer que, dans ce magasin : ● 75% des acheteurs d'ordinateurs sont des étudiants ; ● 60% des acheteurs étudiants choisissent un ordinateur portable , ● 30% des acheteurs non étudiants choisissent un ordinateur portable. On interroge au hasard une personne ayant acheté un ordinateur dans ce magasin. On note E l'événement "la personne interrogée est un étudiant" et E son contraire. On note A l'événement "la personne interrogée a choisi un ordinateur portable" et A son contraire. 1 / Construire un arbre pondéré. 2 /

a) Calculer

(

b) En déduire 3 /

)

(

)

p E ∩ A et p E ∩ A .

p ( A) .

Déterminer la probabilité pour que la personne interrogé ait choisi un ordinateur de bureau.

Exemple 2 Un grand magasin propose un jeu permettant de gagner un bon d'achat de 15€. Il s'agit de : ● lancer un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, dont 1 face est jaune, 2 faces sont bleues et 3 faces sont rouges ; puis : ● faire tourner une roue divisée en 3 secteurs : un secteur jaune de 150°, un bleu de 100° et le secteur restant rouge. Le joueur gagne lorsque les deux couleurs obtenues sont identiques. 1 /

Soit J1 , B1 et R1 les événements : "obtenir jaune avec le dé" , "obtenir bleu avec le dé" , "obtenir rouge avec le dé". Calculer les probabilités des événements J1 , B1 et R1 .

2 /

Soit J 2 , B2 et R2 les événements : "obtenir jaune avec la roue" , "obtenir bleu avec la roue" , "obtenir rouge avec la roue". Calculer les probabilités des événements J 2 , B2 et R2 .

3 /

4 /

Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré et calculer la probabilité d'obtenir deux fois la couleur jaune, puis calculer la probabilité deux fois bleu, et enfin d'obtenir deux fois rouge. Soit G l'événement "le joueur gagne un bon d'achat". Déduire de la question précédente p (G ) .

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La théorie : variable aléatoire

III.

1 / Introduction On se souvient que l'univers probabilisable, souvent noté Ω , est constitué de toutes les issues d'une exparience aléaoire. Le terme discrte traduit le fait que l'on peut dénombrer chacune des issues (on peut leur donner une valeur précise). nous étudierons en terminale S des lois de probabilité continues; on ne pourra pas donner une valeur à chacune des issues (par exemple, on ne peut pas compter tous les nombres réels compris entre 2 et 3). Exemple Un joueur lance 2 fois une pièce équilibrée. Il gagne 2 € par "PILE" obtenu et perd 1 € par "FACE" obtenu. On modélise l'expérience par la loi équirépartie p sur Ω = {( F ; F ) ; ( P; P ) ; ( F ; P ) ; ( P; F )} . Le gain algébrique du joueur est une variable aléatoire X sur Ω . Elle associe aux issues ( F ; F ) ; ( F ; P ) ; ( P; F ) ; ( P; P ) , les valeurs respectives −2 ; 1 ; 1 ; 4 . On a alors : p ( X = −2) = p



({( F; F )}) = 14



p ( X = −1) = p



p ( X = 4) = p

({( F; P )}) + p ({( P; F )}) = 12

({( P; P )}) = 14

définition Soit Ω est l'univers associé à une expérience aléatoire E et p une loi de probabilité sur Ω . On définit une variable aléatoire en associant à chaque issue e un nombre réel x . X est une application de Ω dans ° . X Ω = x1 ; x2 ;…; xn est alors l'image de Ω .

( ) { } Si { x ; x ;…; x } est alors l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X sur l'univers Ω alors pour tout i 1

2

n

variant de 1 à n : ● l'événement " X prend la valeur xi " est noté : " X = xi " ● la probabilité de l'événement " X = xi " est p ( X = xi ) . Remarque si x ∉ Ω alors ( X = x ) = ∅ et donc p ( X = x ) = 0 . Point Méthode Définir la loi de probabilité d'une expérience aléatoire revient donc à : Ê déterminer toutes les valeurs possibles x1 ; x2 ;…; xn prises par X ; Ê déterminer les probabilités p1 ; p2 ;…; pn des événements correspondants ; Ê regrouper les résultats dans un tableau du type : Valeurs prises par X Probabilité correspondante p ( X = xi )

x1

x2

K

xn

p1

p2 K

pn

Ne pas oublier de vérifier que p1 + p2 + …+ pn = 1 Application Les grecs et les romains utilisaient un jeu d'osselets d'agneaux appelés astragales. Pour un astragale donné, dont les faces sont numérotées de 1 à 4 , des expériences statistiques ont révélé qu'en règle général : ● l'astragale retombe sur les faces 2 et 4 avec des chances égales mais deux fois plus souvent sur la face 2 que sur la face 1 . ● on obtient la face 3 avec une fréquence égale à une fois et demi celle de la face 2 . On lance cet astragale. 1 /

Proposer une modélisation de cette expérience aléatoire. On désignera par pk la probabilité que l'astragale retombe sur la face numéro k , pour k prenant les valeurs 1 à 4 .

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2 /

Calculer les probabilités des événements : a) A : "obtenir un numéro impair" b) "obtenir un numéro supérieur ou égal à 2 " c) B ; A ∩ B ; A U B .

3 /

On définit une variable aléatoire X prenant pour valeurs les gains algébriques de la manière suivante : le joueur mise 5 drachmes. Il lance l'astragale. S'il obtient un numéro pair, il gagne 3 drachmes, s'il obtient le 3 , il gagne 5 drachmes, et s'il obtient le numéro 1 , il gagne 7 drachmes. Établir la loi de probabilité de la v.a. X .



2 / Espérance, variance mathématique et écart-type Dans ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X dont les issues sont les nombres xi La loi de probabilité est alors Valeurs prises par X x1 x2 K xn p1 p2 K pn Probabilité définition ● L'espérance de cette loi est le nombre noté E ( X ) , égal à : n



E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + …+ xn pn = ∑ pi xi i=1

Dans le cas d'un grand nombre de répétitions de l'expérience, l'espérance mathématique représente la moyenne des valeurs xi prises par X pondérées par leur probabilité respectives pi . ● La variance de cette loi est le nombre noté V ( X ) défini par :

(

)

(

)

(

)

n

(

)

V ( X ) = p1 x1 − E ( X ) + p2 x2 − E ( X ) + …+ pn xn − E ( X ) = ∑ pi xi − E ( X ) 2

2

2

i=1

2

● L'écart-type de cette loi, noté σ , est égal à : σ ( X ) = V ( X ) . L'écart-type mesure la dispersion de la variable aléatoire autour de sa moyenne. Remarque On a toujours V ( X ) ≥ 0 donc on peut toujours calculer l'écart-type . De plus σ ( X ) = V ( X ) ≥ 0

3 / Linéarité de l'espérance

À partir des variables aléatoires existantes, on peut en créer de nouvelles. Avec des notaions usuelles, on obtient : Ê aX + b : xi ! a X = xi + b avec a et b réels

(

) Ê X + Y : x ! ( X = x ) + (Y = x ) i

i

i

propriétés On considère la variable aléatoire Y = aX + b , a et b réels quelconques. Alors : ● E (Y ) = E ( ax + b ) = aE ( X ) + b ● V (Y ) = a2V ( X ) et σ (Y ) = a σ ( X )

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